2.7 Distribuições conjuntas

Um caso bastante importante de distribuição de um elemento aleatório é o caso de vetores. Digamos por exemplo que temos dois elementos aleatórios $X:\Omega\to E$ e $Y:\Omega\to E^{\prime}$. Já sabemos a definição de $X_{*}P$ e $Y_{*}P$ (vamos também usar a notação $P_{X}$ e $P_{Y}$) que nada mais são que as distribuições de $X$ e $Y$, respectivamente.

Mas podemos considerar o vetor $(X,Y)$ que será um elemento aleatório tomando valores em $E\times E^{\prime}$ e possui também sua própria distribuição dada por $(X,Y)_{*}P$ (também denotada por $P_{(X,Y)}$). A essa probabilidade em $E\times E^{\prime}$ damos o nome de distribução conjunta deste par. .

Vejamos as relações que existem entre $P_{X}$, $P_{Y}$ e $P_{(X,Y)}$. Primeiramente, é fácil ver que a distribução conjunta nos fornece as demais, pois para todo $A\subseteq E$ mensurável

e analogamente para $P_{Y}$. De acordo com a Definição 2.6.2, as distribuições $P_{X}$ e $P_{Y}$ nada mais são do que as marginais da distribuição conjunta.

Apesar de podermos extrair as marginais $P_{X}$ e $P_{Y}$ de $P_{(X,Y)}$, o contrário não é sempre possível como mostra o seguinte exemplo. {example} Sejam $X,Y$ \iidcom distribuição $\Ber(1/2)$. Então $(X,Y)$ não tem a mesma distribuição de $(X,X)$, apesar de que esses vetores possuem as mesmas marginais.

Mostre que se $X$ e $Y$ são independentes, então $P_{(X,Y)}=P_{X}\otimes P_{Y}$.

Sejam $X,Y$ \iidcom distribuição $U_{[0,1]}$ e calcule $P_{(X,X+Y)}$.

Note que a discussão acima se extende naturalmente para coleções maiores de elementos aleatórios. Mais precisamente, considere um conjunto $I$ qualquer (finito, enumerável ou não enumerável) de índices e seja $(X_{i})_{i\in I}$ uma coleção de elementos aleatórios tomando valores em $(E_{i})_{i\in I}$. Então a distribuição conjunta destes elementos aleatórios é $P_{(X_{i})_{i\in I}}$.

Mostre que no caso acima, se $P_{(X_{i})_{i\in J}}=P_{(X^{\prime}_{i})_{i\in J}}$ para todo $J\subseteq I$ finito, então $P_{(X_{i})_{i\in I}}=P_{(X^{\prime}_{i})_{i\in I}}$.