2.3 Funções acumuladas de distribuição

Um caso muito importante de espaço amostral é $\Omega=\mathbb{R}$ , principalmente por nos ajudar a entender distribuições de variáveis aleatórias. Para tanto, precisaremos de uma boa ferramenta para descrever probabilidades em $\mathbb{R}$ .

{definition}

Dada $P$ em $\mathbb{R}$ , definimos $F_{P}:\mathbb{R}\to[0,1]$ por $F_{P}(x)=P\big{(}(-\infty,x]\big{)}$ . Essa função é chamada a função de distribuição acumulada de $P$ .

{notation}

Se $X:\Omega\to\mathbb{R}$ é uma variável aleatória num espaço $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , denotamos por $F_{X}$ a função de distribuição acumulada correspondente à distribuição $X_{*}P$ .

Lembramos que uma probabilidade em $\mathbb{R}$ é uma função $P:\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,1]$ e o domínio dessa função é bastante complicado. Por exemplo se quisermos representar uma distribuição de uma variável aleatória no computador através dessa função $P$ , teríamos problemas. Contudo, a função $F_{P}$ (ou $F_{X}$ ) é muito mais simples de ser compreendida ou representada, por seu domínio ser $\mathbb{R}$ .

{example}

Não é difícil verificar que

F_{\delta_{x_{0}}}=\begin{cases}0&\text{ se $x<x_{0}$,}\\ 1&\text{ se $x\geq x_{0}$}\end{cases}

(2.9)

e que

F_{U_{[0,1]}}=\begin{cases}0&\text{ se $x\leq 0$,}\\ x&\text{ se $x\in[0,1]$ e}\\ 1&\text{ se $x\geq 1$.}\end{cases}

(2.10)

{exercise}

Calcule $F_{\Exp(\lambda)}$ .

{proposition}

$F_{P}$ (e obviamente $F_{X}$ ) satisfazem:

a)

$\smash{\lim\limits_{x\to-\infty}}F(x)=0$ , $\smash{\lim\limits_{x\to\infty}}F(x)=1$ ,
b)

$F$ é monótona não-decrescente e
c)

$F$ é contínua à direita e possui limite à esquerda (càdlàg, do francês).

Demonstração.

a)

Se $x_{n}\to-\infty$ monotonamente, então $A_{n}=(-\infty,x_{n}]$ são encaixados e de interseção vazia. Logo, pela Proposição 1.2, temos $P(A_{n})\to 0$ . O outro caso é análogo.
b)

Se $x\leq x^{\prime}$ então $(-\infty,x]\subseteq(-\infty,x^{\prime}]$ , donde $F(x)\leq F(x^{\prime})$ .
c)

Continuidade à direita (càd) - Se $x_{n}\downarrow x$ monotonamente, então $A_{n}=(-\infty,x_{n}]\downarrow(-\infty,x]$ (eles são encaixados). Logo $F(x_{n})\to F(x)$ .

Limite à esquerda (làg) - Segue do fato de $F$ ser monótona e limitada. ∎

{theorem}

Se $F$ satisfaz as três propriedades listadas na Proposição 2.3, então existe uma única $P$ em $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ tal que $F=F_{P}$ .

Poderíamos usar o Teorema da Extensão de Caratheodory para provar tal resultado, de maneira similar ao que foi feito no caso da Medida de Lebesgue. Mas escolhemos abaixo um método mais simples, que parte da existência de $U_{[0,1]}$ .

Demonstração.

A unicidade de tal $P$ segue da Proposição 1.3.1 (consequêcia do Teorema de Dynkin), pois se $P$ e $P^{\prime}$ são tais que $F_{P}=F_{P^{\prime}}$ , então temos que $P\big{(}(-\infty,x]\big{)}=P^{\prime}\big{(}(-\infty,x]\big{)}$ . Mas a classe de intervalos semi-infinitos da forma $(-\infty,x]$ forma um $\pi$ -sistema que gera a $\sigma$ -álgebra dos borelianos, logo $P=P^{\prime}$ .

Para construir uma $P$ tal que $F_{P}=F$ , definiremos $S:(0,1)\to\mathbb{R}$ , a inversa generalizada de $F$ , por

S(u)=\sup\{x\in\mathbb{R}\,:\,F(x)<u\}.

(2.11)

Figura 2.1: Ilustração da definição de

S(u)

Seja $P=S_{*}U_{[0,1]}$ , isto é $P(A)=U_{[0,1]}(S^{-1}(A))$ e mostraremos que $F_{P}=F$ . Para tanto, basta ver que

\{u\in[0,1]\,:\,S(u)\leq x\}=\{u\in[0,1]\,:\,u\leq F(x)\},\text{ para todo $x% \in\mathbb{R}$}.

(2.12)

Pois isso implicaria que $F_{P}(x)=U_{[0,1]}[S(u)\leq x]=U_{[0,1]}[u\leq F(x)]=F(x)$ .

Vamos agora checar (2.12) observando que:

a)

Se $u\leq F(x)$ então todo $x^{\prime}$ tal que $F(x^{\prime})<u$ é menor que $x$ . Logo $S(u)\leq x$ .
b)

Por outro lado, se $x\geq S(u)$ então todo $x^{\prime}>x$ satisfaz $F(x^{\prime})>u$ . Pois por continuidade a direita $F(x)\geq u$ .

Isso prova (2.12), terminando a prova da proposição. ∎

{exercise}

Mostre o resultado acima usando o Teorema de Extensão de Caratheodory.