Exercícios para o Capítulo 5

Seja $\mathcal{C}$ uma classe de conjuntos tal que $\emptyset\in\mathcal{C}$ e seja dada uma função $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ tal que, se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos dois a dois disjuntos de $\mathcal{C}$ tal que $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ também está em $\mathcal{C}$, então a igualdade (5.1.2) é satisfeita. Mostre que se $\mu(\emptyset)\neq 0$ então $\mu(A)=+\infty$, para todo $A\in\mathcal{C}$.

Considere a classe de conjuntos:

e defina $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ fazendo:

Mostre que $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$, para todos $A,B\in\mathcal{C}$ tais que $A\cap B=\emptyset$ e $A\cup B\in\mathcal{C}$. No entanto, observe que $\mu$ não é uma medida finitamente aditiva em $\mathcal{C}$.

Seja $X$ um conjunto e $\mathcal{R}\subset\wp(X)$ uma coleção de partes de $X$. Mostre que $\mathcal{R}$ é uma álgebra (resp., uma $\sigma$-álgebra) de partes de $X$ se e somente se $\mathcal{R}$ é um anel (resp., um $\sigma$-anel) tal que $X\in\mathcal{R}$.

Seja $X$ um conjunto e $\mathcal{S}\subset\wp(X)$ uma coleção de partes de $X$. Dizemos que $\mathcal{S}$ é uma semi-álgebra de partes de $X$ se $\mathcal{S}$ é um semi-anel e se $X\in\mathcal{S}$. Mostre que $\mathcal{S}\subset\wp(X)$ é uma semi-álgebra de partes de $X$ se e somente se as seguintes condições são satisfeitas:

• (a)
  ​

  $A\cap B\in\mathcal{S}$, para todos $A,B\in\mathcal{S}$;

• (b)
  ​

  se $A\in\mathcal{S}$ então existem $k\geq 1$ e conjuntos $C_{1},\ldots,C_{k}\in\mathcal{S}$, dois a dois disjuntos, de modo que $A^{\mathrm{c}}=X\setminus A=\bigcup_{i=1}^{k}C_{i}$;

• (c)
  ​

  $X\in\mathcal{S}$.

Se $X$ é um conjunto finito com mais de um elemento e se $\mathcal{S}\subset\wp(X)$ é definido por:

mostre que $\mathcal{S}$ é uma classe não vazia de subconjuntos de $X$ satisfazendo as condições (a) e (b), mas que $\mathcal{S}$ não é uma semi-álgebra de partes de $X$.

Sejam $\mathcal{A}$ um anel e $A$, $B$ conjuntos. Mostre que se $A\in\mathcal{A}$ e $A\bigtriangleup B\in\mathcal{A}$ então também $B\in\mathcal{A}$.

Seja $X$ um conjunto arbitrário.

• (a)
  ​

  Se $(\mathcal{A}_{i})_{i\in I}$ é uma família não vazia de álgebras de partes de $X$, mostre que $\mathcal{A}=\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_{i}$ também é uma álgebra de partes de $X$.

• (b)
  ​

  Mostre que, fixada uma coleção $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ de partes de $X$, existe no máximo uma álgebra $\mathcal{A}$ de partes de $X$ satisfazendo as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 5.1.18.

• (c)
  ​

  Dada uma coleção arbitrária $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ de partes de $X$, mostre que a interseção de todas as álgebras de partes de $X$ que contém $\mathcal{C}$ é uma álgebra de partes de $X$ que satisfaz as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 5.1.18 (note que sempre existe ao menos uma álgebra de partes de $X$ contendo $\mathcal{C}$, a saber, $\wp(X)$).

• (a)
  ​

  Se $(\mathcal{R}_{i})_{i\in I}$ é uma família não vazia de anéis (resp., de $\sigma$-anéis), mostre que $\mathcal{R}=\bigcap_{i\in I}\mathcal{R}_{i}$ também é um anel (resp., $\sigma$-anel).

• (b)
  ​

  Mostre que, fixada uma classe de conjuntos $\mathcal{C}$, existe no máximo um anel (resp., $\sigma$-anel) $\mathcal{R}$ satisfazendo as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 5.1.19.

