2.2 Caso absolutamente contínuo

Uma outra maneira simples de definir um espaço de probabilidade é partindo de um espaço de medida. Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $\rho:\Omega\to\mathbb{R}_{+}$ uma função mensurável com $\int\rho(x)\mu(\d{x})=1$. Então podemos definir a probabilidade induzida

Nesse caso, chamamos $\rho$ de a densidade de $P$ com respeito a $\mu$. Uma outra possível notação para a equação acima é $\d{P}=\rho(x)\d{\mu}$ (lembrando a derivada de Radon-Nikodym).

Observe que o caso discreto pode ser definido em termos de uma densidade, onde $\rho(\omega)=p_{\omega}$ e $\mu$ é a medida da contagem em $\Omega$.

Vários exemplos podem ser obtidos via (2.8) se tomamos $\Omega\subseteq\mathbb{R}$ e $\mu$ a medida de Lebesgue restrita a $\Omega$. Nesses casos, escrevemos $P=\rho(x)\d{x}$ em $\Omega$. Alguns exemplos importantes são:

1.  a)
   ​

   Para $a<b\in\mathbb{R}$, definimos a medida $U[a,b]$ usando $\rho(x)=\tfrac{1}{b-a}\1_{[a,b]}(x)$.

2.  b)
   ​

   Para $\lambda>0$, definimos a medida $\Exp(\lambda)$ (chamada exponencial de parâmetro $\lambda$) por meio da densidade $\rho(x)=\lambda\exp\{-\lambda x\}$ em $[0,\infty)$.

Podemos também usar a distribuição de um elemento aleatório para construir outras probabilidades, como mostra o seguinte exemplo.

Considere por exemplo $X:[0,2\pi]\to\mathbb{C}$ dada por $X(t)=\exp\{-it\}$. A distribuição imagem $X_{*}U_{[0,2\pi]}$ é o que chamamos de distribuição uniforme em $\mathbb{S}^{1}$, também denotada por $U_{S^{1}}$.

Mostre que $U_{\mathbb{S}^{1}}$ não é absolutamente contínua com respeito à medida de Lebesgue em $\mathbb{C}\sim\mathbb{R}^{2}$.

Mostre que $U_{\mathbb{S}^{1}}$ é invariante por rotações rígidas de $\mathbb{C}$, isto é, se $T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ é uma isometria linear, $T_{*}U_{\mathbb{S}^{1}}=U_{\mathbb{S}^{1}}$.

Construa uma probabilidade em $S^{2}$ invariante por rotações.