Tópico: Funções características ¹¹ 1 Somos gratos a Rangel Baldasso por escrever essa seção.

Esta seção trata da função característica de uma variável aleatória, que pode ser vista como um análogo complexo da trasformada de Laplace, ou também como a transformada de Fourier de uma distribuição em $\mathbb{R}$. Vamos estudar suas principais propriedades e demonstrar que a função características determinam unicamente a distribuição da variável aleatória.

Dada uma variável aleatória $X$, a função característica de $X$, $\widebar{\phi}_{X}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$, é definida por

Vamos começar estudando as propriedades básicas de $\widebar{\phi}_{X}$.

Prove que a função $\widebar{\phi}_{X}$ é absolutamente contínua.

Suponha que $\mathbb{E}(|X|^{n})<+\infty$. Prove que a função $\widebar{\phi}_{X}$ é $n$ vezes diferenciável em $t=0$ e que $\widebar{\phi}_{X}^{(n)}(0)=i^{n}\mathbb{E}(X^{n})$.

Se $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ são independentes e $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}$, então

Como vamos ver agora, a função característica nos permite recuperar a distribuição de $X$:

Use a seguinte igualdade

para provar que se $a<b$ são pontos de continuidade da função de distribuição de $X$, $F_{X}$, então

Conclua que a distribuição de $X$ é determinada por $\widebar{\phi}_{X}$.

O próximo exercício consiste em calcular algumas funções características.

Calcule as funções características das seguintes distribuições:

• i.
  ​

  $X\sim Ber(p)$;

• ii.
  ​

  $X\sim Poisson(\lambda)$;

• iii.
  ​

  $X\sim N(0,1)$. Dica: fixe $z\in\mathbb{R}$, calcule $\mathbb{E}(e^{zX})$ e use o Princípio da continuação analítica.