4.2 Propriedades básicas da esperança condicional

Nessa seção justificaremos, em certa medida, a nomenclatura “esperança condicional”. Faremos isso mostrando que ela satisfaz várias propriedades que já conhecemos para a esperança tradicional.

Mas como podemos mostrar propriedades simples tais como a linearidade da esperança condicional? Vamos começar com um exemplo

{proposition}

Se $X,X^{\prime}\in\mathcal{L}^{1}(P)$ , então

E(X+X^{\prime}|\mathcal{F}^{\prime})=E(X|\mathcal{F}^{\prime})+E(X^{\prime}|% \mathcal{F}^{\prime}),\text{ $P$-quase certamente.}

(4.7)

Note que a igualdade acima é uma igualdade entre variáveis aleatórias.

Demonstração.

Sabemos que $Y=E(X|\mathcal{F}^{\prime})+E(X^{\prime}|\mathcal{F}^{\prime})$ é uma variável aleatória bem definida. Mais do que isso, sabemos que ela é uma candidata muito boa a $E(X+X^{\prime}|\mathcal{F}^{\prime})$ . Logo, por unicidade da esperança condicional, basta verificar que $Y$ satisfaz as condições da Definição 4.1 com respeito a $X+X^{\prime}$ . De fato

a)

$Y$ é $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável, por ser uma soma de duas variáveis $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensuráveis e
b)

por linearidade da esperança (não da esperança condicional), temos

$\begin{split}E(Y\1_{A})&=E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\1_{A}+E(X^{\prime}|% \mathcal{F}^{\prime})\1_{A}\big{)}\\ &=E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\1_{A}\big{)}+E\big{(}E(X^{\prime}|\mathcal% {F}^{\prime})\1_{A}\big{)}\\ &=E(X\1_{A})+E(X^{\prime}\1_{A})=E\big{(}(X+X^{\prime})\1_{A}\big{)}.\end{split}$ (4.8)

Isso termina a prova do proposição. ∎

{exercise}

Dados $X\in\mathcal{L}^{1}$ e $\alpha\in\mathbb{R}$ , mostre que $E(\alpha X|\mathcal{F}^{\prime})=\alpha E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ .

Uma outra propriedade bem simples da esperança condicional é a monotonicidade.

{lemma}

Se $X\geq X^{\prime}$ em $\mathcal{L}^{1}(P)$ , então

E(X|\mathcal{F}^{\prime})\geq E(X^{\prime}|\mathcal{F}^{\prime}),\text{$P$-% quase certamente.}

(4.9)

Em particular, se $X\geq 0$ , então $E(X|\mathcal{F}^{\prime})\geq 0$ quase certamente.

Demonstração.

Seja $A=[E(X^{\prime}|\mathcal{F}^{\prime})-E(X|\mathcal{F}^{\prime})>0]$ , que pertence a $\mathcal{F}^{\prime}$ . Então

0\leq E\big{(}(E(X^{\prime}|\mathcal{F}^{\prime})-E(X|\mathcal{F}^{\prime}))\1% _{A}\big{)}=E\big{(}(X^{\prime}-X)\1_{A}\big{)}\leq 0,

(4.10)

o que implica que $P(A)=0$ . ∎

{proposition}

Se $X,ZX\in\mathcal{L}^{1}(P)$ , com $Z\in\mathcal{F}^{\prime}$ , temos

E(XZ|\mathcal{F}^{\prime})=ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})\text{ $P$-quase % certamente}.

(4.11)

Em particular, $E(\alpha X|\mathcal{F}^{\prime})=\alpha E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ , para todo $\alpha\in\mathbb{R}$ . Uma outra consequência interessante é que $ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})$ estará automaticamente em $\mathcal{L}^{1}$ .

De maneira bastante informal, vamos dar uma intuição para o resultado acima. Ao considerarmos a esperança condicional dada $\mathcal{F}^{\prime}$ , nós já conhecemos as variáveis aleatórias $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensuráveis, portanto elas se comportam como constantes.

