2.8 Probabilidades condicionais

Uma outra maneira de se construir espaços de probabilidade é através de condicionamento, como mostra a seguinte definição. {definition} Se $(\Omega,\mathcal{F},P)$ é espaço de probabilidade e $B\in\mathcal{F}$ é tal que $P(B)>0$, então definimos a probabilidade $P(\cdot|B):\mathcal{F}\to[0,1]$ por

chamada probabilidade condicional dado o evento $B$.

Obviamente $P(\cdot|B)$ é uma probabilidade em $(\Omega,\mathcal{F})$ e podemos entendê-la de duas formas: como uma normalização ou como uma tentativa de sucesso. Explicaremos abaixo cada uma dessas interpretações.

Quando restringimos o espaço amostral $\Omega$ ao conjunto $B$ (e associamos a $A\in\mathcal{F}$ o valor $P(A\cap B)$), temos uma sub-probabilidade, isto é, possivelmente $P(\Omega\cap B)<1$. Logo podemos entender o denominador de (2.78) como uma normalização para obtermos novamente uma probabilidade.

Mas a interpretação mais natural de (2.78) é dada pela seguinte proposição. Para enunciá-la, considere $(\Omega,\mathcal{F},P)$ um espaço de probabilidade e defina o produto infinito

Na verdade somente definimos esse produto para $\Omega=\mathbb{R}$, mas como mencionamos abaixo do Teorema da Extensão de Kolmogorov, isso pode ser facilmente generalizado e o faremos posteriormente.

Na situação acima, seja $B\in\mathcal{F}$ com $P(B)>0$ e defina $T:\widebar{\Omega}\to\mathbb{N}$ por $T(\omega)=\inf\{n\geq 1\,:\,X_{n}(\omega)\in B\}$, onde os $X_{n}$ são as coordenadas canônicas. Então $T<\infty$ quase certamente e

A intuição desta proposição é que se repetimos o experimento $(\Omega,\mathcal{F},P)$ independentemente até obter uma amostra em $B$, essa terá a distribuição condicional.

Sejam $\lambda>0$ e $X\distr\Exp(\lambda)$ (lembrando a definição da distribuição exponencial: $\Exp(\lambda)(\d{x})=\lambda\exp\{-\lambda x\}\d{x}$). Mostre que as variáveis com distribuição exponencial não possuem memória, ou seja:

Ou em outras palavras, sabendo que $X$ é maior que $t$, a distribuição condicional de $X-t$ ainda é $\Exp(\lambda)$.

Definimos a distribuição geométrica de parâmetro $p\in(0,1]$ por

Inspirado no exercício anterior, mostre que a distribuição geométrica $\Geo(p)$ também satisfaz (2.83) para todos $t,s\in\mathbb{N}$. Mostre que essas são as únicas distribuições com suporte em $\mathbb{N}$ satisfazendo tal propriedade

Sejam $Y_{i}$, para $i\geq 1$, \iidcom distribuição $\Ber(p)$ e defina

Mostre que $T\overset{d}{\sim}\Geo(p)$.

Barry James: Cap. 2-5, Ex: 5, 10, 21, 22 (a) e (b).

[Porta dos desesperados] Nas tardes da década de 80, as crianças tinham poucas opções de entretenimento além de assistir Sérgio Malandro, que todos os dias apresentava o seguinte jogo. O participante era apresentado a três portas ($\Omega=\{1,2,3\}$) e apenas uma delas (chamada de $X$) continha um prêmio $X\distr U_{\Omega}$ e o jogo seguia três fases:

1.  a)
   ​

   O participante escolhia uma porta arbitrariamente (digamos $y\in\Omega$),

2.  b)
   ​

   o Sérgio Malandro abria uma porta $X^{\prime}$ que não fosse a escolhida nem a premiada ($X^{\prime}\distr U_{\Omega\setminus\{y,X\}}$)

3.  c)
   ​

   ao participante era dada a oportunidade de trocar sua porta $X$ pela porta restante em $\Omega\setminus\{X,X^{\prime}\}$.

Mostre que o participante sempre aumenta suas chances ao trocar sua escolha. Tente interpretar esse aparente paradoxo tomando o número de portas para infinito.

Emílio e Cristina tiveram dois filhos cujos sexos $X,X^{\prime}$ são \iide distribuidos como $U_{\{\male,\female\}}$. Enunciando hipóteses adequadas se for necessario, calcule

1.  a)
   ​

   $P[X,X^{\prime}=\male|\text{ pelo menos um \'{e} $\male$}]$ e

2.  b)
   ​

   $P[X,X^{\prime}=\male|\text{ pelo menos um \'{e} $\male$ e nasceu em uma segunda-feira}]$.

Interprete esses resultados trocando “segunda-feira” por “primeiro de abril”. ²² 2 Gratos ao Ricardo Misturini por sugerir esse problema

Supondo que $P(A\cap B)>0$, mostre que “$P(\cdot|A|B)=P(\cdot|B|A)$”. Mais precisamente, podemos condicionar $P$ em $B$ e depois a probabilidade resultante em $A$ ou vice-versa.

Sejam $X,Y$ variáveis aleatórias em um espaço $(\Omega,\mathcal{F},P)$, independentes e com distribuição $U_{[0,1]}$.

1.  a)
   ​

   Calcule $P_{X+Y}$.

2.  b)
   ​

   Considere $P^{\prime}(\cdot)=P\big{(}\cdot\,|\,X+Y\leq 1\big{)}$ e calcule $X_{*}P^{\prime}$.