2.10 Espaços canônicos

Em várias áreas da matemática, existe um importante conceito de equivalência entre duas estruturas, como por exemplo: homeomorfismos, isometrias e isomorfismos. Nessa seção estudaremos o caso análogo para espaços mensuráveis, que nos trará uma grande surpresa.

{definition}

Uma função $\phi:E\to E^{\prime}$ entre dois espaços mensuráveis é dita bi-mensurável quando $\phi$ é uma bijeção mensurável, com inversa mensurável.

Vamos agora tentar classificar os espaços a menos de bi-mensurabilidade. Descobriremos que na verdade os borelianos da reta incluem praticamente tudo em que podemos estar interessados. Começamos com a seguinte definição.

{definition}

Dizemos que o espaço mensurável $(E,\mathcal{A})$ é canônico se existe uma função $\phi:E\to B$ bi-mensurável para algum $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Antes de mostrar que essa classe de espaços canônicos inclui muitíssimos exemplos, vamos motivar a definição acima exemplificando como esse conceito pode ser utilizado.

{theorem}

[Extensão de Kolmogorov Extendida] Se $(E_{1},\mathcal{F}_{1}),(E_{2},\mathcal{F}_{2}),\dots$ são espaços mensuráveis canônicos, então o Teorema 2.6.2 (da extensão de Kolmogorov) também é válido no espaço produto $\Omega=E_{1}\times E_{2}\times\dots$ :
Se a seguinte condição de consistência for válida

\forall n\geq 0,\forall A\in\bigotimes_{i=1}^{n}\mathcal{F}_{i},\quad P_{n+1}(% A\times E_{n+1})=P_{n}(A).

(2.103)

então existe uma probabilidade $P$ em $\Omega$ tal que

\forall n\geq 0,\forall A\in\bigotimes_{i=1}^{n}\mathcal{F}_{i},\quad P(A% \times E_{n+1}\times E_{n+2}\times\dots)=P_{n}(A).

(2.104)

Demonstração.

Sejam $\phi_{i}:E_{i}\to B_{i}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ bijeções bi-mensuráveis e defina $\widebar{\phi}_{n}:E_{1}\times\dots\times E_{n}\to\mathbb{R}^{n}$ por $\widebar{\phi}_{n}(\omega_{1},\dots,\omega_{n})=\big{(}\phi_{1}(\omega_{1}),% \dots,\phi_{n}(\omega_{n})\big{)}$ . Assim podemos introduzir as medidas de probabilidade

\widebar{P}_{n}=(\widebar{\phi}_{n})_{*}P_{n},\text{ em $\mathbb{R}^{n}$}.

(2.105)

É fácil verificar que as $\widebar{P}_{n}$ são consistentes como em (2.58). Logo, existe $\widebar{P}$ em $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\mathcal{F})$ extendendo $\widebar{P}_{n}$ .

Vamos agora definir uma medida em $\prod_{i=1}^{\infty}E_{i}$ . Para tanto, primeiramente fixamos para cada $i\geq 1$ um elemento arbitrário $w_{i}$ de $E_{i}$ e definimos $\psi_{i}:\mathbb{R}\to E_{i}$ por

\psi_{i}(x)=\begin{cases}\phi_{i}^{-1}(x),\quad&\text{se $x\in B_{i}$,}\\ w_{i}&\text{no caso contr\'{a}rio}.\end{cases}

Como $B_{i}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , concluimos que $\psi_{i}$ é mensurável.

Finalmente, consideramos o mapa $\Psi:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to\Omega$ dado por

\Psi(x_{1},x_{2},\dots)=(\psi_{1}(x_{1}),\psi_{2}(x_{2}),\dots).

