Tópico: O Teorema de Portmanteau

O próximo resultado é bastante útil para provar convergência fraca, pois nos fornece uma coleção de equivalências muitas vezes mais fáceis de verificar.

{theorem}

[Teorema de Portmanteau] Sejam $(\mu_{n})_{n\geq 1}$ e $\mu$ medidas de probabilidade em $(E,\mathcal{A})$ . São equivalentes:

a)

$\mu_{n}\Rightarrow\mu$ ,
a’)

$\int f\d{\mu}_{n}\to\int f\d{\mu}$ , para toda $f$ unifmormemente contínua e limitada,
b)

$\limsup_{n}\mu_{n}(F)\leq\mu(F),$ para todo $F\subseteq E$ fechado,
b’)

$\liminf_{n}\mu_{n}(G)\geq\mu(G),$ para todo $F\subseteq E$ aberto,
c)

$\lim_{n}\mu_{n}(A)=\mu(A),$ para todo $A\in\mathcal{A}$ com $\mu(\partial A)=0$ .

Para memorizar o teorema acima, é conveniente lembrar dos dois exemplos:

i)

se $x_{n}\to x$ com $x_{n}\neq x$ , $F=\{x\}$ e $G=B(x,\delta)\setminus\{x\}$ temos, para $n$ grande,

$\mu_{n}(F)=\mu(G)=0<1=\mu(F)=\mu_{n}(G),$ (3.129)
ii)

em $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , seja $\mu_{2n}=\delta_{n}$ e $\mu_{2n+1}=\mu=\delta_{0}$ . Obviamente $\mu_{n}$ não converge fracamente a $\mu$ . Contudo, para todo $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ,

$\begin{split}\liminf_{n}\mu_{n}(A)&\leq\liminf_{n}\mu_{2n}(A)=\mu(A)\text{ e}% \\ \limsup_{n}\mu_{n}(A)&\geq\limsup_{n}\mu_{2n}(A)=\mu(A).\end{split}$ (3.130)

Prova do Teorema 3.

Obviamente, $(a\Rightarrow a^{\prime})$ , pois $a^{\prime})$ somente supõe a convergência das integrais para funções $f$ que sejam uniformemente contínuas, portanto é um requisito mais fraco que $a)$ .

Observamos também que $(b\Leftrightarrow b^{\prime})$ . De fato, basta tomarmos complementos e observar a mudança nos sinais das desigualdades.

Então, para a prova do teorema, basta mostrar que $(a^{\prime}\Rightarrow b)$ , $(b+b^{\prime}\Rightarrow c)$ e $(c\Rightarrow a)$ .

Começamos com $(a^{\prime}\Rightarrow b)$ e para tanto, consideramos $F\subseteq E$ fechado. Seja $\delta>0$ e defina a função $f_{\delta}:E\to\mathbb{R}$ dada por

f_{\delta}(x)=\max\Big{\{}1-\frac{d(x,F)}{\delta},0\Big{\}}.

(3.131)

Claramente, $f$ é uniformemente contínua e vale $\1{F}\leq f_{\delta}\leq\1{B(F,\delta)}$ . Dessa desigualdade, temos $\limsup_{n}\mu_{n}(F)\leq\limsup_{n}\int f_{\delta}\d{\mu}_{n}=\int f_{\delta}% \d{\mu}\leq\mu(B(F,\delta))$ . Tomando agora o limite com $\delta\to 0$ , obtemos $b)$ por continuidade da probabilidade $\mu$ .

Para mostrar $(b+b^{\prime}\Rightarrow c)$ , seja $A\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(\partial A)=0$ . Nesse caso, sabemos que

\begin{split}\limsup_{n}\mu_{n}(A)&\leq\limsup_{n}\mu_{n}(\bar{A})\leq\mu(\bar% {A})=\mu(\mathring{A})\\ &\leq\liminf\mu_{n}(\mathring{A})\leq\liminf_{n}\mu_{n}(A),\end{split}

o que mostra o limite em $c)$ .

Finalmente, resta mostrar $(c\Rightarrow a)$ e, para tanto, consideramos uma função $f:E\to\mathbb{R}$ contínua e limitada. Digamos, com $\lVert f\rVert_{\infty}=M$ .

Sabemos que os conjuntos $\{f^{-1}(\{a\})\}_{a\in\mathbb{R}}$ são disjuntos, logo os conjuntos $f^{-1}(\{a\})$ podem ter medida $\mu$ positiva apenas para uma coleção enumerável de valores $a\in\mathbb{R}$ . Obtemos assim uma coleção finita $b_{0}<b_{1}<\dots<b_{k}$ , tal que

\begin{array}[]{c}b_{0}<-M\text{ e }b_{k}>M,\quad b_{i+1}-b_{i}\leq\delta\text% { e}\\ \mu\big{(}f^{-1}(\{b_{i}\})\big{)}=0\text{ para todo $i\leq k$}.\end{array}

(3.132)

Figura 3.3: Uma função contínua e limitada

f

, os pontos

b_{i}

e um conjunto

A_{i}

Iremos aproximar $f$ por uma função da forma $f_{\delta}=\sum_{i}b_{i}\1_{A_{i}}$ , onde os conjuntos $A_{i}=f^{-1}\big{(}[b_{i},b_{i+1})\big{)}$ são disjuntos. Obviamente $f_{\delta}\leq f\leq f_{\delta}+\delta$ , donde

\liminf\int f_{\delta}\d{\mu}_{n}\leq\liminf\int f\d{\mu}_{n}\leq\limsup\int f% \d{\mu}_{n}\leq\liminf\int f_{\delta}\d{\mu}_{n}+\delta.

Mas como $\int f_{\delta}\d{\mu}_{n}=\sum_{i}b_{i}\mu_{n}(A_{i})$ , a prova estará concluida se mostrarmos que $\mu_{n}(A_{i})\to\mu(A_{i})$ para todo $i\leq k$ . Isso segue de $d)$ , pois $\partial A_{i}\subseteq f^{-1}(\{b_{i},b_{i+1}\})$ , que tem medida zero. ∎

{exercise}

Lembrando que em $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , temos $\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\delta_{i/n}\Rightarrow U_{[0,1]}$ , use o ítem $d)$ do Teorema 3 para dar uma caracterização dos conjuntos Riemann-mensuráveis. Mais precisamente, encontre os $A\subseteq\mathbb{R}$ tais que $\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\delta_{i/n}(A)$ converge para a medida de Lebesgue de $A$ .

\todosec

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