9 Variáveis Instrumentais

Há situações em que não nos sentimentos confortáveis com a suposição de que observamos todos os confundidores ou todos os mediadores de $X$ a $Y$. Nestes casos, não é possível justificar os métodos baseados nos critérios backdoor e frontdoor vistos na capítulo 3. Variáveis instrumentais são um modo de evitar esse tipo de suposição.

Intuitivamente, uma variável instrumental, $I$, tem todo o seu efeito causal sobre $Y$ mediado por $X$. Em outra palavras, a única forma em que $I$ tem efeito sobre $Y$ é na medida em que $I$ tem efeito sobre $X$ e, por sua vez, $X$ tem efeito sobre $Y$. Por exemplo, Angrist1990 estuda como participar da guerra do Vietnam, $X$, tem efeito sobre a renda de um indivíduo, $Y$. Para tal, o estudo considera os sorteios que foram realizados para determinar quem era recrutado para a guerra. O único efeito que o sorteio tem sobre a renda de um indivíduo é indireto, apenas na medida em que afeta a probabilidade de este indivíduo ir para a guerra.

Com base neste tipo de variável, sob certas circunstâncias é possível estimar o efeito causal de $X$ em $Y$. A ideia básica é a de que, fazendo intervenções em $I$, vemos mudanças tanto em $X$ quanto em $Y$. Como as mudanças em $Y$ devem-se apenas às mudanças que ocorreram em $X$, pode ser possível estimar o efeito causal de $X$ em $Y$.

Dada esta intuição, podemos definir formalmente uma variável instrumental. Para tal, iremos seguir de perto a abordagem em Angrist1996.

Apesar de as condições na Definição 4.22 terem sido utilizadas originalmente por Angrist1996, é possível reinterpretá-las utilizando o grafo causal. Já vimos no Lema 4.13 que a primeira condição é equivalente a dizer que $\emptyset$ satisfaz o critério backdoor para medir o efeito causal de $I$ em $Y$. Isto é, $I$ e $Y$ não tem ascendentes em comum no grafo causal. Além disso, a segunda condição é equivalente a afirmar que no grafo causal todo caminho direcionado de $I$ a $Y$ passa por $X$. Isto é, $X$ é o mediador do efeito causal de $I$ em $Y$. Este resultado é apresentado no Lema 4.23.

Sob algumas circunstâncias, a existência de um instrumento é suficiente para que seja possível identificar o efeito causal. Uma suposição usual é de que estamos analisando um CM linear Gaussiano (Definição 2.25).

Caso o modelo causal não seja linear Gaussiano, então mais suposições são necessárias para identificar o efeito causal com base em um instrumento, Uma suposição usual é a de monotonicidade do instrumento. Segundo esta, ao aumentar o valor do instrumento por uma intervenção, o valor de $X$ necessariamente irá aumentar

O Instrumento monotônico foi originalmente contextualizado em uma aplicação a alistados na Guerra do Vietnam Angrist1990. Pode-se imaginar que a população é dividida em $4$ grupos. Pessoas que sempre iriam à guerra (always-taker), que nunca iriam à guerra (never-taker), que iriam à guerra somente se alistados (compliers), e que iriam à guerra somente se não alistados (defiers). Neste caso, o alistamento ser um instrumento monotônico corresponde a afirmar que não existem pessoas no último grupo.

Quando o instrumento é monotônico e $X$ e $I$ são binários, é possível identificar o efeito causal de $X$ em $Y$ em uma sub-população. Especificamente, é possível identificar o efeito de $X$ em $Y$ na sub-população em que o resultado potencial de $X$ é diferente para cada intervenção em $I$. No exemplo da Guerra do Vietnam, esta é a sub-população dos compliers, isto é, indivíduos que iriam à guerra somente se alistados. A definição de Local Average Treatment Effect (LATE) é formalizada abaixo:

O Teorema 4.27 mostra como identificar o LATE por meio de um instrumento monotônico.