(2.106)

Resta mostrar que a medida $P=\Psi_{*}\widebar{P}$ estende as probabilidades $P_{n}$ . Observe que

\begin{split}P\big{(}A_{1}\times\dots\times A_{n}\times&E_{n+1}\times\dots\big% {)}=\widebar{P}\big{(}\Psi^{-1}(A_{1}\times\dots\times A_{n}\times E_{n+1}% \times\dots)\big{)}\\ &=\widebar{P}\big{(}\psi^{-1}_{1}(A_{1})\times\dots\times\psi^{-1}_{n}(A_{n})% \times\mathbb{R}\times\dots\big{)}\\ &=\widebar{P}_{n}(\psi^{-1}_{1}(A_{1})\times\dots\times\psi^{-1}_{n}(A_{n}))\\ &=P_{n}\big{(}\phi^{-1}_{1}\big{(}\psi^{-1}_{1}(A_{1}))\times\dots\times\phi^{% -1}_{n}\big{(}\psi_{n}^{-1}(A_{n})\big{)}\big{)}\\ &=P_{n}(A_{1}\times\dots\times A_{n}),\end{split}

concluindo a prova do teorema. ∎

Uma ferramenta importante para construirmos espaços canônicos é a seguinte.

{lemma}

Seja $(E,\mathcal{A})$ é um espaço canônico e $A\in\mathcal{A}$ , então $A$ também é canônico quando dotado da $\sigma$ -álgebra $\{A\cap C\,:\,C\in\mathcal{A}\}$ induzida por $\mathcal{A}$ em $A$ .

Demonstração.

Seja $\phi:E\to B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ uma função bi-mensurável que mostra que $E$ é canônico. Consideramos $\phi^{\prime}:A\to\mathbb{R}$ dada pela restrição de $\phi$ a $A$ e precisamos mostrar as seguintes afirmativas:

a)

$\phi^{\prime}$ é injetiva.
b)

$\phi^{\prime}$ é mensurável.
c)

$\phi(A)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .
d)

A inversa de $\phi^{\prime}$ (chamada $\psi^{\prime}$ ) de $\phi^{\prime}(A)$ em $A$ é mensurável.

Vejamos,

a)

$\phi$ ser injetiva implica que $\phi^{\prime}$ também o é.
b)

Dado $D\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , $(\phi^{\prime})^{-1}(D)=A\cap\phi^{-1}(D)$ which is of the form $A\cap C$ with $C\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})$ .
c)

Denotando por $\psi:B\to E$ a inversa de $\phi$ , temos que $\phi(A)=\psi^{-1}(A)\in\mathcal{B}(B)$ pois $\psi$ é mensurável.
d)

Finalmente, se $D\in\mathcal{B}(A)$ , então $(\psi^{\prime})^{-1}(D)=\psi^{-1}(D)\in\mathcal{B}(B)$ , novamente pela mensurabilidade de $\psi$ .

Concluindo portanto a bi-mensurabilidade de $\phi^{\prime}$ quando o seu contra-domínio é restrito a sua imagem. ∎

A seguir daremos um exemplo de espaço canônico que será importante na seção seguinte.

{lemma}

O espaço produto $E=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\dots$ , dotado da $\sigma$ -álgebra produto é canônico.

Demonstração.

Primeiramente definimos em $E$ a Métrica de Hamming:

d_{H}(x,y)=\sum_{i\geq 1}\frac{1}{2^{i+1}}\1_{\{x_{i}\neq y_{i}\}}.

(2.107)

Fica como exercício mostrar que a $\sigma$ -álgebra dos borelianos induzida por essa métrica coincide com a $\sigma$ -álgebra produto em $E$ . Definimos agora o mapa $\phi:E\to\mathbb{R}$ dado por

\phi(n_{1},n_{2},\dots)=2^{-n_{1}}+2^{-1-n_{1}-n_{2}}+\dots+2^{-k-\sum_{i=1}^{% k}n_{i}}+\dots

(2.108)

Também deixamos a cargo do leitor mostrar que $\phi$ define um homeomorfismo entre $(E,d_{H})$ e um boreliano de $\mathbb{R}$ . ∎

2.10.1 Espaços poloneses

Nessa seção mostraremos que todos espaços chamados poloneses são canônicos.

