7 Do-calculus

O do calculus consiste em um conjunto de regras para alterar densidade envolvend o operador “do”. Por exemplo, o do calculus explica como remover o operador do, trocá-lo pelo condicionamento simples, ou remover algum condicionamento simples. Para apresentar o do calculus, é necessário primeiramente definir algumas modificações sobre o grafo causal.

Definição 3.47.

Seja $({\mathcal{G}},f)$ um CM tal que ${\mathcal{G}}=({\mathcal{V}},{\mathcal{E}})$ :

	$\displaystyle{\mathcal{G}}(\bar{{\mathbb{V}}})$	$\displaystyle:=({\mathcal{V}},\{E\in{\mathcal{E}}:E_{2}\notin{\mathbb{V}}\})$
	$\displaystyle{\mathcal{G}}(\bar{{\mathbb{V}}}_{1},\underline{{\mathbb{V}}}_{2})$	$\displaystyle:=({\mathcal{V}},\{E\in{\mathcal{E}}:E_{2}\notin{\mathbb{V}}_{1}% \text{ e }E_{1}\notin{\mathbb{V}}_{2}\})$
	$\displaystyle{\mathcal{G}}(\bar{{\mathbb{V}}}_{1},{\mathbb{V}}_{2}^{+})$	$\displaystyle=({\mathcal{V}}\cup\{I_{V}:V\in{\mathbb{V}}_{2}\},\{E\in{\mathcal% {E}}:E_{2}\notin{\mathbb{V}}_{1}\}\cup\{(I_{V},V):V\in{\mathbb{V}}_{2}\})$

Isto é, ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbb{V}}})$ é o grafo obtido retirando de ${\mathcal{G}}$ as arestas que apontam para ${\mathbb{V}}$ , ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbb{V}}}_{1},\underline{{\mathbb{V}}}_{2})$ é o grafo obtido retirando de ${\mathcal{G}}$ todas as arestas que apontam para ${\mathbb{V}}_{1}$ ou que saem de ${\mathbb{V}}_{2}$ , e ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbb{V}}}_{1},{\mathbb{V}}_{2}^{+})$ é o grafo obtido adicionando a ${\mathcal{G}}$ um novo vértice $I_{V}$ e uma aresta $I_{V}\rightarrow V$ , para todo $V\in{\mathbb{V}}_{2}$ , e retirando todas as arestas que apontam para ${\mathbb{V}}_{1}$ .

Com base na Definição 3.47, é possível apresentar o do calculus:

Teorema 3.48.

Seja $({\mathcal{G}},f)$ um CM e ${\mathbf{X}}$ , ${\mathbf{Y}}$ , ${\mathbf{W}}$ e ${\mathbf{Z}}$ conjuntos de vértices disjuntos:

1.

Se ${\mathbf{Y}}\perp^{d}{\mathbf{Z}}|{\mathbf{X}}\cup{\mathbf{W}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}})$ , então $f({\mathbf{Y}}|do({\mathbf{X}}),{\mathbf{Z}},{\mathbf{W}})=f({\mathbf{Y}}|do({% \mathbf{X}}),{\mathbf{W}})$ .
2.

Se ${\mathbf{Y}}\perp^{d}{\mathbf{W}}|{\mathbf{Z}}\cup{\mathbf{X}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{X}}},\underline{{\mathbf{W}}})$ , então $f({\mathbf{Y}}|do({\mathbf{X}}),do({\mathbf{W}}),{\mathbf{Z}})=f({\mathbf{Y}}|% do({\mathbf{X}}),{\mathbf{W}},{\mathbf{Z}})$ .
3.

Se ${\mathbf{Y}}\perp^{d}I_{{\mathbf{X}}}|{\mathbf{Z}}\cup{\mathbf{W}}$ em ${\mathcal{G}}(\bar{{\mathbf{W}}},{\mathbf{X}}^{+})$ , então $f(Y|do({\mathbf{W}}),do({\mathbf{X}}),{\mathbf{Z}})=f(Y|do({\mathbf{W}}),{% \mathbf{Z}})$ .

O seguinte lema mostra como o do calculus generaliza certos aspectos do critério backdoor:

Lema 3.49.

$X$ satisfaz o item 2 do critério backdoor para medir o efeito causal de ${\mathbf{W}}$ em $Y$ se e somente se $Y\perp^{d}{\mathbf{W}}|X$ em ${\mathcal{G}}(\underline{{\mathbf{W}}})$ .

Utilizando o do calculus, é possível obter todas as relações de identificação que são válidas supondo apenas que $f$ é compatível com o grafo causal (Shpitser2006, Shpitser2008). Contudo, às vezes é razoável fazer mais suposições. Discutiremos este tipo de situação no próximo capítulo.

7.1 Exercícios

Exercício 3.50 (Glymour2016[p.48]).

Considere o modelo estrutural causal em figur 15.

(a)

Para cada um dos pares de variáveis a seguir, determine um conjunto de outras variáveis que as d-separa: $(Z_{1},W)$ , $(Z_{1},Z_{2})$ , $(Z_{1},Y)$ , $(Z_{3},W)$ , e $(X,Y)$ .
(b)

Para cada par de variáveis no item anterior, determine se elas são d-separadas dado todas as demais variáveis.
(c)

Determine conjuntos de variáveis que satisfazem, respectivamente, o critério backdoor e o critério frontdoor para estimar o efeito causal de $X$ em $Y$ .
(d)

Considere que para cada variável, $V$ , temos que $V\equiv\beta_{V}\cdot Pa(V)+\epsilon_{V}$ , onde os $\epsilon$ são i.i.d. e normais padrão e $\beta_{V}$ são vetores conhecidos. Isto é, a distribuição de cada variável é determinada através de uma regressão linear simples em seus pais. Determine $f(Y|do(X=x))$ utilizando a fórmula do ajuste nos $2$ casos abordados no item anterior.

Figura 15: Modelo estrutural causal do Exercício 3.50

Exercício 3.51.

Considere que ${\mathcal{G}}=({\mathcal{V}},{\mathcal{E}})$ é um grafo causal e ${\mathbf{X}},{\mathbf{W}},{\mathbf{Y}}\subseteq{\mathcal{V}}$ . Além disso, para todo caminho, $C=(C_{1},\ldots,C_{n})$ , com $C_{1}=X\in{\mathbf{X}}$ , $C_{n}=Y\in{\mathbf{Y}}$ , e com $X\rightarrow C_{2}$ , $C$ está bloqueado dado ${\mathbf{W}}$ . Prove que $f({\mathbf{y}}|do({\mathbf{X}}))=\int f({\mathbf{y}}|{\mathbf{w}})f({\mathbf{w% }}|do({\mathbf{X}}))d{\mathbf{w}}$ e ${\mathbb{E}}[Y|do({\mathbf{X}})]={\mathbb{E}}[{\mathbb{E}}[Y|{\mathbf{W}}]|do(% {\mathbf{X}})]$ .

Exercício 3.52.

Prove que se ${\mathbf{W}}$ satisfaz o critério frontdoor para medir o efeito causal de $X$ em $Y$ , então $f({\mathbf{W}}|do(X))=f({\mathbf{W}}|X)$ e $f(Y|do({\mathbf{W}}))=\int f(Y|{\mathbf{W}},X=x^{*})f(X=x^{*})dx^{*}$ .

Exercício 3.53.

Prove o Lema 3.49.