2 Elementos de Modelos Probabilísticos em Grafos

Para auxiliar nossa intuição sobre a Definição 2.1, é comum representarmos o grafo por meio de uma figura. Nesta, representamos cada vértice por meio de um ponto. Além disso, para cada aresta, $(V_{i},V_{j})$, traçamos uma seta que aponta de $V_{i}$ para $V_{j}$.

Por exemplo, considere que os vértices são ${\mathcal{V}}=\{V_{1},V_{2},V_{3}\}$ e as arestas são ${\mathcal{E}}=\{(V_{1},V_{2}),(V_{1},V_{3}),(V_{2},V_{3})\}$. Neste caso, teremos os $3$ pontos como vértices e, além disso, traçaremos setas de $V_{1}$ para $V_{2}$ e para $V_{3}$ e, também, de $V_{2}$ para $V_{3}$. Podemos desenhar este grafo utilizando os pacotes dagitty e ggdag (Barrett2022, Textor2016):

library(dagitty)
library(ggdag)
library(ggplot2)

# Especificar o grafo
grafo <- dagitty("dag {
    V1 -> { V2 V3 }
    V2 -> V3
}")

# Exibir a figura do grafo
ggdag(grafo, layout = "circle") +
  theme(axis.text.x = element˙blank(),
        axis.ticks.x = element˙blank(),
        axis.text.y = element˙blank(),
        axis.ticks.y = element˙blank()) +
  xlab() + ylab()

Grafos direcionados serão úteis para representar causalidade pois seus vértices serão variáveis e suas arestas irão apontar de cada causa imediata para seu efeito. Por exemplo, no Capítulo 1 consideramos um caso em que Sexo e Tratamento são causas imediatas de recuperação e, além disso, Sexo é causa imediata de Tratamento. O grafo na figur 1 poderia representar estas relações se definirmos que $V_{1}$ é Sexo, $V_{2}$ é Tratamento e $V_{3}$ é Recuperação.

Usando a representação de um grafo, podemos imaginar caminhos sobre ele. Um caminho direcionado inicia-se em um determinado vértice e, seguindo a direção das setas, vai de um vértice para outro. Por exemplo, $(V_{1},V_{2},V_{3})$ é um caminho direcionado na figur 1, pois existe uma seta de $V_{1}$ para $V_{2}$ e de $V_{2}$ para $V_{3}$. É comum denotarmos este caminho direcionado por $V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow V_{3}$. Similarmente, $(V_{1},V_{3},V_{2})$ não é um caminho direcionado, pois não existe seta de $V_{3}$ para $V_{2}$. A definição de caminho direcionado é formalizada a seguir:

Um caminho é uma generalização de caminho direcionado. Em um caminho, começamos em um vértice e, seguindo por setas, mas não necessariamente na direção em que elas apontam, vamos de um vértice para outro. Por exemplo, na figur 1 vimos que $(V_{1},V_{3},V_{2})$ não é um caminho direcionado pois não existe seta de $V_{3}$ para $V_{2}$. Contudo, $(V_{1},V_{3},V_{2})$ é um caminho pois existe uma seta ligando $V_{3}$ e $V_{2}$, a seta que aponta de $V_{2}$ para $V_{3}$. É comum representarmos este caminho por $V_{1}\rightarrow V_{3}\leftarrow V_{2}$. Caminho é formalizado a seguir:

Um DAG é um grafo direcionado tal que, para todo vértice, $V$, não é possível seguir setas partindo de $V$ e voltar para $V$. Este conceito é formalizado a seguir:

Usualmente representaremos as relações causais por meio de um DAG. Especificamente, existirá uma aresta de $V_{1}$ para $V_{2}$ para indicar que $V_{1}$ é causa imediata de $V_{2}$. Caso um grafo direcionado não seja um DAG, então existe um caminho de $V$ em $V$, isto é, $V$ seria uma causa de si mesma, o que desejamos evitar.