{definition}

Um espaço métrico $(E,d)$ é dito polonês se é separável e completo.

{example}

a)

Todo espaço enumerável $\Omega$ pode ser feito em um espaço métrico polonês de forma que a $\sigma$ -álgebra de Borel seja $\mathcal{P}(\Omega)$ .
b)

$\mathbb{R}^{n}$ e $C([0,1])$ são notoriamente poloneses.

{exercise}

Se $(E_{i},d_{i})_{i=1}^{\infty}$ é uma sequencia de espaços métricos poloneses, mostre que $E=\prod_{i=1}^{\infty}E_{i}$ com a métrica

d(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{i+1}}\frac{d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x% _{i},y_{i})}

(2.109)

também é polonês. Mostre também que a topologia induzida por essa métrica é equivalente à topologia produto em $E$ .

Outros exemplos de espaços poloneses são dados pelo seguinte lema, que também será útil para provar o resultado principal desta seção.

{lemma}

Seja $(E,d)$ um espaço polonês e $G,F\subseteq E$ um aberto e um fechado de $E$ respectivamente. Então, existe uma métrica $d^{\prime}$ em $F\cap G$ tal que

a)

$d$ e $d^{\prime}$ são equivalentes em $F\cap G$ (induzem a mesma noção de convergência),
b)

$d(x,y)\leq d^{\prime}(x,y)$ para todo $x,y\in F\cap G$ e
c)

$(F\cap G,d^{\prime})$ é polonês.

Demonstração.

A primeira observação que faremos é que $F\cap G$ é separável com respeito a $d$ . Isso segue do fato de separabilidade ser equivalente à existência de uma base enumerável.

Vamos definir para $x,y$ em $G$ ,

d^{\prime}(x,y)=d(x,y)+\Big{|}\frac{1}{d(x,G^{c})}-\frac{1}{d(y,G^{c})}\Big{|},

(2.110)

onde $d(x,A)=\inf\{d(x,x^{\prime})\,:\,x^{\prime}\in A\}$ . Não é difícil ver que com a definição acima (e deixamos como exercício) que:

a)

As métricas $d$ e $d^{\prime}$ são equivalentes em $G$ .
b)

$F\cap G$ é separável quando dotado da métrica $d^{\prime}$ .
c)

$(F\cap G,d^{\prime})$ é completo.

Isso termina a prova do lema. ∎

{example}

Um importante exemplo é dado por espaços produto. Seja $(E_{i},d_{i})_{i=1}^{\infty}$ uma sequência de espaços poloneses e introduza em $E=\prod_{i=1}^{\infty}E_{i}$ a métrica $d$ definida em (2.109). Então, se $A_{1}\subseteq E_{1}$ , $\dots$ , $A_{k}\subseteq E_{k}$ forem abertos, o retângulo $R=A_{1}\times\dots\times A_{k}\times E_{k+1}\times\dots$ é aberto. Dessa forma vemos que tanto $R$ como $R^{c}$ podem ser dotados de métricas com as quais se tornam espaços poloneses. Além disso tais métricas podem ser escolhidas satisfazendo as hipóteses do Lema 2.10.1

O próximo lema é o ingrediente chave para provarmos o resultado principal dessa seção. Ele nos dá uma maneira de fatiar um espaço polonês em uma partição de espaços poloneses pequenos.

{lemma}

Seja $(E,d)$ um espaço polonês e $r>0$ . Então existe uma partição finita ou enumerável $(A_{i})_{i\in I}$ de $A$ e métricas $(d_{i})_{i\in I}$ nesses respectivos subconjuntos de forma que para todo $i\in I$ ,

a)

$(A_{i},d_{i})$ são espaços poloneses disjuntos.
b)

$d_{i}$ e $d$ são equivalentes em $A_{i}$ e $d_{i}\geq d$ .
c)

O diâmetro de $A_{i}$ (com respeito a $d$ ) é menor ou igual a $r$ .

