1.2 Espaços de probabilidade

Agora estamos prontos para introduzir o conceito moderno do que é uma probabilidade.

{definition}

Dado $(\Omega,\mathcal{F})$ espaço mensurável, dizemos que $P:\mathcal{F}\to[0,1]$ é uma probabilidade se

a)

$P(\Omega)=1$ e
b)

Seja uma seqüência $(A_{i})_{i\in I}$ finita ou enumerável de eventos disjuntos ( $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ se $i\neq j$ ), então

$P\big{(}{\mcup\nolimits_{i\in I}}A_{i}\big{)}=\sum_{i\in I}P(A_{i}).$ (1.1)

Obviamente, isso nada mais é que uma medida que associa massa um ao espaço todo.

{example}

Probabilidades nos espaços do Exemplo 1.1

a)

$P_{1}(A)=(\#A)/6$ em $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1})$ . Ou mais geralmente $P_{1}^{\prime}(A)=\sum_{i\in A}p_{i}$ , onde $p_{i}\geq 0$ e $\sum_{i}p_{i}=1$ .
b)

$P_{2}$ pode ser a medida de Lebesgue em $([0,1],\mathcal{B}([0,1]))$ . Mais geralmente também podemos ter $P_{2}^{\prime}(A)=\int_{A}\rho(x)\d{x}$ , onde $\rho:[0,1]\to\mathbb{R}_{+}$ é uma função mensurável, chamada densidade, tal que $\int_{[0,1]}\rho(x)\d{x}=1$ .
c)

$P_{3}=\delta_{0}$ , que atribui o valor um se o evento contém a função identicamente nula ( $f\equiv 0$ ) e zero caso contrário.

Obviamente o terceiro exemplo é bastante artificial (e inútil). Mas, futuramente, estaremos prontos para introduzir medidas bem interessantes no espaço $(\Omega_{3},\mathcal{F}_{3})$ .

{proposition}

Valem as afirmativas seguintes

a)

Se $A\subseteq B$ então $P(A)\leq P(B)$ .
b)

A cota da união: para $I$ finito ou enumerável

$P\big{(}\mcup\nolimits_{i\in I}A_{i}\big{)}\leq\smash{\sum\limits_{i\in I}}P(A% _{i}).$ (1.2)
c)

O que chamamos de princípio da inclusão e exclusão

$P\big{(}\mcup\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\big{)}=\smash{\sum\limits_{k=1}^{n}}(-1)% ^{k-1}\sum\limits_{1\leq i_{1}<\dots<i_{k}\leq n}P(A_{i_{1}}\cap\dots\cap A_{i% _{k}}).$ (1.3)

Demonstração.

$a)$ Como $A\cap(B\setminus A)=\varnothing$ , então

P(B)=P(A\cup(B\setminus A))=P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A).

(1.4)

$b)$ $P(A\cup B)=P(A\cup(B\setminus A))=P(A)+P(B\setminus A)\leq P(A)+P(B)$ .
Deixamos o caso enumerável como exercício abaixo.

$c)$ Chamamos de $A$ a união dos $A_{i}$ . Basta mostrar a validade da equação abaixo e depois integrar com respeito a $P$ .

\1_{A}(\omega)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum_{\begin{subarray}{c}I\subseteq\{1,% \dots,n\}\\ |I|=k\end{subarray}}\prod_{i\in I}\1_{A_{i}}(\omega).

(1.5)

Para tanto, observe que para todo $\omega\in\Omega$ ,

(\1_{A}-\1_{A_{1}})\cdot\dots\cdot(\1_{A}-\1_{A_{n}})(\omega)=0.

(1.6)

Logo, expandindo o produto acima obtemos

\1_{A}+\sum_{k=1}^{n}\sum_{\begin{subarray}{c}I\subseteq\{1,\dots,n\}\\ |I|=k\end{subarray}}(-1)^{k}\prod_{i\in I}\1_{A_{i}}(\omega)=0,

(1.7)

que equivale a (1.5). ∎

{exercise}

Mostre que $P\big{(}\mcup\nolimits_{i}A_{i}\big{)}\leq\sum_{i}P(A_{i})$ no caso enumerável.

