11 Identificabilidade na Descoberta Causal

Para contextualizar o problema da identificabilidade na Descoberta Causal, podemos começar com um exemplo simplista. Considere que observamos as variáveis: ${\mathcal{V}}=\{X,Y\}$. Neste caso, há pelo menos duas dificuldades.

Primeiramente, considere que $f$ é tal que $X\perp\!\!\!\!\perp^{f}Y$. Neste caso, apesar de intuitivamente considerarmos o grafo causal, $X\hskip 8.53581ptY$, a densidade $f$ também é compatível com $X\rightarrow Y$. De fato, $X\rightarrow Y$ determina que $f(x,y)=f(x)f(y|x)$, o que é verdadeiro mesmo quando $X$ e $Y$ são independentes.

Contudo, ainda que ambos os grafos sejam compatíveis com $f$, o grafo $X\hskip 8.53581ptY$ é mais informativo. Somente com base neste grafo podemos deduzir que $X$ é independente de $Y$. Essa constatação elucida que não buscamos apenas um grafo causal, ${\mathcal{G}}$, compatível com a distribuição geradora dos dados, $f$. Desejamos que ${\mathcal{G}}$ permita deduzir o maior número possível de relações de independência condicional presentes em $f$. Uma maneira de lidar com este problema é trocar o objetivo de encontrar ${\mathcal{G}}$ compatível com $f$ por encontrar ${\mathcal{G}}$ fiel a $f$:

Podemos interpretar a Definição 5.1 à luz do Teorema 2.49. Se ${\mathcal{G}}$ é compatível com $f$ e ${\mathbf{X}}\perp^{\mathcal{G}}{\mathbf{Y}}|{\mathbf{Z}}$, então o Teorema 2.49 indica que ${\mathbf{X}}\perp\!\!\!\!\perp^{f}{\mathbf{Y}}|{\mathbf{Z}}$. Contudo, em geral não é possível inferir uma d-separação em um grafo compatível a partir de uma relação de independência condicional. Quando ${\mathcal{G}}$ é fiel a $f$, toda relação de independência condicional implica uma d-separação em ${\mathcal{G}}$. Isto é, ${\mathcal{G}}$ traz a maior informação possível sobre as relações de independência condicional em $f$.

O segundo problema de identificabilidade é que pode haver mais de um grafo causal fiel à distribuição geradora dos dados. Como ilustração, considere novamente que ${\mathcal{V}}=\{X,Y\}$ e que $f$ é tal que $X$ e $Y$ não são independentes. Neste caso, tanto $X\rightarrow Y$ quanto $X\leftarrow Y$ são fiéis a $f$. Em outras palavras, se não fizermos mais suposições, ambos os grafos explicam igualmente bem $f$.

Com base nesta observação, podemos definir um tipo de não-identificabilidade em descoberta causal. Se dois grafos causais são fiéis às mesmas distribuições, então não importa qual seja a densidade geradora dos dados, não é possível diferenciá-los por meio dos dados. Neste caso, dizemos que os grafos são fielmente indistinguíveis:

A seguir, a Definição 5.4 e o Teorema 5.5 mostram uma operacionalização da relação de indistinguibilidade fiel.

De forma geral, o Teorema 5.5 mostra que, sem maiores suposições, só é possível aprender o padrão de um grafo a partir dos dados. Isto é, é possível determinar todas as relações de adjacência e, também, os colisores desprotegidos existentes no grafo. A seguir, estudaremos algoritmos que se propõem a descobrir esse padrão.