Capítulo 1 Fundamentos

A probabilidade moderna se baseia fortemente na Teoria da Medida e supomos durante esse curso que o leitor esteja bem familiarizado com conceitos tais como: Medida de Lebesgue, extensões de medida e teoremas de convergência. Iremos agora justificar brevemente a escolha da Teoria da Medida para o estudo de probabilidade.

No início da Teoria da Probabilidade, a maioria dos fenômenos estudados apresentava apenas um número finito de resultados possíveis, como por exemplo ao se jogar um dado de seis lados ou sortear uma carta em um baralho. Em tais casos é desnecessário o uso de ferramentas sofisticadas pra modelar tais situações. Por exemplo, podemos simplesmente dizer que a probabilidade de se obter cada um dos lados do dado é igual a $1/6$.

Mas digamos por exemplo que queremos um modelo para estudar o volume de chuva em uma cidade durante um ano. Obviamente, esse volume poderia ser qualquer número real positivo e não podemos simplesmente atribuir valores positivos de probabilidade a cada número real (lembramos que somas não enumeráveis de termos positivos são sempre infinitas). Mas como podemos continuar nossa modelagem se nem ao menos podemos dizer qual é a probabilidade de chover um determinado volume esse ano, por exemplo $(\pi/19)mm$?

A solução para tal dilema, se baseia no fato de que na verdade nunca estamos interessados no exato resultado do nosso experimento. Gostaríamos sim de responder perguntas do tipo: qual é a probabilidade de que chova entre zero e $37mm$? Estamos portanto interessados em atribuir probabilidades não a valores exatos do experimento, mas a certos conjuntos de possíveis valores. Chamamos tais conjuntos de eventos.

Voltando ao caso do dado de seis lados, poderíamos nos interessar por exemplo pela probabilidade dos seguintes eventos: o lado sorteado foi ímpar ($P(\{1,3,5\})=1/2$) ou o lado serteado foi dois ($P(\{2\})=1/6$). E percebemos rapidamente que para eventos disjuntos a probabilidade de sua união é a soma de suas probabilidades (no caso acima, $P(\{1,2,3,5\})=1/2+1/6=2/3$). Esse caráter aditivo da probabilidade certamente nos remete aos conceitos básicos de Teoria da Medida. Vamos agora formalizar a discussão acima com mais calma, sob a ótica dessa teoria.