2.1 Caso enumerável

Quando $\Omega$ é finito ou enumerável, tipicamente definimos sobre $\Omega$ a $\sigma$-álgebra das partes, ou seja $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)=\sigma(\{\omega\}_{\omega\in\Omega})$. Além disso podemos definir probabilidades sobre $(\Omega,\mathcal{F})$ de maneira simples tomando $(p_{\omega})_{\omega\in\Omega}$ tais que

1.  a)
   ​

   $p_{\omega}\geq 0$ para todo $\omega\in\Omega$ e

2.  b)
   ​

   $\sum_{\omega\in\Omega}p_{\omega}=1$.

De fato, nesse caso definimos $P(A)=\sum_{\omega\in A}p_{\omega}$ que claramente define uma probabilidade.

Mostre que se $\Omega$ é finito ou enumerável, toda probabilidade sobre $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega))$ é dada como na descrição acima.

1.  a)
   ​

   Dado $p\in[0,1]$, definimos a medida $\Ber(p)$ (em homenagem a Bernoulli) em $\{0,1\}$ com $p_{1}=p,p_{0}=1-p$.

2.  b)
   ​

   Dados $n\geq 1$ e $p\in[0,1]$, definimos a medida $\Bin(n,p)$ (binomial) em $\Omega=\{0,1,\dots,n\}$ com

   $$p_{i}=\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i},\text{ para $i\in\Omega$.}$$ (2.1)
3.  c)
   ​

   Dado $p\in(0,1]$, em $\Omega=\{0,1,\dots\}$ definimos a medida $\Geo(p)$ (geométrica) em $\Omega$ induzida pelos pesos

   $$p_{i}=(1-p)^{i}p,\text{ para $i\geq 1$.}$$ (2.2)

Seja $\Omega=\{0,1\}^{n}$ e $p_{\omega}=\tfrac{1}{2^{n}}$ para todo $\omega\in\Omega$ (ou seja a probabilidade uniforme). Considere $X:\Omega\to\{0,1,\dots,n\}$ dada por $X(\omega_{1},\dots,\omega_{n})=\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}$. Obtenha a distribuição $P_{X}$. Dê um exemplo de medida em $\omega$ para a qual a distribuição de $X$ seja $\Bin(n,p)$.