4.1 Esperança condicional

Como já foi dito anteriormente, a estrutura de $\sigma$ -álgebra tem um papel muito importante em probabilidade. Durante o curso de Teoria da Medida, muitas vezes o conceito de $\sigma$ -álgebra parece uma tecnicalidade que simplesmente dificulta nosso acesso ao conteúdo realmente interessante do curso. Em alguns momentos, chegamos a desejar que tudo fosse mensurável e não tivéssemos que nos preocupar com tais formalidades.

Contudo, no estudo que iniciaremos agora, nos restringiremos a $\sigma$ -álgebras menores de maneira proposital. Ficará claro em particular, que o estudo de mensurabilidade não é uma mera tecnicalidade, mas sim uma ferramenta importante.

Esse interesse, vem da necessidade de representar situações de “informação incompleta”, onde podemos apenas observar uma parte da realidade. Isso certamente é de suma importância em diversas aplicações, desde a estatística, física e computação até a teoria de jogos. Vamos começar com um exemplo simples.

Suponha que $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ é dotado da $\sigma$ -álgebra de Borel e denotamos por $X_{1},X_{2}$ as coordenadas canônicas. Como podemos representar matematicamente a afirmação “uma pessoa somente conhece o valor de $X_{1}$ e não de $X_{2}$ ”? Digamos por exemplo que essa pessoa deverá tomar uma decisão (por exemplo escolher um elemento de $E$ ) baseando-se apenas nessa informação incompleta. A maneira que modelamos isso matemáticamente é dizendo que a decisão da pessoa deve ser uma função $f:\Omega\to E$ mensurável com respeito a $\sigma(X_{1})$ .

Nossa primeira utilização desse conceito será feita agora ao introduzirmos a noção de esperaça condicional, que generaliza o conceito de esperança. Relembrando o cálculo (3.22), nós podemos pensar em $E(X)$ como uma boa maneira de aproximar $X$ por um número real. Isso por exemplo poderia ser útil se não temos nenhuma informação sobre o que ocorreu, mas ainda sim temos que tentar adivinhar o valor de $X$ . Mas vamos agora imaginar uma outra situação, onde temos um pouco de informação sobre o que ocorreu.

Voltando ao exemplo em que $\Omega=\mathbb{R}^{2}$ , digamos que nós podemos observar o valor de $X_{1}$ , mas gostaríamos de estimar o valor de $X_{2}$ . De acordo com o que discutimos acima, nossa estimativa agora não precisa mais ser apenas um número real, podendo ser qualquer função mensurável com respeito a $\sigma(X_{1})$ .

Vamos no que segue tornar esse discussão rigorosa, mas antes lembramos um lema básico de Teoria da Medida.

{lemma}

Se $f,f^{\prime}$ são funções mensuráveis tais que

\int_{A}f\d{\mu}=\int_{A}f^{\prime}\d{\mu},\text{ para todo $A\in\mathcal{F}^{% \prime}$,}

(4.1)

então $f=f^{\prime}$ $\mu$ -quase certamente.

Demonstração.

Aplicando a hipótese para $A=[f>f^{\prime}]$ , vemos que

\int_{A}f-f^{\prime}\d{\mu}=0,

(4.2)

mas no conjunto $A$ acima, o integrando é positivo. Portanto, $f=f^{\prime}$ , $\mu$ -quase certamente em $A$ . Aplicando o mesmo raciocínio para $[f<f^{\prime}]$ obtemos que $f=f^{\prime}$ quase certamente. ∎

O lema acima nos diz que se soubermos integrar $f$ em todos os eventos $A$ , então podemos recuperar a função $f$ propriamente dita. O que aconteceria se soubéssemos integrar $f$ apenas para eventos $A$ em uma sub- $\sigma$ -álgebra? É isso que estudaremos à partir de agora.

{definition}

Seja uma variável aleatória $X\in\mathcal{L}^{1}(P)$ e uma sub- $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}^{\prime}\subseteq\mathcal{F}$ . Dizemos que uma variável aleatória $Y$ é a esperança condicional de $X$ com respeito a $\mathcal{F}^{\prime}$ (ou a esperança condicional de $X$ dada $\mathcal{F}^{\prime}$ ) se

a)

$Y$ é $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável e
b)

$E(X\1_{A})=E(Y\1_{A})$ para todo $A\in\mathcal{F}^{\prime}$ .

Nesse caso, escrevemos

Y=E(X|\mathcal{F}^{\prime}).

