3.1 Esperança

{definition}

Se $X$ é uma variável aleatória com $\int_{\Omega}|X|\d{\omega}<\infty$ , dizemos que $X$ é integrável e definimos

E(X)=\int_{\Omega}X(\omega)P(\d{\omega}),

(3.1)

a chamada esperança de $X$ . Nesse caso também dizemos que $X\in\mathcal{L}^{1}$ .

Quando $X\geq 0$ , também podemos supor que $E(X)$ está bem definida, mesmo que possivelmente tomando valor infinito.

Não demonstraremos algumas propriedades conhecidas da integração de Lebesgue, tais como

a)

$E(X+\alpha Y)=E(X)+\alpha E(Y)$ (se estiverem bem definidas),
b)

Valem os Teoremas de Convergência (Monótona e Limitada).

{exercise}

Mostre que se $X\in\mathcal{L}^{1}$ e $P[X>x]=0$ , então $E(X)\leq x$ .

{lemma}

A esperança de uma variável aleatória $X\in\mathcal{L}^{1}$ depende somente de sua distribuição. Mais precisamente

E(X)=\int x\;P_{X}(\d{x}).

(3.2)

Demonstração.

Vamos mostrar que

E\big{(}f(X)\big{)}=\int f(x)(X\circ P)(\d{x}),

(3.3)

para toda $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mensurável tal que $f(X)\in\mathcal{L}^{1}$ .

Para $f=\1_{A}$ , temos

E\big{(}f(X)\big{)}=P[X\in A]=(X\circ P)(A),

(3.4)

por definição de $X\circ P$ .

Agora podemos extender o teorema para funções $f$ simples por linearidade, depois para funções positivas usando o Teorema da Convergência Monótona e finalmente escrevemos $x=x\1_{[0,\infty)}-(-x)\1_{(-\infty,0)}$ . ∎

Vamos mostrar uma fórmula bastante simples de integração de variáveis tomando valores em um conjunto enumerável. Se $X\in\{x_{1},x_{2},\dots\}$ $P$ -quase certamente, então

\begin{split}E(X)&=\int_{\Omega}XP(\d{\omega})=\int\sum_{i}\1_{[X=x_{i}]}XP(\d% {\omega})+\int_{\{x_{1},x_{2},\dots\}^{c}}XP(\d{\omega})\\ &=\sum_{i}\int_{[X=x_{i}]}x_{i}P(\d{\omega})+0=\sum_{i}x_{i}P[X=x_{i}].\end{split}

(3.5)

Para nos acostumar à notação de probabilidade, vamos agora mostrar o mesmo resultado da seguinte forma

\begin{split}E(X)&=E\Big{(}\sum_{i}X\1_{[X=x_{i}]}\Big{)}+E(X\1_{\{x_{1},x_{2}% ,\dots\}^{c}})\\ &=\sum_{i}E[X;X=x_{i}]+0=\sum_{i}x_{i}P[X=x_{i}].\end{split}

(3.6)

Que é certamente muito útil quando nos habituamos a ela.

Observe que acima usamos a notação $E[X;\mathcal{Q}]=E(X\1_{[\mathcal{Q}]})$ . Também utilizaremos $E[X;\mathcal{Q}_{1},\mathcal{Q}_{2},\dots]=E(X\1_{[\mathcal{Q}_{1},\mathcal{Q}% _{2},\dots]})$

{example}

Se $X\overset{d}{\sim}\Ber(p)$ , então $E(X)=0\cdot P[X=0]+1P[X=1]=0+p=p$ .

{example}

Seja $X\overset{d}{\sim}\Bin(n,p)$ , então, para calcular $E(X)$ , basta calcular $E(Y)$ onde $X\overset{d}{\sim}Y$ . Como vimos anteriormente, se $Z_{1},Z_{2},\dots,Z_{n}$ são variáveis \iid(relembrando: independentes e identicamente distribuídos) com $Z_{1}\overset{d}{\sim}\Ber(p)$ , então $Y=\sum_{i}Z_{i}\overset{d}{\sim}\Bin(n,p)$ . Logo

E(X)=E(Y)=\sum_{i}E(Z_{i})=np.

(3.7)

Se $d(X\circ P)=\rho(x)\d{x}$ (com $\rho\geq 0$ e $\int\rho(x)\d{x}=1$ ), então

E(X)=\int x(X\circ P)(\d{x})=\int x\rho(x)\d{x}.

(3.8)

{example}

Se $X\overset{d}{\sim}U_{[0,1]}$ , então sua densidade com respeito a Lebesgue é dada por $d(X\circ P)=\1_{[0,1]}\d{x}$ , donde $E(X)=\int_{0}^{1}x\d{x}=1/2$ .

{proposition}

Se $X\geq 0$ $P$ -q.c., então

E(X)=\int_{0}^{\infty}P[X>x]\d{x})=\int_{0}^{\infty}1-F(x)\d{x}.

(3.9)

Demonstração.

\begin{split}E(X)&=E\Big{(}\int_{0}^{X}1\d{x}\Big{)}=E\Big{(}\int_{0}^{\infty}% \1_{[x<X]}\d{x}\Big{)}\\ &\overset{\text{Fubini}}{=}\int_{0}^{\infty}E(\1_{[x<X]})\d{x}=\int_{0}^{% \infty}P[x<X]\d{x}.\end{split}

(3.10)

∎

{example}

Se $X\overset{d}{\sim}\Exp(\lambda)$ , então

P[X\geq x]=\int_{x}^{\infty}\lambda e^{-\lambda t}\d{t}=e^{-\lambda x},

(3.11)

donde

E(X)=\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}\d{x}=\frac{1}{\lambda}.

