1.1 Espaços mensuráveis

Denotaremos sempre por $\Omega$ o nosso espaço amostral (a princípio qualquer conjunto). Um ponto nesse espaço corresponde por exemplo a um possível resultado do nosso experimento aleatório.

Possíveis exemplos de espaço amostral

1.  a)
   ​

   $\Omega_{1}=\{1,2,\dots,6\}$,

2.  b)
   ​

   $\Omega_{2}=\mathbb{R}_{+}$,

3.  c)
   ​

   $\Omega_{3}=\{f:[0,1]\to\mathbb{R};\text{$f$ \'{e} cont\'{\i}nua}\}$.

Os exemplos acima poderiam ser usados em modelar por exemplo: o resultado de um dado, o volume anual de chuva em uma cidade e o comportamento ao longo do dia do preço de uma ação na bolsa de valores.

Consideraremos sempre $\Omega$’s equipados com uma $\sigma$-álgebra denotada por $\mathcal{F}$. Mais precisamente {definition} Dizemos que $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ é uma $\sigma$-álgebra se

1.  a)
   ​

   $\Omega\in\mathcal{F}$,

2.  b)
   ​

   $A\in\mathcal{F}$ implica que $A^{c}\in\mathcal{F}$ e

3.  c)
   ​

   se $A_{1},A_{2},\dots\in\mathcal{F}$, então $\cup_{i}A_{i}\in\mathcal{F}$.

Nesse caso, dizemos que $(\Omega,\mathcal{F})$ é um espaço mensurável e os elementos $A\in\mathcal{F}$ são chamados de eventos.

Se $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ (que chamamos de uma classe ou família), denotamos por $\sigma(\mathcal{G})$ a $\sigma$-álgebra gerada por $\mathcal{G}$ , que é a menor $\sigma$-álgebra contendo $\mathcal{G}$ (ou em outras palavras, a interseção de todas $\sigma$-álgebras que contém $\mathcal{G}$). Um exemplo importante é dado pela $\sigma$-álgebra de Borel , gerada pelos abertos de uma topologia em $\Omega$.

Típicos exemplos de $\sigma$-álgebra correspondentes aos espaços amostrais do Exemplo 1.1

1.  a)
   ​

   $\mathcal{F}_{1}=\mathcal{P}(\Omega_{1})$,

2.  b)
   ​

   $\mathcal{F}_{2}=\mathcal{B}([0,1])$ e

3.  c)
   ​

   $\mathcal{F}_{3}=\mathcal{B}(C[0,1])$.

Alguns eventos de $\mathcal{F}_{1},\mathcal{F}_{2}$ e $\mathcal{F}_{3}$ acima

1.  a)
   ​

   $\{\text{$x$ \'{e} \'{\i}mpar}\},\{1\}\subset\Omega_{1}$,

2.  b)
   ​

   $[0,1/2],\{0\},(\mathbb{Q}\cap[0,1])\subset\Omega_{2}$ e

3.  c)
   ​

   $\{f:[0,1]\to\mathbb{R};f(1)>0\}\subset\Omega_{3}$.

Mostre que $\{f:[0,1]\to\mathbb{R};f(t)\geq 0\text{ para todo $t\in[0,1]$}\}\subset\Omega_{3}$ é um evento (ou seja, pertence a $\mathcal{F}_{3}$).

Se $Q$ for uma condição qualquer sobre candidatos $\omega\in\Omega$, escreveremos $[\text{$\omega$ satisfaz $Q$}]$ para denotar $\{\omega\in\Omega;\text{ $\omega$ satisfaz $Q$}\}$.

Por exemplo, $\{f:[0,1]\to\mathbb{R};f(1)>0\}$ pode ser escrita simplesmente como $[f(1)>0]$.