2.5 Independência

Nossa intuição nos diz que quando jogamos duas moedas, o resultado de cada uma delas não deve depender um do outro. Dessa forma, a probabilidade de obtermos um determinado resultado (como por exemplo duas caras) deve ser um quarto, ou seja, meio vezes meio.

Em geral, definimos dois eventos como independentes da seguinte forma.

{definition}

Dizemos que dois eventos $A,B\in\mathcal{F}$ são independentes se

P(A\cap B)=P(A)P(B).

(2.15)

{example}

Se $\Omega=\{1,\dots,6\}$ é dotada da $\sigma$ -álgebra das partes e $P(A)=\#A/6$ , então os eventos $A=[\omega\text{ \'{e} impar}]$ e $B=[\omega\geq 5]$ satisfazem

P(A\cap B)=P(\{5\})=1/6=(1/2)(1/3)=P(A)P(B).

(2.16)

Logo tais eventos são independentes.

{exercise}

Seja $\Omega=\{0,1\}^{n}$ com $P(A)=\#A/2^{n}$ e $X_{i}(\omega_{1},\dots,\omega_{n})=\omega_{i}$ para $i=1,\dots,n$ . Mostre que

P[X_{i}=a,X_{j}=b]=P[X_{i}=a]P[X_{j}=b],

(2.17)

onde $[A,B]$ denota a interseção $A\cap B$ .

2.5.1 Coleções de eventos

²²todo: 2 discutir a alternativa

I=\{1,\dots,k\}

que é ruim (basta adicionar

\varnothing

que qq coisa fica indep).

{definition}

Sejam $A_{1},A_{2},\dots,A_{k}$ eventos. Dizemos que eles formam uma coleção independente se para todo $I\subseteq\{1,\dots,k\}$ não vazio

P\big{(}\mcap\nolimits_{i\in I}A_{i}\big{)}=\prod\limits_{i\in I}P(A_{i}).

(2.18)

Vale observar que independência dois a dois não implica independência. Mais precisamente {example} Seja $\Omega=\{1,2,3,4\}$ com $P(A)=\#A/4$ e sejam os seguintes eventos: $A_{1}=\{1,2\}$ , $A_{2}=\{2,3\}$ e $A_{3}=\{1,3\}$ . Nesse caso,

a)

$P(A_{i})=1/2$ para $i=1,2,3$ ,
b)

$P(A_{i}\cap A_{j})=1/4$ para todo $i\neq j$ mas
c)

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=0\neq 1/8=P(A_{1})P(A_{2})P(A_{3})$ .

{definition}

Dizemos que uma coleção infinita de eventos $(A_{n})_{n\geq 1}$ é independente se toda sub-coleção finita de tais eventos forem independentes.

{lemma}

Se $(A_{n})_{n\geq 1}$ forma uma sequencia de eventos independentes, então

P\Big{(}\mcap_{i=1}^{\infty}A_{i}\Big{)}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}P(A_{i}).

(2.19)

Demonstração.

De fato,

P\Big{(}\mcap_{i=1}^{\infty}A_{i}\Big{)}=\lim_{n\to\infty}P\Big{(}\mcap_{i=1}^% {n}A_{i}\Big{)}=\lim_{n\to\infty}\prod\limits_{i=1}^{n}P(A_{i})=\prod\limits_{% i=1}^{\infty}P(A_{i}).\qed

{exercise}

Mostre que se $A\in\mathcal{F}$ , então $\{B\in\mathcal{F}\,:\,B\text{ \'{e} independente de }A\}$ é um $\lambda$ -sistema.

{exercise}

Mostre que se $B$ é independente de $A$ para todo $B\in\mathcal{B}$ , com $\mathcal{B}$ um $\pi$ -sistema, então $B$ é independente de $A$ para todo $B\in\sigma(\mathcal{B})$ .

2.5.2 Independência de $\sigma$ -álgebras

{definition}

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega,P,\mathcal{F})$ Dizemos que as $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}_{1},\dots,\mathcal{F}_{n}\subset\mathcal{F}$ são independentes se

\forall\mathcal{A}_{1}\in\mathcal{F}_{1},\dots,\mathcal{A}_{n}\in\mathcal{F}_{% n},\ P(\cap_{i=1}^{n}A_{i})=\prod_{i=1}^{n}P(A_{i}).

(2.20)

Nessa definição podemos tomar uma coleção infinita.

{exercise}

Em um espaço produto $(\Omega_{1}\times\Omega_{2},\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2},P_{1}\otimes P% _{2})$ , podemos definir

\begin{split}\widebar{\mathcal{F}}_{1}&=\{A\times\Omega_{2}\,:\,A\in\mathcal{F% }_{1}\},\\ \widebar{\mathcal{F}}_{2}&=\{\Omega_{1}\times B\,:\,B\in\mathcal{F}_{2}\}.\end% {split}

(2.21)

Mostre que essas $\sigma$ -álgebras são independentes.

Podemos extender esse conceito a elementos aleatórios, ou seja: {definition} Dizemos que $X_{1},\dots,X_{k}$ são elementos aleatórios independentes se as respectivas $\sigma$ -álgebras $\sigma(X_{1}),\dots,\sigma(X_{k})$ o forem.

Quando $X_{1},\dots,X_{k}$ são elementos aleatórios independentes e com a mesma distribuição, escrevemos que $X_{i}$ são \iid(independentes e identicamente distribuídos).