Demonstração.

Mais uma vez, basta verificar que $ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})$ satisfaz as condições que definem a esperança condicional. A primeira é trivial, pois $ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})$ é $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável por ser um produto de funções $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensuráveis.

Para provar a segunda condição, começamos com o caso $Z=\1_{B}$ , implicando que $B\in\mathcal{F}^{\prime}$ , donde

E\big{(}ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})\1_{A}\big{)}=E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{% \prime})\1_{A\cap B}\big{)}=E(X\1_{A\cap B})=E(ZX\1_{A}).

Por linearidade, já sabemos que o resultado vale para funções $Z$ simples e gostaríamos de extender para quaisquer $Z$ positivas via Teorema da Convergência Monótona. Um problema aqui é que mesmo que $Z$ seja positiva, não sabemos se $E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ também será positiva.

Portanto, trataremos primeiramente do caso $X\geq 0$ . Para tais $X$ , sabemos pelo Lema 4.2 que $E(X|\mathcal{F}^{\prime})\geq 0$ quase certamente. Daí, podemos concluir que $ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})=E(ZX|\mathcal{F}^{\prime})$ para toda $Z\geq 0$ , podemos aproximá-la por baixo por $Z_{n}$ simples e, pelo Teorema da Convergência Monótona,

\begin{array}[]{e}E\big{(}ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}&\overset{\text{TCM% }}{=}&\lim_{n}E\big{(}Z_{n}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}\\ &=&\lim_{n}E\big{(}E(Z_{n}X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}\overset{\text{TCM}}{=% }E\big{(}E(ZX|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}.\end{array}

(4.12)

O que mostra o resultado sempre que $X\geq 0$ .

Além disso, pela Proposição 4.1, sabemos que $ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})\in\mathcal{L}^{1}$ . Podemos finalmente concluir a prova por linearidade decompondo $X=X_{+}-X_{-}$ . ∎

O próximo resultado tenta corroborar nossa afirmação que a esperança condicional é uma boa maneira de aproximar uma variável aleatória.

{lemma}

Se $X\in\mathcal{L}^{2}(P)$ e $\mathcal{F}^{\prime}\subseteq\mathcal{F}$ , então $E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ é a projeção ortogonal de $X$ no espaço vetorial $H_{\mathcal{F}^{\prime}}$ . Onde $H_{\mathcal{F}^{\prime}}=\{Y\in\mathcal{L}^{2};Y\text{ \'{e} $\mathcal{F}^{% \prime}$-mensur\'{a}vel}\}$ .

Demonstração.

Temos que verificar que $X-E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ é ortogonal a $H_{\mathcal{F}^{\prime}}$ . Ou seja, mostrar que para todo $Z\in H_{\mathcal{F}^{\prime}}$ , temos

E\big{(}XZ-E(X|\mathcal{F}^{\prime})Z\big{)}=0.

(4.13)

Note que não é claro que essa esperança faz sentido, pois não sabemos que $ZE(X|\mathcal{F}^{\prime})\in\mathcal{L}^{1}$ . Mas isso segue facilmente da Proposição 4.2.

Mas $E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})Z\big{)}=ZE\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\1% _{\Omega}\big{)}=ZE\big{(}X\1_{\Omega}\big{)}$ , provando o resultado. ⁶⁶todo: 6 Adicionar footnote. ∎

Vimos acima uma metodologia que se repete frequentemente. Digamos que queremos provar que uma determinada expressão nos dá a esperança condicional de algo. Podemos começar provando esse resultado para funções indicadoras, depois para funções simples usando a linearidade provada acima.

Porém ainda falta um ingrediente bastante importante para construir ou verificar que determinadas variáveis são esperanças condicionais.

{theorem}

[Convergência Monótona para Esperanças Condicionais] Se as variáveis $X_{n}$ satisfazem $X_{n}\uparrow X$ e estão todas em $\mathcal{L}^{1}(P)$ , então

\lim_{n}E(X_{n}|\mathcal{F}^{\prime})=E(X|\mathcal{F}^{\prime}).

