Capítulo 5 Soluções de exercícios ‣ Notas de aula: Probabilidade I

Solução de 3.3 Primeiramente, vamos ver qual é a distribuição de $R_{0}$ . Vamos escrever $R_{0}=E_{0}+D_{0}$ , onde $E_{0}$ é o número de casas acessíveis à esquerda e $D_{0}$ à direita. Note que $E_{0}$ e $D_{0}$ são independentes e identicamente distribuídas, com

P[D_{0}=l]=P[X_{l}=1,X_{i}=0\text{ para $i=0,\dots,l-1$}]=p(1-p)^{l}.

(5.1)

Podemos agora calcular

P[R_{0}=k]=\sum_{l=0}^{k}P[D_{0}=l,E_{0}=k-l]=\sum_{l=0}^{k}p^{2}(1-p)^{k}=p^{% 2}k(1-p)^{k}.

(5.2)

Além disso,

E(R_{0})=2E(D_{0})=\sum_{l=0}^{\infty}lP[D_{0}=l]=2p\sum_{l=0}^{\infty}l(1-p)^% {l}=\frac{2(1-p)}{p}=:m.

(5.3)

O que resolve o primeiro item.

A grande dificuldade do segundo item é que as variáveis $R_{i}$ não são independentes, veja por exemplo que $P[R_{0}=0,R_{1}=2,R_{2}=0]=0$ . Nesse caso, o método do segundo momento deve ser feito com atenção. Chamando de $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}R_{i}$ , temos

P\Big{[}\Big{|}\frac{1}{n}S_{n}-E(R_{0})\Big{|}>a\Big{]}\leq\frac{\text{Var}(S% _{n})}{a^{2}n^{2}},

(5.4)

mas a variância da soma não se torna a soma das variâncias. De fato

\begin{split}\text{Var}(S_{n})&=E\Big{(}\big{(}\sum_{i=1}^{n}(R_{i}-E(R_{i}))% \big{)}^{2}\Big{)}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}E\Big{(}\big{(}R_{i}-E(R_{i})% \big{)}\big{(}R_{j}-E(R_{j})\big{)}\Big{)}\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\text{Cov}(R_{i},R_{j})=n\text{Var}(R_{0})+2\sum% _{k=1}^{n-1}(n-k)\text{Cov}(R_{0},R_{k}).\end{split}

(5.5)

Aqui já temos metade da estimativa resolvida, mas ainda falta obter uma estimativa explícita.

Então precisamos estimar superiormente $\text{Cov}(R_{i},R_{j})=\text{Cov}(R_{0},R_{j-1})$ . Podemos calcular essa quantidade explicitamente, mas vamos evitar contas chatas fazendo uma estimativa do tipo

\text{Cov}(R_{0},R_{k})\leq c\exp\{-c^{\prime}k\},\text{ para todo $k\geq 1$}.

(5.6)

O que nos daria que

\text{Var}(S_{n})\leq n\text{Var}(R_{0})+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)c\exp\{-c^{% \prime}k\}\leq c^{\prime\prime}n.

(5.7)

Donde a probabilidade que queríamos estimar é no máximo ${c}/{a^{2}n}$ , como no caso independente.

Para obter a prometida cota para a covariância, observe que podemos truncar $D_{0}$ e $E_{k}$ para obter independência. Definindo

\tilde{R_{0}}=E_{0}+(D_{0}\wedge\lfloor k/2\rfloor)\text{ e }\tilde{R}_{k}=D_{% k}+(E_{k}\wedge\lfloor k/2\rfloor),

(5.8)

temos que $\tilde{R}_{0}$ e $\tilde{R}_{k}$ são independentes (pois dependem de elos disjuntos). Daí

\begin{split}\text{Cov}(R_{0},R_{k})&=E(R_{0}R_{k})-m^{2}\\ &=E(\tilde{R}_{0}\tilde{R_{k}})+E(R_{0}R_{k}\1{[R_{0}\neq\tilde{R}_{0}]\cup[R_% {k}\neq\tilde{R}_{k}]})-m^{2}\\ &\leq E(\tilde{R}_{0})^{2}-m^{2}+E\big{(}(E_{0}+D_{0})(E_{k}+D_{k})\1{[R_{0}% \neq\tilde{R}_{0}]\cup[R_{k}\neq\tilde{R}_{k}]}\big{)}\\ &\leq E\big{(}(E_{0}+k+D_{k})^{2}\1{[R_{0}\neq\tilde{R}_{0}]\cup[R_{k}\neq% \tilde{R}_{k}]}\big{)}\\ &=E\big{(}(E_{0}+k+D_{k})^{2}\big{)}P\big{(}[R_{0}\neq\tilde{R}_{0}]\cup[R_{k}% \neq\tilde{R}_{k}]\big{)}\\ &\leq\big{(}2E(E_{0}^{2})+k^{2}+2kE(E_{0})+E(E_{0})^{2}\big{)}\cdot 2\cdot P[R% _{0}\neq\tilde{R}_{0}]\\ &\leq ck^{2}(1-p)^{\lfloor k/2\rfloor}\leq c\exp\{-c^{\prime}k\}.\end{split}

(5.9)

Finalizando a cota para a covariância.