(3.12)

{exercise}

Se $X\in\mathcal{L}^{1}$ e $P[X\geq x]=P[X\leq-x]$ para todo $x\geq 0$ , então $E(X)=0$ .

{exercise}

Marcelo coleciona figurinhas de futebol. O álbum completo conterá $N$ figurinhas. No $i$ -ésimo dia, ele compra uma nova carta $X_{i}\in\{1,\dots,N\}$ . A coleção $(X_{i})_{i\geq 0}$ é distribuida de maneira \iide uniforme nas figurinhas.

a)

Para $j=1,\dots,N$ , seja $T_{j}$ o tempo passado até a aquisição da $j$ -ésima nova figurinha, i.e.

$T_{1}=1\quad\text{ e }\quad T_{j}=\inf\{i,X_{i}\not\in\{X_{T_{j^{\prime}}};j^{% \prime}<j\}\}.$ (3.13)

Mostre que $T_{j}$ é finito quase certamente, para todo $j\leq N$ .
b)

Calcule a distribuição conjunta de $(T_{1},T_{2}-T_{1},\dots,T_{N}-T_{N-1})$ .
c)

Calcule a esperança de $T_{N}$ (o dia em que Marcelo completa seu álbum).

{exercise}

Sejam $X_{1},X_{2},\dots$ variáveis aleatórias \iide defina o primeiro tempo de récorde como

R=\inf\{i\geq 2;X_{i}\geq X_{1}\}.

(3.14)

Supondo que $X_{1}$ é absolutamente contínua com respeito à medida de Lebesgue, encontre $E(R)$ .

3.1.1 Desigualdade de Markov

{theorem}

Se $X\geq 0$ $P$ -q.c., então para todo $x>0$ ,

P[X\geq x]\leq\frac{E(X)}{x}.

(3.15)

Demonstração.

Sabemos que $X\geq x\1_{[X\geq x]}$ , logo

E(X)\geq xE(\1_{[X\geq x]})=xP[X\geq x],

(3.16)

que termina a prova. ∎

O próximo exemplo serve muito bem para mostrar porque estamos interessados em desigualdades como a do Teorema 3.1.1 acima.

Em vários exemplos importantes, podemos ter dificuldade de calcular probabilidades explicitamente. Nesses casos, poderíamos gastar nossas energias tentando calculá-las a qualquer custo, ou podemos nos contentar em obter cotas superiores e inferiores para as probabilidades nas quais estamos interessados.

Em vários casos, a segunda estratégia tem uma grande vantagem sobre a primeira, por possibilitar que estudemos problemas mais complexos (e consequentemente mais importantes/interessantes) e muitas vezes sem nos afastarmos da realidade (em vários exemplos as cotas superiores e inferiores são próximas o suficiente para que não nos preocupemos).

{example}

Sejam $n$ patos e $m$ caçadores. Cada caçador escolhe um pato aleatorea e uniformemente e atira (abatendo-o com probabilidade $p$ ). Seja $X=\#\{\text{patos vivos}\}$ , que pode ter uma distribuição complicada de calcular, mas

\begin{split}E(X)&=E\Big{(}\sum_{i=1}^{n}\1_{[\text{pato $i$ vive}]}\Big{)}=% \sum_{i=1}^{n}P[\text{pato $i$ vive}]\\ &=nP[\text{pato $1$ vive}]=P\Big{(}\mcap_{j=1}^{m}[\text{ca\c{c}ador $j$ n\~{a% }o mata pato $1$}]\Big{)}\\ &=nP[\text{ca\c{c}ador $j$ n\~{a}o mata pato $1$}]^{m}=n\Big{(}1-\frac{p}{n}% \Big{)}.\end{split}

(3.17)

Observe que

a)

acima obtivemos uma igualdade e
b)

$[\text{pato $i$ vive}]$ , $i=1,\dots,n$ não são independentes.

Finalmente estimamos (digamos para $n$ par)

\begin{split}&P[\text{patos para o jantar}\leq n/2]=P[X\geq n/2]\leq\frac{E(X)% }{n/2}\\ &\qquad=2\frac{n}{n}\Big{(}1-\frac{p}{n}\Big{)}^{m}\leq 2\exp\{-\frac{pm}{n}\}% .\end{split}

(3.18)

\todosec

Tópico: Grafos Aleatóriosfazer erdos renyi…

\todosec

Tópico: Currie Weissfazer…

3.1.2 Esperança e independência

{proposition}

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes e em $\mathcal{L}^{2}$ , então

E(XY)=E(X)E(Y).

(3.19)

Demonstração.

Obviamente o resultado acima é válido para funções indicadoras, pois $\1_{A}\1_{B}=\1_{A\cap B}$ . Por linearidade, o resultado também vale para funções simples e usando o Teorema da Convergência Monótona podemos extendê-lo para funções positivas. Finalmente, decompomos $X=X_{+}-X_{-}$ e $Y=Y_{+}-Y_{-}$ e lembramos que ambas estão em $\mathcal{L}^{2}$ para concluir a prova. ∎

{exercise}

Mostre que $E(XY)$ , $E(X/Y)$ , $E(X+Y)$ … dependem apenas da distribuição de $(X,Y)\in\mathbb{R}^{2}$ .

{exercise}

Mostre que se $X,Y\in\mathcal{L}^{1}$ , então também vale $E(XY)=E(X)E(Y)$ .