{exercise}

Com a notação do exercício anterior, mostre que as funções $X_{i}:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to\Omega_{i}$ dadas por

X_{1}(x,y)=x\text{ e }X_{2}(x,y)=y,

(2.22)

são elementos aleatórios e são independentes.

{exercise}

Mostre que as coordenadas canônicas do exercício anterior no caso $X_{i}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ não são independentes segundo a medida $U_{\mathbb{S}^{1}}$ . Mas o são segundo $U_{[0,1]^{2}}$ (que é a medida de Lebesgue em $\mathbb{R}^{2}$ restrita a $[0,1]^{2}$ ).

{exercise}

Seja $\Omega=\{0,1\}^{n}$ com $P(A)=\#A/2^{n}$ e $X_{i}(\omega_{1},\dots,\omega_{n})=\omega_{i}$ para $i=1,\dots,n$ . Mostre que os $X_{i}$ são independentes.

{exercise}

Sejam $(X_{i})_{i\geq 1}$ elementos aleatórios independentes tomando valores em espaços $(E_{i})_{i\geq 1}$ , respectivamente. Mostre que para funções mensuráveis $(f_{i})_{i\geq 1}$ temos que $(f_{i}(X_{i}))_{i\geq 1}$ são independentes.

{exercise}

Mostre que se $X,Y$ são elementos aleatórios e se $X$ é constante quase certamente então $X$ e $Y$ são independentes.

{exercise}

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes com distribuição $\Exp(1)$ , calcule a distribuição de

a)

$\min\{X,Y\}$ e
b)

$X+Y$ .

{exercise}

Seja um espaço produto de medidas $(\Omega_{1}\times\Omega_{2},\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2},\mu_{1}% \otimes\mu_{2})$ e defina a probabilidade $P$ através de

\d{P}=\rho(x,y)\d{(}\mu_{1}\otimes\mu_{2}).

(2.23)

Mostre nesse caso que as coordenadas canônicas $X_{1}$ e $X_{2}$ são independentes se e somente se existem $\rho_{1}$ e $\rho_{2}$ em $\Omega_{1}$ e $\Omega_{2}$ respectivamente, tais que $\rho(x,y)=\rho_{1}(x)\rho_{2}(y)$ quase certamente com respeito a $\mu_{1}\otimes\mu_{2}$ .

{exercise}

Sejam $X,Y$ variáveis aleatórias tais que

P[X\leq x,Y\leq y]=\begin{cases}0&\quad\text{if $x<0$,}\\ (1-e^{-x})\Big{(}\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\tan^{-1}y\Big{)},&\quad\text{if $x% \geq 0$}.\end{cases}

(2.24)

a)

Mostre que a distribuição conjunta $\mu_{(X,Y)}$ é absolutamente contínua com relação à medida de Lebesgue em $\mathbb{R}^{2}$ .
b)

Mostre que $X$ e $Y$ são independentes.

{exercise}

Mostre que se $X,Y$ são variáveis aleatórias independentes com distribuições $X\distr f_{X}(x)\d{x}$ e $Y\distr f_{Y}(y)\d{y}$ , então $X+Y$ tem distribuição absolutamente contínua com respeito a Lebesgue e

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y}(z-x)f_{X}(x)\d{x}.

(2.25)

³³todo: 3 mandar para depois de produtos infinitos?

{lemma}

[Borel-Cantelli - segunda parte] Se $A_{1},A_{2},\dots\in\mathcal{F}$ são independentes e $p_{i}=P(A_{i})$ satisfazem $\sum_{i}p_{i}=\infty$ , então

P[A_{i}\text{ infinitas vezes}]=1.

(2.26)

Demonstração.

Queremos mostrar que

P\Big{(}\big{(}\mcap_{n}\mcup_{i=n}^{\infty}A_{i}\big{)}^{c}\Big{)}=0,

(2.27)

mas

P\Big{(}\big{(}\mcap_{n}\mcup_{i=n}^{\infty}A_{i}\big{)}^{c}\Big{)}=P\Big{(}% \mcup_{n}\mcap_{i=n}^{\infty}A_{i}^{c}\Big{)}\leq\sum\limits_{n}P\Big{(}\mcap_% {i=n}^{\infty}A_{i}^{c}\Big{)}.

(2.28)

Logo basta mostrar que a probabilidade à direita é zero para todo $n$ . Mas

\begin{split}P\Big{(}\mcap_{i=n}^{\infty}A_{i}^{c}\Big{)}&=\prod\limits_{i=n}^% {\infty}P(A_{i}^{c})=\prod\limits_{i=n}^{\infty}(1-p_{i})\\ &\leq\prod\limits_{i=n}^{\infty}\exp\{-p_{i}\}=\exp\big{\{}-\sum_{i=n}^{\infty% }p_{i}\big{\}}=0.\end{split}

(2.29)

Terminando a prova do lema. ∎

\todosec

Tópico: Uma dinâmica em $[0,1]$ fazer dinâmica 2x mod 1 e relações Lebesgue[0,1] com produtos de bernoulli

2.5 Independência

2.5.1 Coleções de eventos

Demonstração.

2.5.2 Independência de σ\sigma-álgebras

Demonstração.

2.5.2 Independência de $\sigma$ -álgebras