{exercise}

Mostre que

\begin{split}P\big{(}\mcup\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\big{)}&\leq\sum\limits_{k=1% }^{m}(-1)^{k-1}\sum\limits_{1\leq i_{1}<\dots<i_{k}\leq n}P(A_{i_{1}}\cap\dots% \cap A_{i_{k}})\text{ se $m$ \'{e} \'{\i}mpar e}\\ P\big{(}\mcup\nolimits_{i=1}^{n}A_{i}\big{)}&\geq\sum\limits_{k=1}^{m}(-1)^{k-% 1}\sum\limits_{1\leq i_{1}<\dots<i_{k}\leq n}P(A_{i_{1}}\cap\dots\cap A_{i_{k}% })\text{ se $m$ \'{e} par.}\end{split}

{exercise}

Seja $n\geq 1$ um número inteiro e considere $\Omega=\{0,1\}^{n}$ , o hipercubo de dimensão $n$ (cada $\omega\in\Omega$ pode ser visto como uma função $\omega:\{1,\dots,n\}\to\{0,1\}$ ). Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ , definimos o evento $A_{i}=\{\omega\in\Omega;\omega(i)=1\}$ . Dadas duas probabilidades $P$ e $P^{\prime}$ em $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega))$ , mostre que se $P(B)=P^{\prime}(B)$ para todos conjuntos $B$ dados por interseções de $A_{i}$ ’s, então $P=P^{\prime}$ .

{proposition}

Toda probabilidade $P$ é contínua, isto é:

a)

Se $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots\in\mathcal{F}$ for uma sequência crescente de eventos, então
$\lim_{n\to\infty}P(A_{n})=P(\mcup\nolimits_{n=1}^{\infty}A_{n})$ .
b)

Também, se $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq\dots\in\mathcal{F}$ , temos $\lim\limits_{n\to\infty}P(A_{n})=P(\mcap\nolimits_{n=1}^{\infty}A_{n})$ .

Demonstração.

$a)$ Observe que

\mcup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\mcup_{n=1}^{\infty}\Big{(}A_{n}\setminus\big{(}% \mcup_{i=1}^{n-1}A_{i}\big{)}\Big{)},

(1.8)

que são disjuntos. Logo

\begin{split}P\big{(}\mcup\nolimits_{n=1}^{\infty}A_{n}\big{)}&=\sum_{n=1}^{% \infty}P\Big{(}A_{n}\setminus\big{(}\mcup\nolimits_{i=1}^{n-1}A_{i}\big{)}\Big% {)}\\ &=\lim_{n\to\infty}P({\mcup\nolimits_{i=1}^{n}}A_{i})=\lim_{n\to\infty}P(A_{n}% ).\end{split}

(1.9)

$b)$ A prova é análoga à de $(a)$ . ∎

{lemma}

[Borel-Cantelli - primeira parte] Sejam $A_{1},A_{2},\dots\in\mathcal{F}$ satisfazendo $\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})<\infty$ . Então

P[\text{$A_{i}$ para infinitos $i$}]:=P\big{(}{\mcap\nolimits_{n=1}^{\infty}}(% {\mcup\nolimits_{i\geq n}}A_{i})\big{)}=0.

(1.10)

Demonstração.

Estimamos

P\Big{(}{\mcap_{n=1}^{\infty}}\big{(}{\mcup\nolimits_{i\geq n}}A_{i}\big{)}% \Big{)}=\lim_{n\to\infty}P\big{(}{\mcup\nolimits_{i\geq n}}A_{i}\big{)}\leq% \lim_{n\to\infty}{\textstyle\sum\limits_{i\geq n}}P(A_{i})=0.

(1.11)

O que termina a prova do lemma. ∎

Demonstração.

Sejam $A_{1},A_{2},\dots\in\mathcal{F}$ satisfazendo $\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})<\infty$ , e defina, para $n\geq 1$ ,

f_{n}=\sum_{k=1}^{n}\textbf{1}_{A_{k}},

(1.12)

de modo que

\big{[}\text{$A_{i}$ para infinitos $i$}\big{]}=\big{[}\lim_{n}f_{n}=\infty% \big{]}.

(1.13)

Note agora que $(f_{n})_{n\geq 1}$ forma uma sequência monótona de funções com $\lim_{n}f_{n}=\sum_{k=1}^{\infty}\textbf{1}_{A_{k}}$ . Em particular, o Teorema da convergência monótona implica que

\int\sum_{k=1}^{\infty}\textbf{1}_{A_{k}}=\lim_{n}\int f_{n}\d{P}=\lim_{n}\sum% _{k=1}^{n}P(A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})<\infty.

(1.14)

Isto nos dá que

P\big{(}\lim_{n}f_{n}=\infty)=0,

(1.15)

e completa a demonstração. ∎

Imagine que jogamos todos os dias em uma loteria e que nossa probabilidade de ganhar no dia $i$ é $p_{i}$ . Então se $\sum_{i}p_{i}<\infty$ , sabemos que certamente não ganharemos infinitas vezes.