Um DAG induz uma ordem parcial entre os seus vértices. Isto é, se existe uma aresta de $V_{1}$ para $V_{2}$, então podemos interpretar que $V_{1}$ antecede $V_{2}$ causalmente. Com base nesta ordem parcial, é possível construir diversas definições que nos serão úteis.

Dizemos que $V_{1}$ é pai de $V_{2}$ em um DAG, ${\mathcal{G}}$, se existe uma aresta de $V_{1}$ a $V_{2}$, isto é, $(V_{1},V_{2})\in{\mathcal{E}}$. Denotamos por $Pa(V)$ o conjunto de todos os pais de $V$. Similarmente $Pa({\mathbb{V}})$ é o conjunto de vértices que são pais de algum vértice em ${\mathbb{V}}$:

Similarmente, dizemos que $V_{1}$ é um ancestral de $V_{2}$ em um DAG, se $V_{1}$ antecede $V_{2}$ causalmente. Isto é, se $V_{1}$ é pai de $V_{2}$ ou, pai de pai de $V_{2}$, ou pai de pai de pai de $V_{2}$, e assim por diante $\ldots$ Denotamos por $Anc({\mathbb{V}})$ o conjunto de todos os ancestrais de elementos de ${\mathbb{V}}$:

Note que podemos interpretar $Anc({\mathbb{V}})$ como o conjunto de todas as causas diretas e indiretas de ${\mathbb{V}}$.

Finalmente, diremos que um conjunto de vértices, ${\mathcal{A}}\subseteq{\mathcal{V}}$ é ancestral em um DAG, se não existe algum vértice fora de ${\mathcal{A}}$ que seja pai de algum vértice em ${\mathcal{A}}$. Segundo nossa interpretação causal, ${\mathcal{A}}$ será ancestral quando nenhum vértice fora de ${\mathcal{A}}$ é causa direta de algum vértice em ${\mathcal{A}}$:

Um modelo probabilístico em um DAG é tal que cada um dos vértices é uma variável aleatória. O DAG será usado para descrever relações de independência condicional existentes entre estas variáveis. Mais especificamente, cada vértice será independente dos demais vértices dados os seus pais. Uma maneira alternativa de pensar sobre esta afirmação é imaginar que cada vértice é gerado somente pelos seus pais. Esta intuição é formalizada em Definição 2.11:

Quando ${\mathcal{V}}$ tem muitos elementos, pode ser difícil verificar se a Definição 2.11 está satisfeita Para esses casos, pode ser útil aplicar o Lema 2.14:

Se ${\mathcal{A}}$ é ancestral em um DAG, então $f({\mathcal{A}})$ pode ser decomposto de forma similar a $f({\mathcal{V}})$. Este fato será útil e é formalizado no Lema 2.17.

A seguir, estudaremos três tipos fundamentais de modelos probabilísticos em DAG’s com $3$ vértices. A intuição obtida a partir destes exemplos continuará valendo quando estudarmos grafos mais gerais.

Nos exemplos a seguir, considere que ${\mathcal{V}}=(V_{1},V_{2},V_{3})$.

Com base nos conceitos abordados anteriormente, finalmente podemos definir o Modelo Causal (CM ):

Note pela Definição 2.24 que um CM é formalmente um modelo probabilístico em um DAG. O principal atributo de um CM que o diferencia de um modelo probabilístico genérico em um DAG é como o interpretamos. Existe uma aresta de $V_{1}$ em $V_{2}$ em um CM se e somente se $V_{1}$ é uma causa direta de $V_{2}$.

Dentre os modelos causais, é de particular interesse o modelo linear Gaussiano.

O modelo causal linear Gaussiano tem algumas propriedades especiais, que tornam mais simples suas compreensão. Algumas destas são apresentadas abaixo:

No próximo capítulo estudaremos consequências desta interpretação causal. Contudo, antes disso, a próxima seção desenvolverá um resultado fundamental de modelos probabilísticos em DAGs que será fundamental nos capítulos posteriores.