4.3 Probabilidade Condicional Regular

Já sabemos definir por exemplo $E(\1_{A}|X=x)$ . Gostaríamos porém de garantir que essa expressão definisse uma probabilidade em $A$ , e chamaríamos essa probabilidade de $P(A|X=x)$ . Mas certamente gostaríamos que $P(\cdot|X=x)$ fosse uma função $\sigma$ -aditiva. Essa especulação parece promissora, por exemplo se $A$ e $B$ são disjuntos,

P(A\cup B|\mathcal{F}^{\prime})=E(\1_{A\cup B}|\mathcal{F}^{\prime})=E(\1_{A}|% \mathcal{F}^{\prime})+E(\1_{B}|\mathcal{F}^{\prime})=P(A|\mathcal{F}^{\prime})% +P(B|\mathcal{F}^{\prime}).

Ótimo, mas ainda temos o seguinte problema.

Lembramos que a equação acima está bem definida apenas quase certamente. Poderíamos portanto garantir que para uma classe enumerável de conjuntos $A\in\mathcal{F}$ , essa aditividade fosse satisfeita. Porém, a $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ é frequentemente não enumerável, portanto não conseguimos a $\sigma$ -aditividade plena. Isso pode ser contornado se o espaço for canônico, como afirma o nosso próximo resultado.

Ele nos ajudará bastante ao fazermos cálculos usando condicionais, de maneira semelhante à Lei da Probabilidade Total. Esse é o conteúdo do seguinte resultado.

{theorem}

[Teorema da Desintegração] Sejam espaços mensuráveis $(\Omega,\mathcal{F})$ e $(E,\mathcal{A})$ , com $E$ canônico. Se $P$ é uma probabilidade no espaço produto $(\Omega\times E,\mathcal{F}\otimes\mathcal{A})$ e denotamos por $P_{\Omega}=P\circ X_{1}$ a primeira distribuição marginal de $P$ , então existe um núcleo de transição $K:\Omega\times\mathcal{A}\to[0,1]$ satisfazendo

P=P_{\Omega}\star K,

(4.35)

Em particular,

P(A\times B)=\int_{A}K(\omega,B)P_{\Omega}(\d{\omega})\text{ para todo $A\in% \mathcal{F}$, $B\in\mathcal{A}$}.

(4.36)

Nesse caso denotamos $K(\omega,B)$ por $P[X_{2}\in B|X_{1}=\omega]$ (como de costume $X_{i}$ denota a $i$ -ésima coordenada canônica).

Demonstração.

Como de costume, basta resolver o caso $(E,\mathcal{A})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ . De fato, se assumimos a validade do teorema para a reta, podemos usar a função bi-mensurável $\phi:E\to B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ para concluir o caso geral.

Nos restringiremos agora ao espaço $(\Omega\times\mathbb{R},\mathcal{F}\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}),P)$ . Para cada $q\in\mathbb{Q}$ , definimos $P^{q}_{\Omega}:\mathcal{F}\to[0,1]$ por

P^{q}_{\Omega}(A)=P\big{(}(-\infty,q]\times A\big{)}.

(4.37)

Observando que $P^{q}_{\Omega}$ é absolutamente contínua com respeito a $P_{\Omega}$ , podemos definir

F(\omega,q)=\frac{\d{P}^{q}_{\Omega}}{\d{P}_{\Omega}}(\omega).

(4.38)

Observamos as seguintes propriedades de $F$ :

a)

para cada $q\in\mathbb{Q}$ , $F(\cdot,q)\in[0,1]$ , $P_{\Omega}$ -quase certamente, pois $P^{q}_{\Omega}(A)\leq P_{\Omega}(A)$ para todo $A\in\mathcal{F}$ ,
b)

para $q<q^{\prime}\in\mathbb{Q}$ , $F(\cdot,q)\leq F(\cdot,q^{\prime})$ , $P_{\Omega}$ -quase certamente, pois $P^{q}_{\Omega}(A)\leq P^{q^{\prime}}_{\Omega}(A)$ para todo $A\in\mathcal{F}$ e
c)

$F(\cdot,n)\to 1$ (analogamente $F(\cdot,-n)\to 0$ ) quando $n$ tende a infinito, $P_{\Omega}$ -quase certamente. Para ver isso, note que a sequência de variáveis aleatórias $F(\cdot,n)$ é quase certamente monótona não decrescente, logo converge $P_{\Omega}$ -quase certamente. Sendo limitada, converge em $\mathcal{L}^{1}$ e como sua integral em $P_{\Omega}$ converge para um, $F(\cdot,n)\to 1$ , quase certamente (analogamente para $F(\cdot,-n)$ ).

