4.4 Princípio da substituição

O Teorema 4.3 é bastante poderoso e nos permite definir e calcular diversas probabilidades, como faremos à seguir. Nessa seção construiremos nossa última versão de probabilidade condicional regular que não se restringe a espaços produtos e nos fornecerá o que chamamos de Princípio da Substituição.

{theorem}

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},P)$ e $(E,\mathcal{A})$ espaços mensuráveis canônicos. Considere também $X:\Omega\to E$ um elemento aleatório, então existe um núcleo de transição $K$ de $E$ a $\Omega$ tal que

K(X(\omega),F)=E[\1_{F}|X],\text{ para todo $F\in\mathcal{F}$}.

(4.42)

Também denotamos esse núcleo como $K(x,F)=P[F|X=x]$ , que é único no sentido que se $K^{\prime}$ também satisfaz (4.42), então $K(x,F)=K^{\prime}(x,F)$ para $(X\circ P)$ -quase todo $x\in E$ .

Além disso vale o que chamamos de Princípio da Substituição:

K(x,[X=x])=1,\quad\text{$X\circ P$-quase certamente}.

(4.43)

Que pode ser dito de maneira estranha: $P[X=x|X=x]=1$ , quase certamente.

Figura 4.1: O gráfico do elemento aleatório

X

representado horizontalmente. Os pontos marcados no eixo vertical representam o conjunto

[X=x]

que possui medida um segundo

P[\;\cdot\;|X=x]

de acordo com o Teorema 4.4

Demonstração.

Defina o elemento aleatório $W:\Omega\to E\times\Omega$ , dado por $W(\omega)=(X(\omega),\omega)$ , que percorre o gráfico de $X$ (representado horizontalmente). Observe que a medida $P_{W}:=W\circ P$ possui marginais $(X_{1}\circ P_{W})=(X\circ P)$ e $(X_{2}\circ P_{W})=P$ . Como $P_{W}$ satisfaz as condições do Teorema 4.3, existe um núcleo $K:E\times\mathcal{F}\to[0,1]$ tal que para todo $A\in\mathcal{A}$ , $F\in\mathcal{F}$ ,

P_{W}(A\times F)=\int_{A}K(x,F)P_{X}(\d{x}).

(4.44)

Fixado $F\in\mathcal{F}$ , $K(X(\omega),F)$ é obviamente $\sigma(X)$ mensurável, por ser uma composição de uma função mensurável em $E$ com $X$ . Logo, para provar (4.42), basta mostrar a segunda propriedade de esperanças condicionais. Se $B\in\sigma(X)$ , podemos escrever $B=[X\in A]$ para algum $A\in\mathcal{A}$ , donde

\begin{split}E\big{[}K(X,F)\1_{B}\big{]}&=E\big{[}K(X,F)\1_{[X\in A]}\big{]}=% \int_{A}K(x,F)P_{X}(\d{x})\\ &=P_{W}(A\times F)=E[\1_{X\in A}\1_{F}]=E[\1_{B}\1_{F}],\end{split}

(4.45)

concluindo a prova de (4.42).

Para mostrarmos o Princípio da Substituição, vamos usar o seguinte lema.

{lemma}

Se $X:\Omega\to E$ é um elemento aleatódio tomando valores em um espaço $E$ canônico, então seu gráfico $G=\{(\omega,X(\omega));\omega\in\Omega\}$ é mensurável na $\sigma$ -álgebra produto $\mathcal{F}\otimes\mathcal{A}$ .

Demonstração.

Primeiramente, consideramos o caso $(E,\mathcal{A})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ . Neste caso, vemos que

G=\bigcap_{n\geq 1}\bigcup_{j\in\mathbb{Z}}[X\in\big{(}j/2^{n},(j+1)/2^{n}\big% {]}]\times\big{(}j/2^{n},(j+1l)/2^{n}\big{]},

(4.46)

que é mensurável.

Caso $E$ seja outro espaço canônico qualquer, existe $\phi:E\to B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ bi-mensurável e $G=\Phi^{-1}(G_{\phi\circ X})$ , onde $G_{\phi\circ X}$ é o gráfico de $\phi\circ X$ e $\Phi(\omega,x)=(\omega,\phi(x))$ . Logo $G$ também é mensurável nesse caso. ∎

Retornando à prova de (4.43), já sabemos que $G^{\prime}=\{(X(\omega),\omega);\omega\in\Omega\}$ é mensurável. Além disso, por definição $P_{W}(G^{\prime})=P[(X(\omega),\omega)\in G^{\prime}]=P(\Omega)=1$ , ou seja a medida $P_{W}$ tem suporte em $G^{\prime}$ .

