7.1. Espaços Poloneses e seus Boreleanos

Dado um conjunto $X$ , denotamos por $\Delta_{X}$ a diagonal do produto cartesiano $X\times X$ , isto é:

\Delta_{X}=\big{\{}(x,x):x\in X\big{\}}.

7.1.1 Lema.

Para todo subconjunto $S$ de $\mathds{N}^{\mathds{N}}$ o conjunto $\Delta_{S}$ pertence à $\sigma$ -álgebra $\mathcal{B}(\mathds{N}^{\mathds{N}})\otimes\wp(\mathds{N}^{\mathds{N}})$ ; mais precisamente, $\Delta_{S}$ é uma interseção enumerável de uniões enumeráveis de elementos de $\mathcal{B}(\mathds{N}^{\mathds{N}})\boldsymbol{\times}\wp(\mathds{N}^{\mathds% {N}})$ .

Demonstração.

Dados $n,m\in\mathds{N}$ , seja:

A_{nm}=\big{\{}\alpha\in\mathds{N}^{\mathds{N}}:m=\alpha(n)\big{\}};

temos que $A_{nm}$ é fechado em $\mathds{N}^{\mathds{N}}$ , sendo a imagem inversa do ponto $m$ pela função contínua $\mathds{N}^{\mathds{N}}\ni\alpha\mapsto\alpha(n)\in\mathds{N}$ . Em particular, temos $A_{nm}\in\mathcal{B}(\mathds{N}^{\mathds{N}})$ . Seja também:

B_{nm}=A_{nm}\cap S\in\wp(\mathds{N}^{\mathds{N}}),

para todos $n,m\in\mathds{N}$ . Afirmamos que o conjunto $\Delta_{S}$ é igual a:

\bigcap_{n\in\mathds{N}}\bigcup_{m\in\mathds{N}}(A_{nm}\times B_{nm}).

(7.1.1)

De fato, dado $(\alpha,\beta)\in(\mathds{N}^{\mathds{N}})\times(\mathds{N}^{\mathds{N}})$ então $(\alpha,\beta)$ pertence a (7.1.1) se e somente se para todo $n\in\mathds{N}$ existe $m\in\mathds{N}$ tal que $m=\alpha(n)$ , $m=\beta(n)$ e $\beta\in S$ ; mas temos que existe $m\in\mathds{N}$ tal que $m=\alpha(n)$ , $m=\beta(n)$ e $\beta\in S$ se e somente se $\alpha(n)=\beta(n)$ e $\beta\in S$ . Concluímos então que $(\alpha,\beta)$ está em (7.1.1) se e somente se $\beta\in S$ e $\alpha(n)=\beta(n)$ , para todo $n\in\mathds{N}$ , isto é, se e somente se $\alpha=\beta$ e $\beta\in S$ . Logo (7.1.1) é igual a $\Delta_{S}$ . ∎