• (c)
  ​

  Seja $\mathcal{C}$ uma classe de conjuntos arbitrária e seja $X$ um conjunto tal que $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ (por exemplo, tome $X=\bigcup_{A\in\mathcal{C}}A$). Mostre que a interseção de todos os anéis (resp., $\sigma$-anéis) $\mathcal{R}\subset\wp(X)$ que contém $\mathcal{C}$ é um anel (resp., $\sigma$-anel) que satisfaz as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 5.1.19 (note que sempre existe ao menos um anel (resp., $\sigma$-anel) $\mathcal{R}\subset\wp(X)$ contendo $\mathcal{C}$, a saber, $\wp(X)$).

Sejam $X$ um conjunto e $\mathcal{C}$ uma coleção de subconjuntos de $X$. Mostre que o anel (resp., o $\sigma$-anel) gerado por $\mathcal{C}$ coincide com a álgebra (resp., a $\sigma$-álgebra) de partes de $X$ gerada por $\mathcal{C}$ se e somente se $X$ pertence ao anel (resp., ao $\sigma$-anel) gerado por $\mathcal{C}$ (esse é o caso, por exemplo, se $X\in\mathcal{C}$).

Mostre que o $\sigma$-anel gerado pelo semi-anel $\mathcal{S}$ constituído pelos intervalos da forma $\left]a,b\right]$, $a,b\in\mathds{R}$ (veja (5.1.5)) coincide com a $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathds{R}$.

Sejam:

• (a)
  ​

  Mostre que $\mathcal{S}_{1}$ e $\mathcal{S}_{2}$ são semi-anéis, mas $\mathcal{S}_{1}\cap\mathcal{S}_{2}$ não é um semi-anel.

• (b)
  ​

  Seja $\mathcal{C}=\mathcal{S}_{1}\cap\mathcal{S}_{2}$. Mostre que não existe um semi-anel $\mathcal{S}$ contendo $\mathcal{C}$ tal que $\mathcal{S}\subset\mathcal{S}^{\prime}$ para todo semi-anel $\mathcal{S}^{\prime}$ contendo $\mathcal{C}$.

Dados conjuntos $A$, $B$ e $C$, mostre que:

Seja $\mu:\mathcal{S}\to[0,+\infty]$ uma medida finitamente aditiva num semi-anel $\mathcal{S}$ e sejam $A,B\in\mathcal{S}$ com $A\bigtriangleup B\in\mathcal{S}$. Se $\mu(A)<+\infty$ ou $\mu(B)<+\infty$, mostre que:

Conclua que se $\mu(A\bigtriangleup B)<+\infty$ então $\mu(A)$ é finito se e somente se $\mu(B)$ é finito.

Seja $(I,<)$ um conjunto totalmente ordenado não vazio.

• (a)
  ​

  Mostre que a classe de conjuntos:

  $$\mathcal{S}=\big{\{}\left]a,b\right]:a,b\in I,\ a\leq b\big{\}}$$

  é um semi-anel.

• (b)
  ​

  Dados $a,b\in I$ com $a\leq b$, mostre que $\left]a,b\right]=\emptyset$ se e somente se $a=b$.

• (c)
  ​

  Dados $a,b,a^{\prime},b^{\prime}\in I$ com $a<b$, $a^{\prime}<b^{\prime}$, mostre que $\left]a,b\right]=\left]a^{\prime},b^{\prime}\right]$ se e somente se $a=a^{\prime}$ e $b=b^{\prime}$.

Seja $(I,<)$ um conjunto totalmente ordenado não vazio e seja $\mathcal{S}$ o semi-anel definido no enunciado do Exercício 5.13.

• (a)
  ​

  Seja $F:I\to\mathds{R}$ uma função crescente e defina $\mu_{F}:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ fazendo:

  $$\mu_{F}\big{(}\left]a,b\right]\big{)}=F(b)-F(a),$$

  para todos $a,b\in I$ com $a\leq b$. Mostre que $\mu_{F}$ é uma medida finitamente aditiva finita em $\mathcal{S}$.

• (b)
  ​

  Se $\mu:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ é uma medida finitamente aditiva finita em $\mathcal{S}$, mostre que existe uma função crescente $F:I\to\mathds{R}$ tal que $\mu=\mu_{F}$.

• (c)
  ​

  Dadas funções crescentes $F:I\to\mathds{R}$, $G:I\to\mathds{R}$, mostre que $\mu_{F}=\mu_{G}$ se e somente se a função $F-G$ é constante.