(4.14)

Demonstração do Teorema 4.2.

Sabemos que $E(X_{n+1}|\mathcal{F}^{\prime})\geq E(X_{n}|\mathcal{F}^{\prime})$ , donde concluímos que $E(X_{n}|\mathcal{F}^{\prime})\uparrow Y$ . Vamos demosntrar que $Y=E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ .

a)

Por ser um limite de funções $\mathcal{F}^{\prime}$ mensuráveis, $Y$ é $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável.
b)

Dado $A\in\mathcal{F}^{\prime}$ , temos

$\begin{split}E(Y\1_{A})&=E(\lim_{n}E(X_{n}|\mathcal{F}^{\prime})\1_{A})% \overset{\text{TCM}}{=}\lim_{n}E\big{(}E(X_{n}|\mathcal{F}^{\prime})\1_{A}\big% {)}\\ &=\lim_{n}E(X_{n}\1_{A})\overset{\text{TCM}}{=}E(X\1_{A}).\end{split}$ (4.15)

O que termina a prova do teorema. ∎

No que segue, muitas vezes escreveremos $E(X|Z)$ para representar a esperança condicional $E(X|\sigma(Z))$ .

{exercise}

Sejam $X_{1}$ e $X_{2}$ as coordenadas canônicas em $\mathbb{R}\times E$ e definimos a probabilidade $\d{P}=\rho(x,y)\d{\mu}_{1}\d{\mu}_{2}$ , onde $\rho:\mathbb{R}\times E\to\mathbb{R}_{+}$ é uma densidade. Dê sentido à expressão abaixo e mostre que elá é $E(X_{1}|X_{2})$ :

\frac{\int x\rho(x,X_{2})\mu_{1}(\d{x})}{\int\rho(x,X_{2})\mu_{1}(\d{x})}.

(4.16)

{exercise}

Seja $E$ enumerável com uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}^{\prime}$ . Mostre que

\mathcal{F}^{\prime}=\sigma(A_{i},i\geq 1),\text{ com $A_{i}\subseteq E$ % disjuntos}.

(4.17)

Suponha que todos conjuntos $A_{i}$ tem probabilidade positiva e mostre que

E(X|\mathcal{F}^{\prime})=\sum_{i}E^{i}(X)\1_{A_{i}},

(4.18)

onde $E^{i}$ é a esperança com respeito à probabilidade $P(\cdot|A_{i})$ . Em breve extenderemos esse tipo de resultado a espaços quaisquer.

Uma outra propriedade que a esperança condicional herda da integral é a

{proposition}

[Desigualdade de Jensen] Se $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é convexa, $X,\phi(X)\in\mathcal{L}^{1}(P)$ , então

\phi\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}\leq E\big{(}\phi(X)|\mathcal{F}^{% \prime}\big{)}.

(4.19)

Demonstração.

Se $\phi$ for uma função linear, o resultado segue da linearidade que já provamos para a esperança condicional. Além disso, se temos uma função $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ linear e tal que $\psi(x)\leq\phi(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$ , então

E\big{(}\phi(X)|\mathcal{F}^{\prime}\big{)}\geq E\big{(}\psi(X)|\mathcal{F}^{% \prime}\big{)}=\psi\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}.

(4.20)

Tomamos finalmente o supremo em todas as $\psi$ lineares com $\psi\leq\phi$ dos dois lados da desigualdade acima, obtendo

E\big{(}\phi(X)|\mathcal{F}^{\prime}\big{)}\geq\sup_{\begin{subarray}{c}\psi% \leq\phi\\ \psi\text{ linear}\end{subarray}}\psi\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}=% \phi\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)},

(4.21)

terminando a prova da proposição. ∎

{corollary}

Se $X\in\mathcal{L}^{1}(P)$ , então $\big{|}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{|}\leq E\big{(}|X|\big{|}\mathcal{F}^{% \prime}\big{)}$ .

