2.6 Espaços produto infinito

Vamos lembrar o enunciado do Teorema da Extensão de Caratheodory . Antes, vamos relembrar uma definição definição importante. Uma família $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ é dita uma álgebra de conjuntos se valem:

1.  a)
   ​

   $\Omega\in\mathcal{G}$.

2.  b)
   ​

   Se $A\in\mathcal{G}$, então $A^{c}\in\mathcal{G}$.

3.  c)
   ​

   Para todo $n\geq 1$, se $A_{1},\dots,A_{n}\in\mathcal{G}$, então $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\in\mathcal{G}$.

[Teorema da Extensão de Caratheodory] Seja $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ uma álgebra de conjuntos em $\Omega$ e suponha que $\mu:\mathcal{G}\to\mathbb{R}_{+}$ satisfaça a seguinte propriedade: {display} Se $(A_{i})_{i\in I}$ e uma familia finita ou enumerável de elementos disjuntos de $\mathcal{G}$ tal que $\cup_{i\in I}A_{i}\in\mathcal{G}$,
temos $\mu(\cup_{i\in I}A_{i})=\sum_{i\in I}\mu(A_{i})$. Então existe uma medida $\widebar{\mu}:\sigma(\mathcal{G})\to\mathbb{R}_{+}$ tal que $\widebar{\mu}(A)=\mu(A)$ para todo $A\in\mathcal{G}$.

Mostraremos agora uma consequência simples do teorema acima, que é muito utilizada em probabilidade.

[Extensão por continuidade no vazio] Seja $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ uma álgebra de conjuntos em $\Omega$ e suponha que $P:\mathcal{G}\to\mathbb{R}_{+}$ satisfaça as seguintes propriedades:

1.  a)
   ​

   $P(\Omega)=1$,

2.  b)
   ​

   $P$ é finitamente aditiva e

3.  c)
   ​

   sempre que $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq\dots\in\mathcal{G}$ forem tais que $\cap_{i}B_{i}=\varnothing$ (denotamos isso por $B_{i}\downarrow\varnothing$), temos que $\lim_{i}\mu(B_{i})=0$.

Então existe uma única medida $\widebar{P}:\sigma(\mathcal{G})\to\mathbb{R}_{+}$ tal que $\widebar{P}(A)=P(A)$ para $A\in\mathcal{G}$.

Observe que $P(\Omega)=1$ somente é necessário para provar a unicidade de $\widebar{P}$, então poderíamos tentar mostrar uma versão mais geral desse lema. Mas no contexto de medidas infinitas, não é de se esperar que $B_{i}\downarrow\varnothing$ implique $\lim_{i}\mu(B_{i})=0$, como foi assumido acima (veja também a Proposição 1.2). Portanto resolvemos escrever o enunciado com probabilidades.

Dê um exemplo de medida que não satisfaz a terceira hipótese do Lema 2.6.1.

O objetivo desta seção é provar um resultado que nos permitirá construir probabilidades em espaços produtos infinitos. Antes precisaremos de introduzir algumas notações. Dada uma coleção de espaços $(E_{i})_{i\in\mathbb{N}}$, definimos o espaço produto

e os mapas $X_{i}:\Omega\to E_{i}$, definidos para $i=1,2,\dots$ por

que chamamos de coordenadas canônicas associadas ao produto $\Omega$.

Se cada $E_{i}$ é dotado de uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}_{i}$, então definimos

que é claramente uma $\sigma$-álgebra em $\Omega$. Chamamos $\mathcal{F}$ de $\sigma$-álbegra canônica.

Mostre que em $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\mathcal{F})$ temos que os conjuntos

1.  a)
   ​

   $A=\{\liminf_{n\to\infty}X_{n}\notin\{\infty,-\infty\}\}$,

2.  b)
   ​

   $B=\{\lim_{n\to\infty}X_{n}=4\}$ e

3.  c)
   ​

   $C=\{\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}X_{n}\text{ existe}\}$

são todos mensuráveis (eventos) com respeito a $\mathcal{F}$. Além disso $Y=\1_{A}\liminf_{n\to\infty}X_{n}$ é uma variável aleatória em $(\Omega,\mathcal{F})$.

Verifique as seguinte afirmações

1.  a)
   ​

   $\mathcal{F}=\sigma\big{(}A_{1}\times\dots\times A_{k}\times E_{k+1}\times E_{k+2}\times\dots\,:\,k\geq 1,A_{i}\in\mathcal{A}_{i},i\leq k\big{)}$, os chamados eventos retangulares.

2.  b)
   ​

   $\mathcal{F}=\sigma\big{(}A\times E_{k+1}\times E_{k+2}\times\dots\,:\,k\geq 1,A\in\mathcal{A}_{i}\otimes\dots\otimes\mathcal{A}_{k}\big{)}$, conhecidos como eventos cilíndricos.

Seja $\Omega=\prod_{i\in I}E_{i}$ um espaço produto (infinito ou finito) dotado de uma probabilidade $P$. Se $X_{i}$ é uma coordenada canônica, então chamamos a probabilidade $(X_{i})_{*}P$ de distribuição marginal de $P$ na coordenada $i$.

[Extensão de Kolmogorov] Seja para cada $n\geq 1$ uma medida de probabilidade $P_{n}$ em $\mathbb{R}^{n}$ tal que seja satisfeita a seguinte condição de compatibilidade

Então existe uma única probabilidade $P$ no espaço produto infinito $(\Omega,\mathcal{F})$ tal que $P(A\times\mathbb{R}\times\dots)=P_{n}(A)$ para todo $n$ e todo boreliano $A$ de $\mathbb{R}^{n}$.

Observe que usamos muito poucos atributos de $\mathbb{R}$ na prova. Poderíamos na verdade substituir $\mathbb{R}$ por um espaço métrico que satisfaça certas propriedades, como por exemplo a existência de uma álgebra cujos conjuntos possam ser aproximados por compactos. Contudo, decidimos não apresentar essa versão mais geral aqui porque muito em breve obteremos uma versão bem mais geral do Teorema de Kolmogorov usando apenas o resultado para $\mathbb{R}$.

Mostre que a hipótese (2.58) pode ser substituida por

para todo $n\geq 1$ e $I_{i}=(-\infty,b_{i}]$, onde $b_{i}\in\mathbb{R}$, $i\leq n$.

Um importante exemplo do uso deste teorema é o seguinte.

Se $P_{i}$ são probabilidades em $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$, podemos definir $\mathbb{P}_{n}=\bigotimes_{i=1}^{n}P_{i}$ (relembrando, $\mathbb{P}_{n}$ é a única distribuição em $\mathbb{R}^{n}$ tal que $\mathbb{P}_{n}(A_{1}\times\dots\times A_{n})=\prod_{i=1}^{n}P_{i}(A_{i})$). Não é difícil verificar que essa lei satisfaz as equações de consistência (2.58). Desta forma, podemos construir uma única $\mathbb{P}$ em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ para os quais as coordenadas canônicas $X_{i}$ são independentes e possuem distribuições marginais $P_{i}$. Denotamos nesse caso $\mathbb{P}=\bigotimes_{i\geq 1}P_{i}$.

Mais adiante no texto daremos outros exemplos bastante interessantes do uso do Teorema 2.6.2.

Mostre que se $p>0$ e $\mathbb{P}=\bigotimes_{i\geq 1}\Ber(p)$ em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, então

Mostre que se $\mathbb{P}=\bigotimes_{i\geq 1}U_{[0,1]}$ em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, então

Mostre que se $\mathbb{P}=\bigotimes_{i\geq 1}\Exp(i)$ em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, então