1.4 Elementos aleatórios

Muitas vezes não estamos interessados no resultado exato do nosso experimento aleatório, mas sim em uma determinada medição ou função de $\omega\in\Omega$ . Por exemplo, no caso do Exemplo 1.1 $c)$ , talvez não nos interesse toda a função $f$ , mas apenas o seu valor no fim do dia $f(1)$ . Essas medições são ditas elementos aleatórios que definimos à seguir.

Seja $(E,\mathcal{A})$ um espaço mensurável. Nesse caso, se $X:\Omega\to E$ é uma função $(\mathcal{F},\mathcal{A})$ -mensurável, dizemos que $X$ é um elemento aleatório em $(\Omega,\mathcal{F})$ tomando valores em $E$ , ou um $E$ -elemento aleatório.

{example}

Consideramos os casos

a)

$X:\Omega\to\mathbb{R}$ mensurável é dita variável aleatória.
b)

$X:\Omega\to\mathbb{R}^{d}$ mensurável é dito vetor aleatório ( $d$ -dimensional).
c)

$X:\Omega\to C[0,1]$ mensurável é dita função aleatória.

Seguindo a motivação do Exemplo 1.1 $c)$ , poderia ser que, por exemplo, estivéssemos interessados apenas na variável aleatória $X:\Omega_{3}\to\mathbb{R}$ dada por $X(f)=f(1)$ .

{exercise}

Mostre que $X:\Omega_{3}\to\mathbb{R}$ dada por $X(f)=f(1)$ é uma variável aleatória.

Citando Kingman em seu livro Poisson Processes: “a random elephant is a function from $\Omega$ into a suitable space of elephants.”

Relembrando a nossa notação: $P[X\in A]=P(\{\omega\in\Omega;X(\omega)\in A\})$ .

{proposition}

Seja $X:\Omega\to E$ onde $(E,\mathcal{A})$ é um espaço mensurável com $\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{G})$ . Então para verificar que $X$ é um elemento aleatório, basta provar que $X^{-1}(G)\in\mathcal{F}$ para todo $G\in\mathcal{G}$ .

Demonstração.

Teoria da Medida. ∎

{example}

Se $\Omega$ e $E$ são espaços topológicos dotados das correspondentes $\sigma$ -álgebras de Borel, então toda função contínua é um $E$ -elemento aleatório.

1.4.1 Distribuição de elementos aleatórios

{definition}

Se $X:\Omega\to E$ é um elemento aleatório e $\Omega$ é dotado de uma probabilidade $P$ , então denotamos por $X_{*}P$ , a chamada distribuição de $X$ , a medida de probabilidade

X_{*}P(A):=P\big{(}\{\omega\in\Omega;X(\omega)\in A\}\big{)}=P[X\in A].

(1.25)

no espaço mensurável $(E,\mathcal{A})$ .

{remark}

Essa definição corresponde com a de medida imagem vista no curso de integração que tem um papel ainda mais importante em probabilidade.

Fica como exercício verificar que $X_{*}P$ é de fato uma probabilidade em $E$ .

{exercise}

Seja $X:[0,1]\to\{0,1\}$ dada por $X(\omega)=\1_{A}(\omega)$ . Nesse caso, mostre que $X_{*}P=\Ber(p)$ para algum $p\in[0,1]$ . Calcule o valor de $p$ .

Duas notações importantes nesse contexto são:

a)

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},P)$ e $(\Omega^{\prime},\mathcal{F}^{\prime},P^{\prime})$ dois espaços de probabilidade e $X$ e $Y$ dois elementos aleatórios. Dizemos que $X\stackrel{{\scriptstyle d}}{{=}}Y$ , quando $X_{*}P=Y_{*}P^{\prime}$ . Note que $X$ e $Y$ nem ao menos precisam pertencer ao mesmo espaço de probabilidade para dizermos que são igualmente distribuídos, mas precisam ser elementos aleatórios de mesmo tipo (ou seja, possuir o mesmo contradomínio).
b)

Escrevemos $X\distr\mu$ , que lê-se $X$ é distribuída como $\mu$ , onde $\mu$ é uma probabilidade em $E$ , caso $X_{*}P=\mu$ .

{exercise}

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias tais que $X$ é nula quase certamente. Mostre que $X+Y$ tem a mesma distribuição de $Y$ .

O exercício acima é bastante simples, mas o usaremos para fazer uma importante observação sobre como são enunciados tipicamente os resultados de probabilidade.

Raramente encontramos teoremas que explicitam qual é o espaço de probabilidades $\Omega$ em questão. Como no exercício acima, o contexto de um teorema frequentemente é dado apenas em termos de elementos aleatórios em $\Omega$ e de suas distribuições. Dessa forma, podemos utilizar o resultado em vários contextos diferentes, desde que possamos encontrar elementos aleatórios que satisfaçam as hipóteses. Com o tempo, passamos até mesmo a considerar menos relevante a escolha específica do espaço amostral, focando cada vez mais na distribuição de seus elementos aleatórios.