Uma outra propriedade interessante da esperança condicional diz respeito a sua relação com independência.

{proposition}

Se $X\in\mathcal{L}^{1}(P)$ é independente de $\mathcal{F}^{\prime}$ , então

E(X|\mathcal{F}^{\prime})=E(X)\text{ $P$-quase certamente.}

(4.22)

Demonstração.

Funções constantes são sempre mensuráveis. Além disso, se $A\in\mathcal{F}^{\prime}$ , então

E(X\1_{A})=E(X)P(A)=E\big{(}E(X)\1_{A}\big{)},

(4.23)

concluindo a prova. ∎

Terminamos essa seção com o que chamamos da propriedade de torre da esperança condicional.

{proposition}

Se $\mathcal{F}^{\prime}\subseteq\mathcal{F}^{\prime\prime}$ são ambas sub- $\sigma$ -álgebras de $\mathcal{F}$ , então para $X\in\mathcal{L}^{1}(P)$ , temos

E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{|}\mathcal{F}^{\prime\prime}\big{)}=E(X|% \mathcal{F}^{\prime})=E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime\prime})\big{|}\mathcal{F% }^{\prime}\big{)},

(4.24)

ou em outras palavras, independentemente da ordem, prevalece a condição na menor $\sigma$ -álgebra. Consequentemente, $E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime})\big{)}=E(X)$ .

Demonstração.

Como $E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ é $\mathcal{F}^{\prime\prime}$ -mensurável, a Proposição 4.2, aplicada com $X=1$ , mostra a primeira igualdade em (4.24).

Falta mostrar que $E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime\prime})\big{|}\mathcal{F}^{\prime}\big{)}$ é a esperança condicional de $X$ dada $\mathcal{F}^{\prime}$ . Obviamente ela é $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável, e nos resta verificar a segunda condição. Mas para todo $A\in\mathcal{F}^{\prime}$ , lembrando que $A$ também pertence a $\mathcal{F}^{\prime\prime}$ e usando a definição de esperança condicional duas vezes,

E\Big{(}E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime\prime})\big{|}\mathcal{F}^{\prime}\big% {)}\1_{A}\Big{)}=E\big{(}E(X|\mathcal{F}^{\prime\prime})\1_{A}\big{)}=E(X\1_{A% }).

(4.25)

O que termina a prova da proposição. ∎

{lemma}

Se $X:\Omega\to E$ é um elemento aleatório e $f:\Omega\to\mathbb{R}$ é $\sigma(X)$ -mensurável, então existe uma $g:E\to\mathbb{R}$ mensurável tal que $f=g\circ X$ .

Demonstração.

Como de costume, consideramos primeiramente o caso $f=\1_{A}$ Claramente $A$ tem que pertencer a $\sigma(X)$ , ou seja $A=X^{-1}(B)$ para algum $B\in\mathcal{A}$ . Neste caso colocamos $g=\1_{B}$ , donde obtemos $f(\omega)=1\Leftrightarrow\omega\in A\Leftrightarrow X(\omega)\in B% \Leftrightarrow g\circ X=1$ .

No caso em que $f$ é simples, temos $f=\sum_{i}a_{i}(g_{i}\circ X)=(\sum_{i}a_{i}g_{i})\circ X$ . Se $f$ é positiva, então ela é um limite crescente de funções do tipo $g_{n}\circ X$ , além disso podemos tomar $g_{n}$ crescentes, pois

f_{n+1}=f_{n+1}\vee f_{n}=(g_{n+1}\circ X)\vee(g_{n}\circ X)=(g_{n}\vee g_{n+1% })\circ X.

(4.26)

Finalmente usamos a linearidade da composição novamente para resolver o caso geral $f=f_{+}-f_{-}$ . ∎

Se $X:\Omega\to E$ é elemento aleatório, então $E(Y|\sigma(X))$ é obviamente $\sigma(X)$ -mensurável. Pelo lema anterior, $E(Y|\sigma(X))=g\circ X$ para alguma $g:E\to\mathbb{R}$ . Nesse caso denotamos

E(Y|X=x)=g(x).