Existe pois um conjunto $\Omega^{\prime}\in\mathcal{F}$ com $P_{\Omega}(\Omega^{\prime})=1$ no qual as três hipóteses acima são satisfeitas. Definimos $\hat{F}(\omega,q)$ como sendo igual a $F(\omega,q)$ em $\Omega^{\prime}$ e igual a $F_{0}(q)$ (uma função de distribuição fixa) caso contrário (que claramente será mensurável). Finalmente podemos definir $\tilde{F}(\omega,x)=\inf_{q\in\mathbb{Q};q\downarrow x}\hat{F}(\omega,q)$ , que satisfaz para todo $\omega$ as hipóteses do Teorema 2.3. Logo, existe para cada $\omega\in\Omega$ uma medida $K(\omega,\cdot)$ em $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ satisfazendo $K(\omega,(-\infty,q])=F(\omega,q)$ $P_{\Omega}$ -quase certamente.

Precisamos mostrar que $K$ é um núcleo, e para isso basta observar que $F(\omega,q)$ são mensuráveis e a família $\{(-\infty,q];q\in\mathbb{Q}\}$ forma um $\pi$ -sistema que gera $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Finalmente, vamos verificar (4.36), notando que se $A\in\mathcal{F}$ e $B=(-\infty,q]$ ,

\int_{A}K(\omega,B)P_{\Omega}(\d{\omega})=\int_{A}F(\omega,q)P_{\Omega}(\d{% \omega})=P^{q}_{\Omega}(A)=P(A\times B).

(4.39)

Como a classe $B$ é um $\pi$ -sistema gerando $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ terminamos a prova. ∎

Interpretamos $P[X_{2}\in B|X_{1}=\omega]$ da seguinte forma. Se alguém tiver acesso à $\sigma$ -álgebra $\sigma(X_{1})$ , ou seja, essa pessoa é capaz de observar o valor de $\omega$ , ela pode não saber o valor de $X_{2}$ , mas já pode atualizar sua distribuição para $P(X_{2}\in\cdot|X_{1}=\omega)$ .

Uma das grandes vantagens de ter um núcleo de transição a determinar uma distribuição conjunta, como foi feito acima, é que podemos usar a versão generalizada de Fubini. Antes, nós somente podiamos usar Fubini para espaços construídos através de um núcleo.

{exercise}

Se $\Omega=E_{1}\times E_{2}$ com $E_{2}$ canônico é dotado da probabilidade $\d{P}=\rho(x_{1},x_{2})\mu_{1}\otimes\mu_{2}(\d{x}_{1}\d{x}_{2})$ , mostre que

P(X_{2}\in A|X_{1}=x_{1})=\frac{\int_{A}\rho(x_{1},x_{2})\mu_{2}(\d{x}_{2})}{% \int\rho(x_{1},x_{2})\mu_{2}(\d{x}_{2})},

(4.40)

$(X_{1}\circ P)$ -quase certamtente.

{exercise}

Sejam $X_{1}$ e $X_{2}$ as projeções canônicas em um espaço produto $\Omega\times E$ , com $E$ canônico. Então, se $X_{1}$ e $X_{2}$ são independentes com respeito a $P$ , vale

P[X_{2}\in B|X_{1}=\omega]=P[X_{2}\in B]\text{ para $(X_{1}\circ P)$-quase % todo $\omega$}.

(4.41)

{exercise}

Considere em $(\mathbb{R}^{2},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2}))$ as projeções canônicas $X_{1}$ e $X_{2}$ . Calcule, em cada um dos exemplos abaixo, a probabilidade condicional regular $P[X_{1}\in\cdot|X_{2}=x_{2}]$ , justificando sua resposta,

a)

Quando $P$ é a medida uniforme em $T=\{(x,y)\in[0,1]^{2};x\leq y\}$ (ou seja, a medida de Lebesgue em $\mathbb{R}^{2}$ restrita a $T$ e normalizada para ser uma probabilidade).
b)

Quando $P$ é a medida $U_{S^{1}}$ (uniforme em $S^{1}$ ).