Seja:

e defina $\mu:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ fazendo:

para todos $a,b\in\mathds{Q}$ com $a\leq b$. Pelo resultado do Exercício 5.13, $\mathcal{S}$ é um semi-anel e pelo resultado do Exercício 5.14, $\mu$ é uma medida finitamente aditiva finita em $\mathcal{S}$ (note que $\mu=\mu_{F}$, onde $F:\mathds{Q}\to\mathds{R}$ é a aplicação inclusão).

• (a)
  ​

  Dados $A\in\mathcal{S}$ e $\varepsilon>0$, mostre que existe uma seqüência $(A_{n})_{n\geq 1}$ em $\mathcal{S}$ tal que $A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})\leq\varepsilon$.

• (b)
  ​

  Conclua que $\mu$ não é uma medida $\sigma$-aditiva.

Seja $X$ um espaço topológico Hausdorff e seja $\mathcal{C}$ uma classe arbitrária de subconjuntos compactos de $X$. Mostre que $\mathcal{C}$ é uma classe compacta.

• (a)
  ​

  Se $(\mathcal{E}_{i})_{i\in I}$ é uma família não vazia de classes monotônicas (resp., de classes $\sigma$-aditivas), mostre que $\mathcal{E}=\bigcap_{i\in I}\mathcal{E}_{i}$ também é uma classe monotônica (resp., uma classe $\sigma$-aditiva).

• (b)
  ​

  Mostre que, fixada uma classe de conjuntos $\mathcal{C}$, existe no máximo uma classe monotônica (resp., classe $\sigma$-aditiva) $\mathcal{E}$ satisfazendo as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 5.2.3.

• (c)
  ​

  Seja $\mathcal{C}$ uma classe de conjuntos arbitrária e seja $X$ um conjunto tal que $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ (por exemplo, tome $X=\bigcup_{A\in\mathcal{C}}A$). Mostre que a interseção de todas as classes monotônicas (resp., classes $\sigma$-aditivas) $\mathcal{E}\subset\wp(X)$ que contém $\mathcal{C}$ é uma classe monotônica (resp., classe $\sigma$-aditiva) que satisfaz as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 5.2.3 (note que sempre existe ao menos uma classe monotônica (resp., classe $\sigma$-aditiva) $\mathcal{E}\subset\wp(X)$ contendo $\mathcal{C}$, a saber, $\wp(X)$).

Sejam $X$ um conjunto e $\mathcal{A}$ um anel (resp., um $\sigma$-anel). Mostre que $\mathcal{A}|_{X}$ é também um anel (resp., um $\sigma$-anel).

Seja $\mu:\mathcal{S}\to[0,+\infty]$ uma medida $\sigma$-finita num semi-anel $\mathcal{S}$. Mostre que para todo $X\in\mathcal{S}$, a medida $\mu|_{\mathcal{S}|_{X}}$ também é $\sigma$-finita.

Seja $\mathcal{C}$ uma classe de conjuntos não vazia. Mostre que a coleção de conjuntos:

é um $\sigma$-anel que contém $\mathcal{C}$. Conclua que todo elemento do $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{C}$ está contido numa união enumerável de elementos de $\mathcal{C}$.

Sejam $X$ um conjunto e $\mathcal{C}$ uma coleção de subconjuntos de $X$. Mostre que $X$ pertence ao $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{C}$ se e somente se $X$ é igual a uma união enumerável de elementos de $\mathcal{C}$.

Seja:

e considere a medida $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ definida por:

para todo $n\in\mathds{N}$ (veja Exemplo 5.1.4). Se $\mu^{*}:\wp(\mathds{N})\to[0,+\infty]$ é a medida exterior determinada por $\mu$, mostre que $\mu^{*}(A)=0$, para todo $A\subset\mathds{N}$. Conclua que a desigualdade estrita ocorre em (5.3.13), para todo $A\in\mathcal{C}$ não vazio.