(4.3)

Observe que faz sentido escrever $E\big{(}Y|\mathcal{F}^{\prime}\big{)}(\omega)$ , pois $E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ é uma variável aleatória.

Interpretamos informalmente a definição acima como “ $Y$ é a melhor aproximação $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável de $X$ ”. Ou $Y$ é a melhor aproximação que podermos fazer de $X$ se “conhecemos apenas $\mathcal{F}^{\prime}$ ”.

{example}

Se $\mathcal{F}^{\prime}=\{\varnothing,\Omega\}$ , então $Y=E(X)$ (uma variável aleatória constante) é esperança condicional de $X$ dado $\mathcal{F}^{\prime}$ , pois

a)

$Y$ é $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável (por ser constante). Além disso
b)

$E(X\1_{\varnothing})=0=E(Y\1_{\varnothing})$ e $E(X\1_{\Omega})=E(X)=E(Y\1_{\Omega})$ .

Uma propriedade muito importante que segue da Definição 4.1 é dada pela seguinte

{proposition}

Se $Y$ satisfaz as $a)$ e $b)$ em Definição 4.1, então $Y\in\mathcal{L}^{1}(P)$ .

Demonstração.

Tomamos $A=[Y\geq 0]$ e $A^{\prime}=[Y<0]$ que estão em $\mathcal{F}^{\prime}$ e estimamos

\int|Y|\d{P}=\int_{A}Y\d{P}+\int_{A^{\prime}}Y\d{P}=\int_{A}X\d{P}+\int_{A^{% \prime}}X\d{P}\leq\int|X|\d{P}<\infty

(4.4)

O que mostra a proposição. ∎

Além caso trivial dado acima pelo Exemplo 4.1, quando podemos esperar que existam esperanças condicionais?

{theorem}

Dada $X\in\mathcal{L}^{1}(P)$ e $\mathcal{F}^{\prime}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra, então existe a esperança condicional $E(X|\mathcal{F}^{\prime})$ . Além disso ela é única $P$ -quase certamente.

Demonstração.

Vamos primeiro mostrar a unicidade quase certa. Para isso, supomos que existam $Y$ e $Y^{\prime}$ satisfazendo as condições da Definição 4.1 (logo em $\mathcal{L}^{1}$ ). Iremos proceder como no Lema 4.1 acima, definindo $A=[Y>Y^{\prime}]$ , donde concluímos que

E\big{(}(Y-Y^{\prime})\1_{A}\big{)}=E(Y\1_{A})-E(Y^{\prime}\1_{A})=0.

(4.5)

Mas como $Y>Y^{\prime}$ em $A$ , vemos que $Y\leq Y^{\prime}$ quase certamtente. A prova da unicidade pode ser completa trocando os papéis de $Y$ e $Y^{\prime}$ acima.

Vamos agora para a prova da existência. Como $X\in\mathcal{L}^{1}(P)$ , podemos introduzir

\mu(A)=E(X\1_{A}),

(4.6)

que define uma medida com sinal em $(\Omega,\mathcal{F})$ , com variação total finita.

Caso o leitor não se sinta familiarizado com o conceito de medida com sinal, poderá decompor $X$ em partes positiva e negativa e proceguir sem problemas.

Um passo importante da prova é observar que $\mu$ também define uma medida no espaço $(\Omega,\mathcal{F}^{\prime})$ . Estamos portanto propositalmente restringindo nossa $\sigma$ -álgebra. Como $P(A)=0$ implica que $\mu(A)=0$ , temos que $\mu\ll P$ e podemos aplicar o Teorema de Radon-Nikodim para obter uma derivada $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ tal que

a)

$Y$ é $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurável e
b)

$\mu(A)=\int_{A}Y\d{P}$ .

Agora é só observar que as afirmações acima correspondem às condições da Definição 4.1. ∎

Observe que a condição de $\mathcal{F}^{\prime}$ -mensurabilidade é essencial para a unicidade. De fato, $X$ obviamente satisfaz a segunda condição da Definição 4.1, mas não necessariamente a primeira.

{exercise}

Mostre que se $X\in\mathcal{F}^{\prime}$ , então $E(X|\mathcal{F}^{\prime})=X$ quase certamente.

{exercise}

Seja $P$ a probabilidade uniforme em $\{(x_{1},x_{2})\in[0,1]^{2};x_{1}\geq x_{2}\}$ . Calcule $E(X_{2}|X_{1})$ .