3.5 Lei $\{0,1\}$ de Kolmogorov

Ao estudarmos o Lema de Borel-Cantelli, vimos que se os eventos $(A_{i})_{i\geq 1}$ são independentes então a probabilidade de $[A_{i}\text{ infinitas vezes}]$ somente pode assumir os valores zero ou um (dependendo da somabilidade de $P(A_{i})$). Nessa seção iremos estudar outros tipos de evento que assumem apenas esses dois valores. Esperamos que esse fenômeno se torne intuitivo ao final dessa discussão.

No que se segue, consideraremos um espaço mensurável $\Omega=\times_{i=1}^{\infty}E$, com a $\sigma$-álgebra canônica $\mathcal{F}$, isto é a $\sigma$-álgebra gerada pelas coordenadas canõnicas $(X_{i})_{i=1}^{\infty}$. {definition} Dizemos que um evento $A\in\mathcal{F}$ é caudal se

Também introduzimos a classe $\mathcal{F}_{\infty}$ de tais eventos, que claramente é uma $\sigma$-álgebra, pois pode ser escrita como

Chamamos $\mathcal{F}_{\infty}$ de $\sigma$-álgebra caudal.

Vejamos que, dados $A_{i}\in\sigma(X_{i})$, $i\geq 1$, temos que $[A_{i}\text{ infinitas vezes}]$ é caudal. Para tanto, basta observar que para todo $n\geq 1$, temos que

que obviamente pertence a $\sigma(X_{i};i\geq n)$ para todo $n\geq 1$.

Mostre que em $\Omega=\mathbb{R}^{\infty}$, são caudais os seguintes eventos

1.  a)
   ​

   $[X_{i}\text{ converge}]$,

2.  b)
   ​

   $\big{[}\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\text{ converge}\big{]}$ e

3.  c)
   ​

   $[\#\{i\geq 1;X_{i}>0\}<\infty]$.

Podemos agora enunciar o pricipal teorema dessa seção

[Lei $\{0,1\}$ de Kolmogorov] Se $\Omega=E^{\infty}$, onde $E$ é um espaço canônico, for provido de uma lei produto $P=\otimes_{i=1}^{\infty}P_{i}$, então todo evento caudal tem probabilidade $0$ ou $1$ sob $P$.

Quando uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ satisfaz $P(A)\in\{0,1\}$ para todo $A\in\mathcal{F}$, dizemos que $\mathcal{F}$ é trivial. Uma outra maneira de enunciar a conclusão do teorema acima é dizer que a $\sigma$-álgebra caudal $\mathcal{F}_{\infty}$ é trivial.

Dizemos que uma probabilidade $P$ no espaço produto $\Omega=\times_{n\geq 1}E$ (com a $\sigma$-álgebra canônica) é fortemente misturadora se, para todo $k\geq 1$, temos

onde o supremo acima é tomado sobre $A\in\sigma(X_{1},\dots,X_{k})$ e $B\in\sigma(X_{n},X_{n+1},\dots)$. Mostre que nesse caso, a $\sigma$-álgebra dos eventos caudais é trivial.

[Depende de Tópico: Percolação] Considere o grafo $G=(\mathbb{Z}^{2},E)$, onde $E=\big{\{}\{x,y\};|x-y|_{2}=1\big{\}}$. Dotamos agora o espaço $\{0,1\}^{E}$ com a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ gerada pelas projeções canônicas $Y_{e}(\omega)=\omega(e)$, onde $\omega\in\{0,1\}^{E}$ e $e\in E$. Definimos o conjunto $A\subseteq\{0,1\}^{E}$ por

1.  a)
   ​

   Mostre que $A$ é mensurável com respeito a $\mathcal{A}$.

2.  b)
   ​

   Mostre que $A$ é um evento caudal, ou seja

   $$A\in\bigcap_{K\subseteq E;\text{ finito}}\sigma\big{(}Y_{e};e\not\in K\big{)}.$$ (3.67)
3.  c)
   ​

   Conclua que $P(A)\in\{0,1\}$.

Seja $\Omega=E^{\mathbb{Z}}$ um espaço produto infinito, dotado da $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ gerada pelas projeções canônicas $(X_{i})_{i\in\mathbb{Z}}$. Consideramos agora em $(\Omega,\mathcal{A})$ a medida produto $\mathbb{P}=P^{\otimes\mathbb{Z}}$, onde $P$ é uma probabilidade fixada no espaço polonêns $(E,\mathcal{B}(E))$.

1.  a)
   ​

   Mostre que para qualquer evento $A\in\mathcal{A}$ e qualquer $\varepsilon>0$, existe um $k\in\mathbb{Z}_{+}$ e um evento $A_{k}\in\sigma(X_{i},|i|\leq k)$ tais que $\mathbb{P}[(A\setminus A_{k})\cup(A_{k}\setminus A)]<\varepsilon$.

2.  b)
   ​

   Considere o shift $\theta:\Omega\to\Omega$ dado por $\theta(\omega)(i)=\omega(i-1)$ e mostre que se $A=\theta(A)$, então $P(A)\in\{0,1\}$.