Sejam $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ classes de conjuntos com $\emptyset\in\mathcal{C}$, $\emptyset\in\mathcal{D}$ e sejam $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$, $\nu:\mathcal{D}\to[0,+\infty]$ funções tais que $\mu(\emptyset)=0$ e $\nu(\emptyset)=0$. Suponha que $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ geram o mesmo $\sigma$-anel hereditário $\mathcal{H}$. Sejam $\mu^{*}:\mathcal{H}\to[0,+\infty]$ e $\nu^{*}:\mathcal{H}\to[0,+\infty]$ as medidas exteriores determinadas respectivamente pelas funções $\mu$ e $\nu$. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:

• (a)
  ​

  $\mu^{*}=\nu^{*}$;

• (b)
  ​

  para todo $A\in\mathcal{D}$, temos $\mu^{*}(A)\leq\nu(A)$ e para todo $A\in\mathcal{C}$, temos $\nu^{*}(A)\leq\mu(A)$.

Sejam $\mathcal{S}$ e $\mu$ definidos como no Exemplo 5.3.17. Mostre que a medida exterior $\mu^{*}:\wp(\mathds{R})\to[0,+\infty]$ determinada por $\mu$ coincide com a medida exterior de Lebesgue.

Seja $\mathcal{C}$ a classe de conjuntos definida no Exemplo 5.1.4 e seja $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ a medida definida por:

para todo $n\in\mathds{N}$. Seja $\mu^{*}:\wp(\mathds{N})\to[0,+\infty]$ a medida exterior determinada por $\mu$. Mostre que:

• (a)
  ​

  $\mu^{*}(A)=1$, se $A\subset\mathds{N}$ é finito não vazio e $\mu^{*}(A)=2$, se $A\subset\mathds{N}$ é infinito;

• (b)
  ​

  os únicos conjuntos $\mu^{*}$-mensuráveis são o vazio e $\mathds{N}$;

• (c)
  ​

  $\mu^{*}$ não possui a propriedade do envelope mensurável.

Seja $\mu^{*}:\mathcal{H}\to[0,+\infty]$ uma medida exterior num $\sigma$-anel hereditário $\mathcal{H}$. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:

• (a)
  ​

  existe um semi-anel $\mathcal{S}$ e uma medida $\mu:\mathcal{S}\to[0,+\infty]$ tal que $\mathcal{H}$ é o $\sigma$-anel hereditário gerado por $\mathcal{S}$ e $\mu^{*}$ é a medida exterior determinada por $\mu$;

• (b)
  ​

  $\mu^{*}$ possui a propriedade do envelope mensurável;

• (c)
  ​

  $\mathcal{H}$ é o $\sigma$-anel hereditário gerado por $\mathfrak{M}$ e $\mu^{*}$ é a medida exterior determinada pela medida $\mu^{*}|_{\mathfrak{M}}$, onde $\mathfrak{M}$ denota o $\sigma$-anel de conjuntos $\mu^{*}$-mensuráveis.

Seja $\mu^{*}:\mathcal{H}\to[0,+\infty]$ uma medida exterior num $\sigma$-anel hereditário $\mathcal{H}$; suponha que $\mu^{*}$ possui a propriedade do envelope mensurável. Se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência em $\mathcal{H}$ com $A_{k}\nearrow A$, mostre que $\mu^{*}(A)=\lim_{k\to\infty}\mu^{*}(A_{k})$.

Seja $\mu^{*}:\mathcal{H}\to[0,+\infty]$ uma medida exterior num $\sigma$-anel hereditário $\mathcal{H}$ e seja $\mu_{*}:\mathcal{H}\to[0,+\infty]$ a medida interior determinada por $\mu_{*}$. Mostre que:

• (a)
  ​

  para todo $A\in\mathcal{H}$ temos $\mu_{*}(A)\leq\mu^{*}(A)$;

• (b)
  ​

  para todo $A\in\mathcal{H}$ existe um conjunto $\mu^{*}$-mensurável $E$ contido em $A$ tal que $\mu^{*}(E)=\mu_{*}(A)$;

• (c)
  ​

  $\mu_{*}(A)=\mu^{*}(A)$, para todo conjunto $\mu_{*}$-mensurável $A$;

• (d)
  ​

  dados $A,B\in\mathcal{H}$ com $A\subset B$ então $\mu_{*}(A)\leq\mu_{*}(B)$;

• (e)
  ​

  dada uma seqüência $(A_{k})_{k\geq 1}$ de elementos dois a dois disjuntos de $\mathcal{H}$ então:

  $$\mu_{*}\Big{(}\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\Big{)}\geq\sum_{k=1}^{\infty}\mu_{*}(A_{k});$$
• (f)
  ​

  se $\mu^{*}$ possui a propriedade do envelope mensurável e se $A\in\mathcal{H}$ é tal que $\mu_{*}(A)=\mu^{*}(A)<+\infty$ então $A$ é $\mu^{*}$-mensurável.

