Tópico: O paradoxo de Bertrand

Vamos estudar um problema que realça a importância do jeito em que escolhemos o espaço amostral. Queremos calcular a probabilidade que uma corda “uniformemente distribuida” em um círculo seja maior do que o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo (no caso do círculo unitário, o comprimento desse lado vale $\sqrt{3}$). Bertrand propôs dois métodos para realizar esse cálculo. ¹¹ 1 Somos gratos a Hubert Lacoin por sugerir e redigir esse tópico.

1.  a)
   ​

   Escolher as duas extremidades da corda uniformemente no círculo.

2.  b)
   ​

   Escolher o centro da corda uniformemente no interior do disco.

No caso $a)$, uma vez que uma extremidade é fixada, o comprimento da corda fica maior do que $\sqrt{3}$ somente se o segundo ponto ficar num setor angular de comprimento $2\pi/3$. Logo, essa probabilidade vale $(2\pi/3)/(2\pi)=1/3$.

No caso $b)$, pra que a corda fique maior do que $\sqrt{3}$, o centro dela deve ficar no circulo inscrito dentro do triângulo equilátero, cujo raio é $1/2$. Então a probabilidade vale a razão dessas áreas, que é $1/4$.

Obtemos então duas respostas diferentes para essa pergunta simples, o que não é nada surpreendente: $a)$ e $b)$ correspondem a dois experimentos diferentes com espaços amostrais diferentes.

1.  a)
   ​

   Descreva o espaço amostral e as lei de probabilidade associadas aos experimentos $a)$ e $b)$

2.  b)
   ​

   Calcule a lei de probabilidade do comprimento da corda em cada caso.

3.  c)
   ​

   Repita os ítens anteriores para o seguinte caso: Escolhemos uniformemente um raio do disco. Depois escolhemos o centro da corda uniformemente ao longo desse raio.