Observe que podemos sempre escolher $I=\mathbb{N}$ mas nesse caso os $A_{i}$ podem ser vazios.

Demonstração.

Obtemos através da separabilidade de $E$ , uma coleção de bolas $(B_{i})_{i\geq 1}$ com diâmetros limitados por $r$ e cobrindo $E$ . Então definimos

A_{1}=B_{1},\quad\text{e}\quad A_{n}=B_{n}\setminus\mcup_{i=0}^{n-1}B_{i}\quad% \text{para $n\geq 1$.}

(2.111)

Agora podemos dotar cada um dos $A_{i}$ com a métrica $d_{i}$ obtida através do Lema 2.10.1 (observe para tanto que os $A_{i}$ são dados por interseções de um aberto com um fechado). As propriedades enunciadas no lema são trivialmente satisfeitas. ∎

Terminamos essa seção com esse importante resultado, que confirma nossa afirmação de que quase todos os espaços mensuráveis que podemos nos interessar são canônicos.

{theorem}

Todo sub-conjunto boreliano de espaço polonês $(E,d)$ é canônico.

Demonstração.

Primeiramente, pelo Lema 2.10, basta mostrar que todo espaço $E$ polonês é canônico. Pelo Lema 2.10 e novamente o Lema 2.10, {display} basta construir uma função bi-mensurável $\phi:E\to B\in\mathcal{B}(\mathbb{N}^{\mathbb{N}})$ e depois compô-la com uma função bi-mensurável $\phi^{\prime}:B\to C\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Para começar, construiremos uma partição encaixada de $E$ . Mais precisamente, defina os conjuntos $M_{n}$ que serão utilizados como índices

M_{n}=\mathbb{N}^{n}\quad\text{para $n\geq 1$ e}\quad M=\cup_{n}M_{n}.

(2.112)

Vamos definir borelianos $A_{m}$ de $E$ e métricas $d_{m}$ em $A_{m}$ para cada $m\in M$ . Faremos isso da seguinte forma:

a)

se $m=i\in M_{1}$ , então definimos $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ e $d_{1},d_{2},d_{3},\dots$ como no Lema 2.10.1 com $r=1$ ,
b)

se $(A_{m},d_{m})$ já foi definido para algum $m\in M_{n}$ , então utilizamos também o Lema 2.10.1 com $r=1/n$ para particionar o conjunto $A_{m}$ (com a métrica $d_{m}$ ) em $A_{(m,1)},A_{(m,2)},\dots$ com suas respectivas métricas $d_{(m,1)},d_{(m,2)},\dots$

Obviamente suporemos que são válidas as propriedades de tais métricas garantidas pelo Lema 2.10.1.

Podemos desde já definir $\phi:E\to\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ e para tanto, considere $x\in E$ . Indutivamente

a)

como $\{A_{m}\}_{m\in M_{1}}$ formam uma partição de $E$ , definimos $\phi_{1}(x)$ como o único índice tal que $x\in A_{\phi_{1}(x)}$ ,
b)

se já encontramos $\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x)$ tal que $x\in A_{(\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x))}$ , então o fato que particionamos o último conjunto na definição de $A_{m}$ , $m\in M_{n+1}$ nos garante que podemos definir unicamente $\phi_{n+1}(x)$ de forma a continuar a indução.

Da maneira acima já obtivemos $\phi(x)=(\phi_{1}(x),\phi_{2}(x),\dots)$ . Para terminar, devemos mostrar que $\phi$ é bi-mensurável quando seu contra-domínio é restrito à sua imagem.

Isso começa com a prova de que $\phi$ é injetiva. Se $\phi(x)=\phi(y)$ , então existe uma sequência $m_{n}\in M_{n}$ tal que $x,y\in A_{m_{n}}$ para todo $n$ . Mas isso não é possível dado que o diâmetro de $A_{m_{n+1}}$ é menor ou igual a $1/n$ na métrica $d_{m_{n}}\geq d$ . Isso mostra que $x=y$ .

