3.3 Lei fraca dos grandes números

Nessa seção iremos mostrar um dos resultados mais importantes da Teoria da Probabilidade. O que nossa intuição tem a nos dizer sobre a probabilidade de obtermos um resultado em um dado é $1/6$ ? Uma possível explicação seria por simetria, mas e o que podemos dizer no caso de um dado viciado?

Se dizemos a alguém que a probabilidade de obter $6$ em um certo dado é $1/10$ , naturalmente a pessoa pode se perguntar como descobrimos isso. Um bom jeito de obter tal medida seria jogar o dado várias vezes independentemente e calcular em qual proporção dos ensaios ele retornou um seis.

O objetivo desta seção é confirmar a validade desse experimento de maneira quantitativa.

{theorem}

Se $X_{1},X_{2},\dots$ são i.i.d.s em $\mathcal{L}^{2}$ e definimos

S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i},

(3.32)

então para todo $\varepsilon>0$

\lim_{n\to\infty}P\Big{[}\Big{|}\frac{S_{n}}{n}-E(X_{1})\Big{|}>\varepsilon% \Big{]}=0.

(3.33)

Ou seja, $\tfrac{S_{n}}{n}\to E(X_{1})$ em medida (que também chamamos de “em probabilidade”).

Demonstração.

Sabemos que

P\Big{[}\Big{|}\frac{S_{n}}{n}-E(X_{1})\Big{|}>\varepsilon\Big{]}\leq\frac{% \Var(\tfrac{S_{n}}{n})}{\varepsilon^{2}},

(3.34)

pois $E(S_{n}/n)=1/nE(X_{1}+\dots+X_{n})=E(X_{1})$ .

Mas como $\Var(S_{n}/n)=1/n^{2}\Var(X_{1}+\dots+X_{n})=(n/n^{2})\Var(X_{1})$ , temos o resultado. ∎

Observe que nós apenas utilizamos que as variáveis $X_{i}$ eram independentes duas a duas.

Além disso, obtivemos o seguinte resultado quantitativo que vale mesmo para valores finitos de $n$ :

{scholia}

Se $X_{1},X_{2},\dots$ são i.i.d.s em $\mathcal{L}^{2}$ e definimos $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ como acima, então, para todo $\varepsilon>0$ e $n\geq 1$ , temos

P\Big{[}\Big{|}\frac{S_{n}}{n}-E(X_{1})\Big{|}>\varepsilon\Big{]}\leq\frac{% \Var(X_{1})}{\varepsilon^{2}n}.

(3.35)

{corollary}

Se $A_{1},A_{2},\dots$ são eventos independentes dois a dois com $P(A_{i})=p\in[0,1]$ para todo $i$ , então

\lim_{n\to\infty}P\Big{[}\Big{|}\frac{\#\{i\leq n;\omega\in A_{i}\}}{n}-p\Big{% |}>\varepsilon\Big{]}=0,

(3.36)

ou em outras palavras a proporção de ensaios onde o evento $A_{i}$ ocorre converge em probabilidade para $p$ .

Demonstração.

Basta tomar $X_{i}=\1_{A_{i}}$ no Teorema 3.3. ∎

{exercise}

Sejam $(X_{i})_{i\geq 1}$ variáveis \iidcom distribuição Ber $(p)$ , $p\in[0,1]$ . Mostre que

\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_{i}X_{i+1}=p^{2},\text{ em % probabilidade.}

(3.37)

{exercise}

Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ e $Y_{1},\dots,Y_{n}$ variáveis independentes com distribuição $\Ber(p)$ . Defina agora $Z_{i,j}=X_{i}Y_{j}$ , para $i,j\in\{1,\dots,n\}$ e

a)

calcule a esperança de $S_{n}=\tfrac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}Z_{i,j}$ e
b)

estime $P[|S_{n}-E(S_{n})|>a]$ usando o método do segundo momento. Como esse resultado se compara com o caso em que os $Z_{i,j}$ são i.i.d.?

{exercise}

Considere uma rua infinita com casas $i\in\mathbb{Z}$ . Para todo $i\in\mathbb{Z}$ , existia uma rua entre as casas $i$ e $i+1$ , mas após uma grande tempestade essas ruas foram danificadas. Mais precisamente, para cada $i\in\mathbb{Z}$ , temos variáveis aleatórias $X_{i}$ que são i.i.d. com distribuição $\text{Ber}(p)$ , onde $X_{i}=1$ indica que o trecho da rua entre as casas $i$ e $i+1$ foi danificado e não pode ser utilizado. Defina, para $i\in\mathbb{Z}$ , $R_{i}$ como sendo o número de casas que continuaram acessíveis à casa $i$ após a tempestade. Por exemplo, se $X_{-2}$ e $X_{0}=1$ e $X_{-1}=0$ , temos que a casa $0$ somente pode acessar a casa $-1$ , logo $R_{0}=1$ . Nesse contexto,

a)

Calcule a distribuição e a esperança de $R_{0}$ ,
b)

Use o método do segundo momento para estimar a probabilidade

$P\Big{[}\Big{|}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_{i}-E(R_{0})\Big{|}>a\Big{]}.$ (3.38)