3.2 Variância

Na seção anterior, limitamos $P[X>a]$ usando $E(X)$ (se $X\geq 0$). Esse método é chamado de método do primeiro momento, de acordo com a seguinte {definition} Dada uma variável aleatória $X$, definimos o seu $k$-ésimo momento como $E(X^{k})$, para $k=1,2,\dots$

Então, por exemplo, se $X\in\mathcal{L}^{k}$ e $X\geq 0$, podemos estimar

Observe que quando o $k$-ésimo momento de $X$ é finito, a razão acima decai mais rápido quando $x$ diverge.

Mostre uma fórmula análoga à da Proposição 3.1.

Mostre que se a distribuição de $X$ tem densidade $\rho$ e $E(|f(X)|)<\infty$, então

Um caso bastante importante ocorre quando $k=2$, por várias razões que descreveremos abaixo.

Digamos que estamos interessados em aproximar uma variável aleatória por uma constante de forma a minimizar o erro da aproximação. Uma possível formulação desse problema é encontrar $a$ de forma a minimizar

Essa equação obviamente possui um único mínimo em $a=E(X)$. Ao erro da aproximação acima damos o nome de variância

Dada uma variável aleatória $X\in\mathcal{L}^{2}$, definimos sua variância como

Observe pelas definições alternativas dadas acima que

1.  a)
   ​

   $\Var(X)\geq 0$ e

2.  b)
   ​

   $E(X^{2})\geq E(X)^{2}$.

Mostre que se $X\in\mathcal{L}^{2}$, então $\Var(X)=0$ se e somente se $X=a$ quase certamente.

Obviamente

Podemos alternativamente entender a variância da seguinte meneira. Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes em $\mathcal{L}^{2}$ de mesma distribuição. Então,

Mostre que se $X\in\mathcal{L}^{2}$, então $\Var(X+b)=\Var(X)$.

Calcule $Var(X)$ quando $X$ tem distribuições $\Ber(p)$, $U[0,1]$ ou $\Exp(\lambda)$.

A seguinte proposição mostra que a variância é uma maneira de estimar o quanto uma variável aleatória se desvia de sua média. {proposition} Se $X\in\mathcal{L}^{2}$ e $a>0$, então

Para variáveis aleatórias de média zero, a variância nada mais é que $E(X^{2})$, ou em outras palavras $\lVert X\rVert^{2}_{2}$, o quadrado de sua norma em $\mathcal{L}^{2}$. Isso nos motiva a olhar mais de perto para o produto interno em $\mathcal{L}^{2}$, que se traduz a $E(XY)$. Mas para não nos restringirmos a variáveis de média zero, introduzimos a seguinte

Se $X,Y$ são variáveis em $\mathcal{L}^{2}$, definimos

Uma observação importante é que

Sejam $X_{1}$ e $X_{2}$ as coordenadas canônicas em $\mathbb{R}^{2}$. Já vimos que elas não são independentes sob a distribuição $U_{S^{1}}$. Mostre que mesmo assim temos $\Cov(X_{1},X_{2})=0$.

Uma outra propriedade bastante importante da variância é que ela se comporta bem com somas, no seguinte sentido {proposition} Se $X_{1},\dots,X_{n}$ são variáveis em $\mathcal{L}^{2}$, então

Em particular, se as variáveis $X_{i}$ forem independentes duas a duas, então

Calcule $\Var(X)$ quando $X\overset{d}{\sim}\Bin(n,p)$.

Calcule $E(X)$ quando $X\overset{d}{\sim}\Geo(p)$.

Um dito popular muito comum no Brasil é que não devemos deixar todos os “ovos no mesmo cesto”, o que nos remete à possibilidade de perdermos todos eles caso o cesto caia. Uma outra maneira de pensar nas vantagens de se dividir nossos riscos entre várias fontes independentes de incerteza, vem da equação (3.30), melhor explicada no exercício abaixo.

Imagine que $X_{1},\dots,X_{n}$ são variáveis \iid, tomando valores em $[0,1]$ e que temos um certo valor $s\in\mathbb{R}_{+}$ que temos que guardar em $n$ caixas (dividindo como quisermos em $s_{1},\dots,s_{n}$). Ao fim da semana, obteremos $S=\sum_{i}s_{i}X_{i}$.

Calcule $E(S)$ e $\Var(S)$,

1.  a)
   ​

   se $s_{1}=s$ e $s_{i}=0$ para todo $i\geq 2$ e

2.  b)
   ​

   se $s_{i}=s/n$ para todo $i$.

Compare os resultados.

Calcule $\lim_{p\to 0}F_{p}(x)$ onde $F_{p}$ é a função de distribuição acumulada de $pX_{p}$ com $X_{p}\overset{d}{\sim}\Geo(p)$. Você reconhece esse limite?