Sejam $\mu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ uma medida num $\sigma$-anel $\mathcal{A}$, $\bar{\mu}:\overline{\mathcal{A}}\to[0,+\infty]$ o completamento de $\mu$ e $\mu^{\prime}:\mathcal{A}^{\prime}\to[0,+\infty]$ uma medida tal que $\mathcal{A}\subset\mathcal{A}^{\prime}\subset\overline{\mathcal{A}}$ e $\mu^{\prime}|_{\mathcal{A}}=\mu$. Mostre que:

• •
  ​

  $\bar{\mu}$ é uma extensão de $\mu^{\prime}$;

• •
  ​

  $\bar{\mu}$ é o completamento de $\mu^{\prime}$.

Seja $\mu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ uma medida num $\sigma$-anel $\mathcal{A}$ e seja $\bar{\mu}:\overline{\mathcal{A}}\to[0,+\infty]$ o completamento de $\mu$. Mostre que $\mu$ é $\sigma$-finita se e somente se $\bar{\mu}$ é $\sigma$-finita.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ um espaço mensurável. Suponha que $\mu$ é completa. Seja $Y$ um subconjunto mensurável de $X$ com $\mu(X\setminus Y)=0$ e seja $f:X\to X^{\prime}$ uma função. Mostre que $f$ é mensurável se e somente se $f|_{Y}$ é mensurável.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ um espaço mensurável. Suponha que $\mu$ é completa. Dadas funções $f:X\to X^{\prime}$, $g:X\to X^{\prime}$ tais que $f(x)=g(x)$ para quase todo $x\in X$, mostre que $f$ é mensurável se e somente se $g$ é mensurável.

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, com $\mu$ completa e seja $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função. Se $(f_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de funções mensuráveis $f_{k}:X\to\overline{\mathds{R}}$ e se $f_{k}\to f$ q. s., mostre que $f$ também é mensurável.

Seja $\mathcal{A}$ uma $\sigma$-álgebra separável de partes de um conjunto $X$ e seja $Y$ um subconjunto de $X$. Mostre que a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}|_{Y}$ também é separável.

Seja $X$ um conjunto. Um subconjunto $A$ de $X$ é dito coenumerável se o complementar de $A$ em $X$ é enumerável. Seja $\mathcal{A}\subset\wp(X)$ a coleção constituída pelos subconjuntos enumeráveis de $X$ e pelos subconjuntos coenumeráveis de $X$.

• (a)
  ​

  Mostre que $\mathcal{A}$ é uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$.

• (b)
  ​

  Se $X$ é não enumerável, mostre que $\mathcal{A}$ não é separável.

• (c)
  ​

  Dê exemplo de um conjunto $X$ e de $\sigma$-álgebras $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ de partes de $X$ com $\mathcal{A}\subset\mathcal{B}$, de modo que $\mathcal{B}$ seja separável mas $\mathcal{A}$ não seja.

Mostre que a $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathds{R}^{n}$ e a $\sigma$-álgebra de Borel da reta estendida são ambas separáveis.

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e seja $(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ um espaço mensurável; denote por $\bar{\mu}:\overline{\mathcal{A}}\to[0,+\infty]$ o completamento da medida $\mu$. Suponha que a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}^{\prime}$ é separável. Dada uma função mensurável $f:(X,\overline{\mathcal{A}})\to(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$, mostre que:

• (a)
  ​

  existe um conjunto mensurável $Y\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(X\setminus Y)=0$ e tal que a função $f|_{Y}:(Y,\mathcal{A}|_{Y})\to(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ é mensurável;

• (b)
  ​

  existe uma função mensurável $g:(X,\mathcal{A})\to(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ que é igual a $f$ quase sempre, i.e., existe $Y\in\mathcal{A}$ tal que $f|_{Y}=g|_{Y}$ e tal que $\mu(X\setminus Y)=0$.