(4.27)

{exercise}

Mostre que $g$ é única $X\circ P$ -quase certamente.

Gostaríamos de dizer que $E(Y|X=x)$ satisfaz alguma propriedade que justifique essa notação. Apesar de que apenas na próxima seção poderemos justificar completamente essa nomenclatura, nesse momento já podemos mostrar a seguinte relação

E(Y)=E\big{(}E(Y|X)\big{)}=E\big{(}E(Y|X=x)\circ X\big{)}=\int E(Y|X=x)(X\circ P% )(\d{x}).

Em outras palavras, para integrar $Y$ , basta conhecermos a distribuição de $X$ e a esperança condicional de $Y$ , dado que $X=x$ .

{exercise}

Sejam $X$ e $Y$ as coordenadas canônicas em $E_{1}\times E_{2}$ , com a probabilidade $P=\mu_{1}\otimes\mu_{2}$ e seja $f:E_{1}\times E_{2}\to\mathbb{R}$ em $\mathcal{L}^{1}(P)$ . Mostre que

E(f|X=x)=\int f(x,y)\mu_{2}(\d{y}).

(4.28)

{exercise}

Se $K$ é um núcleo de transição entre $E_{1}$ e $\mathbb{R}$ e $P_{1}$ é uma probabilidade em $E_{1}$ , mostre que em $P_{1}\star K$ temos

E(X_{2}|X_{1}=x_{1})=\int x_{2}K(x_{1},\d{x}_{2}).

(4.29)

Um outro resultado bastante importante é o seguinte

{theorem}

[Teorema da Convergência Dominada para Esperanças Condicionais] Se $X_{n}\to X$ e existe $Y\in\mathcal{L}^{1}(P)$ tal que $|X_{n}|\leq Y$ para todo $n$ , então

E(X_{n}|\mathcal{F})\to E(X|\mathcal{F})\text{ $P$-quase certamente.}

(4.30)

Demonstração.

Seja $Z_{n}=\sup_{k\geq n}|X_{k}-X|$ o erro máximo à partir de $n$ . Claramente, $Z_{n}\downarrow 0$ quase certamente e além disso

|Z_{n}|\leq\sup_{k\geq 1}|X_{k}|+|X|\leq 2Y,

(4.31)

donde $E(Z_{n})\to E(0)=0$ , quase certamente pelo Teorema da Convergência Dominada.

Obviamente $E(Z_{n}|\mathcal{F})$ é uma sequência positiva e não-crescente, logo decresce quase certamtente para algum $Z$ . Daí,

\big{|}E(X_{n}|\mathcal{F})-E(X|\mathcal{F})\big{|}\leq E(Z_{n}|\mathcal{F})% \downarrow Z\geq 0.

(4.32)

Mas $E(Z)\leq E\big{(}E(Z_{n}|\mathcal{F})\big{)}=E(Z_{n})$ . Como $E(Z_{n})$ vai a zero pelo Teorema da Convergência Dominada, temos que $Z=0$ quase certamente como gostaríamos. ∎

{exercise}

Sejam $Z_{1},Z_{2},\dots$ variáveis aleatórias \iidem $\mathcal{L}^{1}(P)$ com $E(Z_{1})=0$ .

a)

Defina $X_{0}=0$ e

$X_{n}=\sum_{i=1}^{n}Z_{i},\text{ para $n\geq 1$.}$ (4.33)

Mostre que $E(X_{n+1}|Z_{1},\dots,Z_{n})=X_{n}$ .
b)

Supondo agora que $Z_{1}\in\mathcal{L}^{2}(P)$ e $E(Z)=0$ , defina $Y_{0}=0$ e

$Y_{n}=\Big{(}\sum_{i=1}^{n}Z_{i}\Big{)}^{2}-nE(Z_{1}^{2})$ (4.34)

Mostre que $E(Y_{n+1}|Z_{1},\dots,Z_{n})=Y_{n}$ .

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