Tópico: Percolação

Imagine que gostaríamos de modelar o movimento de um líquido em um meio poroso, como uma rocha ou uma esponja. A primeira tarefa nesse estudo seria modelar esse meio poroso de maneira matematicamente rigorosa, que é o que faremos a seguir.

Fixamos uma dimensão $d\geq 1$ e consideramos o seguinte grafo $(\mathbb{Z}^{d},E)$, onde a rede quadrada $\mathbb{Z}^{d}$ é o conjunto de vértices e o conjunto de elos é dado por

onde $|\cdot|$ representa a distância euclideana em $\mathbb{R}^{d}$.

No nosso modelo, esse grafo pode ser entendido como um cristal periódico onde cada vértice representa uma cavidade do material poroso e os elos são potenciais conexões entre poros vizinhos.

Até agora nosso grafo é apenas uma rede periódica, mas as coisas começam a ficar interessantes à partir de agora. Imaginamos que nosso material poroso está sujeito a variações durante sua formação. Isso se reflete no fato que alguns elos de $E$ podem estar abertos ou não aleatoriamente.

Para o nosso modelo, o espaço amostral vai ser $\Omega:=\{0,1\}^{E}$ considerado com a $\sigma$-algebra produto. Fixamos um $p\in[0,1]$ e definimos uma coleção de variáveis aleatórias $\omega_{e}$, para $e\in E$, que sejam \iide com distribuição $\Ber(p)$. Chamamos $P_{p}$ a probabilidade correspondente. Essas variáveis aleatórias induzem um grafo aleatório $G(\omega)=(\mathbb{Z}^{d},\mathcal{E}(\omega))$, subgrafo do grafo original, que corresponde a incluir apenas os elos $e$ com $\omega_{e}=1$. Mais precisamente

Podemos ver na Figura 2.2 algumas simulações desse grafo aleatório.

Agora que temos um modelo de meio poroso bem definido, precisamos pensar em quais perguntas nos interessam sobre $\mathcal{G}=(\mathbb{Z}^{d},\mathcal{E})$. Sendo esse um modelo para passagem de fluidos, as primeiras perguntas que faremos concerne a conectividade de $\mathcal{G}$.

Mostre que quase certamente $G(\omega)$ é desconexo. Mais precisamente, mostre que existem quase certamente infinitos vértices isolados em $G(\omega)$.

Como não podemos esperar que $G(\omega)$ seja conexo, podemos nos perguntar algo mais fraco, como por exemplo se a componente conexa da origem $0\in\mathbb{Z}^{d}$ em $G(\omega)$ é infinita.

Voltando à Figura 2.2 vemos que, dependendo do valor de $p\in[0,1]$, pode ser bem difícil ou bem fácil encontrar um caminho longo à partir da origem. Isso é o que estudaremos em mais detalhes no que segue.

Mais precisamente estamos interessados em:

Para estudar $A$, vamos fazer uma aproximação de $A$ por eventos mais simples

para $n\geq 1$.

Mostre que $A=\cap_{n=1}^{n}A_{n}$ e consequentemente que $A$ é de fato mensurável e $P(A)=\lim_{n\to\infty}P(A_{n})$.

Definimos portanto a função $\theta:[0,1]\to[0,1]$ por

onde $P_{p}$ denota a probabilidade correspondente ao valor escolhido de $p\in[0,1]$.

Mostre que $\theta(p)\leq 1-(1-p)^{2d}$.

Nosso objetivo é entender algumas das propriedades de $\theta$. A nossa intuição diz que quanto maior o valor de $p$, mais elos serão abertos em $\mathcal{G}$ e portanto maior será o valor de $\theta$, ou em outras palavras, $\theta$ deve ser monótona não decrescente.

Construiremos nosso modelo de uma maneira alternativa num espaço de probabilidade maior. Definimos $\Omega_{0}:=[0,1]^{E}$ (com a $\sigma$-álgebra produto correspondente), e $(U_{e})_{e\in E}$ uma coleção de variáveis aleatórias \iidcom distribuição $U[0,1]$, e $\mathbb{P}$ a probabilidade corespondente. Definimos para cada $p\in[0,1]$, $X^{p}:\Omega_{0}\to\Omega$ do jeito seguinte

Mostre que para todo $p\in[0,1]$ $(X^{p})_{*}\mathbb{P}=P_{p}$. Use isso para concluir que $\theta$ é monótona não decrescente.

Iremos agora mostrar a existência de um regime para o qual a componente conexa da origem não é infinita.

Para $p<1/(2d)$, temos que $\theta(p)=0$.

Antes da prova, alguns exercícios.

Definimos um caminho como sendo uma sequência $x_{1}$, $\dots$, $x_{k}$ ($k\in\mathbb{N}$), tal que $\{x_{i},x_{i+1}\}\in E$ para todo $i=1,\dots,k-1$. Tal caminho é dito aberto se $\omega_{\{x_{i},x_{i+1}\}}=1$ para todo $i\leq k-1$. E dizemos que ele é auto-evitante se $x_{i}\neq x_{j}$ para todo $1\leq i<j<k$. Mostre que

Notas - O teorema acima ajuda a compreender o comportamento que observamos no lado esquerdo da Figura 2.2. Mais precisamente, ele nos diz que para valores de $p$ baixos (na verdade $0,4$ não é baixo o suficiente para podermos aplicar esse teorema) é difícil encontrar um caminho aberto do centro à borda da caixa.

Na verdade, é possível mostrar que para $d=2$,

como foi mostrado por Harris e Kesten, veja por exemplo [2] e [1]. De fato, algo bastante interessante está acontecendo nesse modelo para $p=1/2$, como nos mostrou o trabalho de grandes matemáticos, como: Oded Schramm, Wendelin Werner, Stanislav Smirnov, entre outros.

Tópico: Teorema de Uma Sériefazer…