Logo podemos escrever

\begin{split}1=P_{W}(G^{\prime})&=\int\int\1_{G^{\prime}}(x,\omega)K(x,\d{% \omega})(X\circ P)(\d{x})\\ &=\int K(x,[X=x])(X\circ P)(\d{x}).\end{split}

(4.47)

Mas como o integrado acima pertence a $[0,1]$ , essa integral só pode ser um se $K(x,[X=x])=1$ , $(X\circ P)$ -quase certamente, como desejado. ∎

{exercise}

Sejam $X:\Omega\to E$ e $Y:\Omega\to E^{\prime}$ elementos aleatórios com $E$ canônico. Então existe um núcleo de transição $K$ entre $E$ e $E^{\prime}$ tal que

K(X(\omega),B)=E[\1_{Y\in B}|X],\text{ para todo $B\in\mathcal{A}^{\prime}$}.

(4.48)

Poderíamos chamar esse núcleo de $K(x,B)=P[Y\in B|X=x]$ .

{exercise}

Mostre que se $K(x,F)=P[F|X=x]$ , então

\int f(\omega^{\prime})K(X(\omega),\d{\omega}^{\prime})=E(f|X)(\omega),\text{ % para toda $f\in\mathcal{F}$}.

(4.49)

{exercise}

Se $Y$ é variável aleatória e $X:\Omega\to E$ é um elemento aleatório canônico, mostre que

E(Y|X)=\int yP(Y\in\d{y}|X=\cdot)\circ X,\text{ $P$-q.c.}

(4.50)

Vamos agora mostrar uma aplicação do que foi feito acima, tentando justificar o nome Princípio da Substituição.

{lemma}

Se $X,Y$ são variáveis aleatórias independentes, então a função de distribuição acumulada $F$ de $X+Y$ é dada por

F(z)=P[X+Y\leq z]=\int_{-\infty}^{\infty}F_{Y}(z-x)(X\circ P)(\d{x}),

(4.51)

onde $F_{Y}(y)=P[Y\leq y]$ .

Esse lema pode ser visto como uma generalização do Exercício 2.5.2 para o caso não absolutamente contínuo. Vale a pena tentar diferenciar (não rigorosamente) a equação acima em $z$ .

Demonstração.

Vamos calcular

\begin{split}P[X+Y\leq z]&=E\big{(}E(\1_{[X+Y\leq z]}|X)\big{)}\\ &=E\big{(}E(\1_{[X+Y\leq z]}|X)\big{)}\\ &=E\Big{(}P[X+Y\leq z|X=\cdot)\circ X\Big{)}\\ &=E\Big{(}P[X+Y\leq z,X=x|X=\cdot)\circ X\Big{)}\\ &=E\Big{(}P[Y\leq z-x|X=\cdot]\circ X\Big{)},\end{split}

(4.52)

onde $P[Y+X\leq z|X=\cdot]$ representa a função $x\mapsto P[Y+X\leq z|X=x]$ .

Agora vamos usar a hipótese que $X$ e $Y$ são independentes. Isso equivale a dizer que a distribuição conjunta desse par é igual a $P_{X}\otimes P_{Y}$ e pela unicidade da probabilidade condicional regular temos que $P[Y\in F|X=x]=P[Y\in F]$ , $(X\circ P)$ -quase certamente, veja Exercício 4.3. Portanto,

P[X+Y\leq z]=E\big{(}P[Y\leq z-\cdot]\circ X\big{)}=\int_{-\infty}^{\infty}F_{% Y}(z-x)(X\circ P)(\d{x}),

(4.53)

terminando a prova do lema. ∎

{exercise}

Considere as medidas

\mu_{a}=\frac{\delta_{-1}+\delta_{1}}{2},\qquad\text{e}\qquad\mu_{b}=\mathcal{% N}(0,1).

(4.54)

e $K:\mathbb{R}\times\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]$ dada por

K(x,A)=\begin{cases}\mu_{a}(A-x),&\text{ se $x<0$,}\\ \mu_{b}(A-x),&\text{ se $x\geq 0$,}\end{cases}

(4.55)

Mostre que

a)

$K$ define um núcleo de transição entre $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ .
b)
Se $X_{1},X_{2},\dots$ for uma cadeia de Markov em $\mathbb{R}$ com núcleo de transição $K$ , então calcule
1. i)
  
  $E(X_{i})$ , para todo $i\geq 1$ e
2. ii)
  
  $\text{Var}(X_{i})$ , para todo $i\geq 1$ .
3. iii)
  
  Mostre que
  
  $\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt{n}}\Rightarrow\mathcal{N}(0,1).$ (4.56)