Tópico: Processos de Poisson em $\mathbb{R}$

Nessa seção aplicaremos o conceito de Probabilidade Condicional Regular e do Princípio da Substituição para estudarmos um importante processo de chegadas chamado Processo de Poisson.

O Tenente Boavista está encarregado de vigiar o Sargento Pimenta, que frequentemente dorme durante sua vigília. Para isso, Boavista tem que decidir os momentos $t_{1},t_{2},\dots\in\mathbb{R}$ que ele irá verificar se Pimenta está cochilando. Uma primeira estratégia poderia ser tomar intervalos igualmente espaçados, $t_{1}=1,\dots,t_{k}=k$, mas o Sargento certamente iria dormir nos intevalos $(k+\varepsilon,k+1-\varepsilon)$ sem se preocupar.

Dado esse problema, o Tenente decide escolher tempos aleatórios $T_{1},T_{2},\dots$ Mas é importante lembrar que não são todas as distribuições que funcionarão bem, por exemplo se $T_{k}-T_{k-1}\geq a$ quase certamente o Sargento irá se aproveitar desse intervalinho.

A primeira simplificação que o Tenente imagina para esse problema é a seguinte: dado que houve uma vistoria no instante $t_{k}$, então o que acontecerá à partir daí será o mesmo processo com o qual ele começou. Isso pode ser traduzido de maneira rigorosa como

$T_{k}\circ P$-quase certamente. Não iremos entrar muito em detalhes sobre qual é essa esperança condicional, pois no momento ainda estamos trabalhando heuristicamente, mas já podemos dizer que:

Procedendo de maneira análoga, podemos concluir que $(T_{1},T_{2}-T_{1},T_{3}-T_{2},\dots)$ são uma coleção \iid. Agora o Tenente Boavista somente precisa escolher a distribuição de $T_{1}$.

Para essa escolha, ele sabe que se ele não chegar em tempo $t$, então o Sargento Pimenta sabe que sua próxima chegada terá distribuição $P[T_{1}-t\in A|T_{1}>t]$. Como o Tenente Boavista gostaria que essa essa informação fosse inútil para o Sargento Pimenta, ele escolherá

E sabemos que as distribuições $\Exp(\lambda)$, para $\lambda>0$ satisfazem isso, portanto já temos um candidato ao nosso processo de vistorias, mas antes vamos introduzir algumas notações.

Já podemos perceber por (4.58) que mais importante que os tempos $T_{k}$, serão os intervalos entre visitas $X_{k}=T_{k}-T_{k-1}$.

Seja $\mathcal{D}\big{(}[0,\infty)\big{)}$ o espaço de todas as funções càdlàg em $\mathbb{N}$, ou seja

Definiremos $\Gamma:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to\mathcal{D}\big{(}[0,\infty)\big{)}$ da seguinte forma: dados $(x_{1},x_{2},\dots)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, seja $\Gamma(x_{1},\dots)=N$, tal que

que conta quantas visitas ocorreram antes de $t$, veja Figura 4.2.

Poderíamos nos perguntar qual é a $\sigma$-álgebra que estamos considerando no espaço $\mathcal{D}\big{(}[0,\infty)\big{)}$, essa é uma interessante questão que deve ser abordada em estudos mais profundos desse espaço. Mas por enquanto será suficiente considerarmos a $\sigma$-álgebra induzida pelo mapa $\Gamma$ (a maior que ainda o deixa mensurável).

Estamos prontos agora pra definir o nosso processo.

Fixado $\lambda>0$, definimos um Processo de Poisson em $\mathbb{R}$ com parâmetro $\lambda$ como a lei $\mathbb{P}_{\lambda}$ em $\mathcal{D}\big{(}[0,\infty)\big{)}$, dada por $\Gamma\circ\Exp(\lambda)^{\otimes\mathbb{N}}$. Ou em outras palavras, o processo de contagem de chegadas $N_{t}$, no qual os intervalos entre chegadas são independentes e distribuídos como $\Exp(\lambda)$.

Lembramos que como de costume definimos $X_{1},X_{2},\dots$ como sendo as projeções canônicas em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ onde definimos $\Exp(\lambda)^{\otimes\mathbb{N}}$. Como esses representam os intervalos entre chegadas, definimos também

Podemos agora enunciar o primeiro lema, que nos fornece a distribuição do número de chegadas em um dado tempo $t\geq 0$.

Se $\lambda>0$ e $t\geq 0$, então $N_{t}\distr\Poisson(\lambda t)$ sob $\mathbb{P}_{\lambda}$.

Um outro resultado importante sobre esses processos se relaciona ao fato de reiniciar o sistema em tempo $t>0$. Isso é feito com o seguinte mapa $\theta_{t}:\mathcal{D}\big{(}[0,\infty)\big{)}\to\mathcal{D}\big{(}[0,\infty)\big{)}$, que leva $N$ em

Mostre que o mapa $\theta_{t}$ é mensurável.

Fixe $\lambda,t>0$ e seja $N$ um processo de Poisson de taxa $\lambda$. Então, para $k\in\mathbb{Z}_{+}$ e $A$ mensurável,

Em particular, isso mostra que a distribuição do processo de Poisson $N$ é invariante pelo mapa $\theta_{t}$.

Como corolário do lema acima, podemos deduzir que um processo de Poisson possui incrementos independentes. Mais precisamente,

Seja $N$ um Processo de Poisson $N$ com taxa $\lambda>0$. Considerando também tempos $0=t_{0}<t_{1}<\dots<t_{j}$, e inteiros $k_{1},\dots,k_{j}\geq 0$ temos

$x_{1}=t_{1}$, $x_{2}=t_{2}-t_{1},\dots,x_{k}=t_{k}-t_{k-1}$

Note que não depende de $\lambda$.

Considere variáveis uniformes $U_{1},\dots,U_{k}$ no intervalo $[0,t]$

Seja $\tilde{U}_{1}<\dots<\tilde{U}_{k}$ a versão ordenada das $U_{i}$’s.

Então,

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