1.3 Sistemas $\lambda$-$\pi$

Obviamente, basta mostrar é que $\lambda(\mathcal{A})$ é fechado por uniões não necessariamente disjuntas. Na verdade, vamos ver que é suficiente provar que

De fato, caso isso seja provado teremos que $\lambda(\mathcal{A})$ é fechado por diferenças (pois $A\setminus B=A\cap B^{c}$). Assim, podemos mostrar que $\lambda(\mathcal{A})$ é fechado por uniões enumeráveis, pois se $A_{1},A_{2},\dots\in\lambda(\mathcal{A})$, definimos $B_{n}=\cup_{i=1}^{n}A_{i}=(\cap_{i=1}^{n}A_{i}^{c})^{c}\in\lambda(\mathcal{A})$ e escrevemos

que é uma união disjunta de termos em $\lambda(\mathcal{A})$, logo está em $\lambda(\mathcal{A})$. Isso mostra que $\lambda(\mathcal{A})$ é uma $\sigma$-álgebra e que de fato é suficiente demonstrar (1.17).

Vamos primeiramente mostrar que $\lambda(\mathcal{A})$ é fechado por interseções com $\mathcal{A}$. Para tanto, definimos $\mathcal{B}=\big{\{}B\in\lambda(\mathcal{A});\text{$B\cap A\in\lambda(\mathcal{A})$ para todo $A\in\mathcal{A}$})\big{\}}$ e veremos que

Obviamente, $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$, pois $\mathcal{A}$ é um $\pi$-sistema. Então basta mostrar que $\mathcal{B}$ é um $\lambda$-sistema.

1.  a)
   ​

   $\Omega$ obviamente pertence a $\mathcal{B}$.

2.  b)
   ​

   Se $B\in\mathcal{B}$ e $A\in\mathcal{A}$, então $B^{c}\cap A=A\setminus(B\cap A)=(A^{c}\cup(B\cap A))^{c}$. Mas como $B\in\mathcal{B}$, $(B\cap A)\in\lambda(\mathcal{A})$ e usando o fato que $\lambda$-sistemas são fechados por complementos e uniões disjuntas, $B^{c}\cap A\in\lambda(\mathcal{A})$. Como isso vale para todo $A\in\mathcal{A}$, temos $B^{c}\in\mathcal{B}$ por definição.

3.  c)
   ​

   Se $B_{1},B_{2},\dots\in\mathcal{B}$ são disjuntos e $A\in\mathcal{A}$, então

   $$\big{(}\mcup\nolimits_{n=1}^{\infty}B_{n}\big{)}\cap A=\mcup_{n=1}^{\infty}\big{(}B_{n}\cup A\big{)}\in\lambda(\mathcal{A}),$$ (1.20)

   pois a união acima é disjunta. Logo $\mcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\in\mathcal{B}$.

Isso mostra que $\mathcal{B}$ é um $\lambda$-sistema com $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}\subseteq\lambda(\mathcal{A})$, mostrando (1.19).

No próximo passo, definimos $\bar{\mathcal{B}}=\{A\in\lambda(A);\text{$B\cap A\in\lambda(A),\;\forall B\in\lambda(A)$}\}$ e mostraremos que

que vai na direção de provar (1.17).

Primeiramente, observe que $\mathcal{A}\subseteq\bar{\mathcal{B}}$ pois $\mathcal{B}=\lambda(\mathcal{A})$ (veja a definição de $\mathcal{B}$). Mostraremos agora que

Para tanto, verificaremos

1.  a)
   ​

   $\Omega\in\bar{\mathcal{B}}$, que é claro.

2.  b)
   ​

   Tomando $A\in\bar{\mathcal{B}}$ e $B\in\lambda(\mathcal{A})$, $A^{c}\cap B=B\setminus(A\cap B)=\big{(}B^{c}\cup(A\cap B)\big{)}^{c}\in\lambda(\mathcal{A})$, por um argumento análogo ao apresentado para $\mathcal{B}$. Logo $A^{c}\in\bar{\mathcal{B}}$.

3.  c)
   ​

   Também o caso de uniões disjuntas é bastante análogo ao feito para $\mathcal{B}$.

Isso mostra que $\bar{\mathcal{B}}$ é um $\lambda$-sistema com $\mathcal{A}\subseteq\bar{\mathcal{B}}\subseteq\lambda(\mathcal{A})$, estabelecendo (1.22).

Finalmente mostraremos que $\lambda(\mathcal{A})$ é um $\pi$-sistema. De fato, dado $A\in\lambda(\mathcal{A})$, segue da igualdade $\bar{\mathcal{B}}=\lambda(\mathcal{A})$ que $A\cap B\in\lambda(\mathcal{A})$, para todo $B\in\lambda(\mathcal{A})$. Logo estabelecemos (1.17), terminando a prova do teorema. ∎