Vejamos agora que $\phi$ é mensurável. Seja $w\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ tal que $\phi(x)=w$ e tome $G\subseteq\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ com $G=\{(w_{1},\dots,w_{l})\}\times\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ (esses conjuntos geram a $\sigma$ -álgebra canônica em $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ ). Claramente, $\phi^{-1}(G)=A_{(\phi_{1}(x),\dots,\phi_{l}(x))}$ , de forma que mostramos que $\phi$ é mensurável.

Para mostrar que sua inversa $\psi:\phi(E)\to E$ é mensurável, veremos que ela é de fato contínua com respeito à Métrica de Hamming definida em (2.107). Dado $n\geq 1$ , tomamos $\delta<2^{-n}$ . Se $w,w^{\prime}\in\phi(E)$ são tais que $d_{H}(w,w^{\prime})<\delta$ em $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ , então $w_{i}=w^{\prime}_{i}$ para todo $i\leq n$ , de forma que $\phi^{-1}(w)$ e $\phi^{-1}(w^{\prime})$ pertencem a $A_{(w_{1},\dots,w_{n})}$ . A continuidade de $\phi^{-1}$ segue do fato que o diâmetro de $A_{(w_{1},\dots,w_{n})}$ é no máximo $1/n$ (com respeito a $d_{(w_{1},\dots,w_{n-1})}$ e portanto com respeito a $d$ ).

Mas atenção, apesar de que parece que provamos o teorema, ainda falta mostrar que $\phi(E)$ é mensurável. Para tanto, afirmamos que

\phi(E)=\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\setminus\Big{(}\bigcup_{(w_{1},\dots,w_{k})\in% \mathcal{E}}\{w_{1}\}\times\{w_{k}\}\times\mathbb{N}\times\dots\Big{)},

(2.113)

onde

\mathcal{E}:=\{(w_{1},\dots,w_{k})\in\bigcup_{n\geq 1}\mathbb{N}^{n}\,:\,A_{% \omega_{1},\dots,\omega_{k}}=\emptyset\}.

A igualdade acima será mostrada no que segue.

Dado $w\in\phi(E)$ existe $x\in E$ tal que $\phi(x)=w$ . Como $x\in A_{w_{1},\dots,w_{n}}$ para todo $n\geq 1$ , esses conjuntos não são vazios. Logo $w$ não pertence à união em (2.113), mostrando o lado ( $\subseteq$ ) da equalidade. Finalmente, suponha que $w=(w_{1},w_{2},\dots)$ é tal que para todo $k\geq 1$ , $A_{w_{1},\dots,w_{k}}\neq\varnothing$ . Tomamos portanto para todo $k\geq 1$ um ponto $x_{k}\in A_{w_{1},\dots,w_{k}}$ .

Afirmamos que

para todo

n

(x_{k})_{k\geq n}

é Cauchy em

(A_{w_{1},\dots,w_{n}},d_{w_{1},\dots,w_{n}})

, (2.114)

o que segue logo do fato que por $k\geq n+1$ , $x_{k}\in A_{w_{1},\dots,w_{k}}$ cujo $d_{w_{1},\dots,w_{n}}$ -diâmetro é menor que $1/k$ .

Consideramos $x^{n}$ o limite de $(x_{k})_{k\geq n}$ em $(A_{w_{1},\dots,w_{n}},d_{w_{1},\dots,w_{n}})$ . É fácil de mostrar que $x^{n}=x^{0}:=x$ (o limite da sequência em $(E,d)$ ) para todo valor de $n$ . É suficiente ver que $d(x^{n},x_{k})\leq d_{w_{1},\dots,w_{n}}(x^{n},x_{k})$ , para todo $k\geq n$ , o que implica que $x^{n}$ é o limite em $(E,d)$ .

Como consequência podemos concluir que $x\in A_{w_{1},\dots,w_{n}}$ para todo $n$ e então que $\phi(x)=\omega$ , o que conclui a prova do teorema. ∎