2.4 Espaços produto finito

Dados espaços Ω1,…,Ωn\Omega_{1},\dots,\Omega_{n} com suas respectivas σ\sigma-álgebras ℱ1,…,ℱn\mathcal{F}_{1},\dots,\mathcal{F}_{n}, podemos definir o espaço mensurável produto (\widebar⁢Ω,\widebar⁢ℱ)(\widebar{\Omega},\widebar{\mathcal{F}}) da seguinte forma

\widebar⁢Ω=∏i=1nΩie\widebar⁢ℱ=σ⁢({A1×⋯×An:∀i∈{1,…,n},Ai∈ℱi}).\widebar{\Omega}=\prod_{i=1}^{n}\Omega_{i}\quad\text{e}\quad\widebar{\mathcal{% F}}=\sigma\Big{(}\{A_{1}\times\cdots\times A_{n}\,:\,\forall i\in\{1,\dots,n\}% ,\ A_{i}\in\mathcal{F}_{i}\}\Big{)}. (2.13)

Essa σ\sigma-álgebra é chamada de σ\sigma-álgebra produto e denotaremos ela por ⨂i=1nℱi\bigotimes_{i=1}^{n}\mathcal{F}_{i}, ou ℱ1⊗ℱ2\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2} quando n=2n=2.

{proposition}

Se (Ω1,ℱ1,P1),…,(Ωn,ℱn,Pn)(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},P_{1}),\dots,(\Omega_{n},\mathcal{F}_{n},P_{n}) são espaços de probabilidade, então existe uma única probabilidade \widebar⁢P\widebar{P} no espaço mensurável (\widebar⁢Ω,\widebar⁢ℱ)(\widebar{\Omega},\widebar{\mathcal{F}}) tal que

\widebar⁢P⁢(A1×⋯×An)=∏i=1nPi⁢(Ai), para todos Ai∈ℱi, i≤n.\widebar{P}(A_{1}\times\cdots\times A_{n})=\prod_{i=1}^{n}P_{i}(A_{i}),\text{ % para todos $A_{i}\in\mathcal{F}_{i}$, $i\leq n$.} (2.14)

Essa probabilidade é chamada probabilidade produto. Usaremos a notação ⨂i=1nPi\bigotimes_{i=1}^{n}P_{i} o P1⊗P2⊗⋯⊗PnP_{1}\otimes P_{2}\otimes\dots\otimes P_{n}.

Demonstração.

Teoria da Medida. ∎

Note que a unicidade do produto pode ser concluída por exemplo usando o Corolário 1.3.1.

{exercise}

Mostre que o produto de nn cópias de ({0,1},𝒫⁢({0,1}),\Ber⁢(1/2))(\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\}),\Ber(1/2)) é a distribuição uniforme em {0,1}n\{0,1\}^{n}.