5.1. Medidas em Classes de Conjuntos

Recorde da Definição 1.4.42 que um espaço de medida consiste de um conjunto $X$ , de uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{A}$ de partes de $X$ e de uma medida $\mu$ definida nessa $\sigma$ -álgebra. Uma $\sigma$ -álgebra de partes de $X$ é uma coleção de subconjuntos de $X$ que inclui o próprio conjunto $X$ e que é fechada por todas as operações conjuntistas, desde que realizadas apenas uma quantidade enumerável de vezes (veja Definição 1.4.32 e Observação 1.4.33). Espaços de medida são ambientes confortáveis para o desenvolvimento de uma teoria de integração (veja Capítulo 2) justamente porque a classe dos conjuntos mensuráveis (i.e., a $\sigma$ -álgebra) é fechada pelas várias operações conjuntistas que precisamos fazer durante o desenvolvimento da teoria. Em contra-partida, $\sigma$ -álgebras são muitas vezes classes de conjuntos um tanto complexas e não é sempre fácil construir exemplos não triviais de medidas definidas em $\sigma$ -álgebras (considere, por exemplo, o trabalho que tivemos na Seção 1.4 para construir a medida de Lebesgue). Nosso objetivo agora é o de mostrar como construir uma medida numa $\sigma$ -álgebra a partir de uma medida definida a priori apenas em uma classe de conjuntos mais simples. Começamos então definindo a noção de medida em uma classe de conjuntos arbitrária.

5.1.1 Definição.

Seja $\mathcal{C}$ uma classe¹¹ 1 Neste texto, as palavras “classe” e “conjunto” têm exatamente o mesmo significado. Observamos que em textos de teoria dos conjuntos e lógica, quando teorias axiomáticas como NBG e KM (vide [1]) são expostas, as palavras “classe” e “conjunto” têm significados diferentes (a saber: uma classe $X$ é um conjunto quando existe uma classe $Y$ tal que $X\in Y$ ). de conjuntos tal que o conjunto vazio $\emptyset$ pertence a $\mathcal{C}$ . Uma medida finitamente aditiva em $\mathcal{C}$ é uma função $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ tal que $\mu(\emptyset)=0$ e tal que, se $(A_{k})_{k=1}^{t}$ é uma seqüência finita de elementos dois a dois disjuntos de $\mathcal{C}$ tal que $\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}$ também está em $\mathcal{C}$ , então:

\mu\Big{(}\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}\Big{)}=\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k}).

(5.1.1)

Uma medida em $\mathcal{C}$ é uma função $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ tal que $\mu(\emptyset)=0$ e tal que, se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos dois a dois disjuntos de $\mathcal{C}$ tal que $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ também está em $\mathcal{C}$ , então:

\mu\Big{(}\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\Big{)}=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{k}).

(5.1.2)

Claramente toda medida é também uma medida finitamente aditiva; basta tomar $A_{k}=\emptyset$ para todo $k>t$ em (5.1.2).

Observe que uma medida finitamente aditiva pode em geral não ser uma medida. A expressão “finitamente aditiva” não deve ser encarada como um adjetivo que está sendo acrescido à palavra “medida”; deve-se pensar na expressão “medida finitamente aditiva” como sendo um substantivo. Para evitar mal-entendidos, usaremos muitas vezes a expressão medida $\sigma$ -aditiva como sendo um sinônimo de “medida”, quando queremos enfatizar que não estamos falando apenas de uma medida finitamente aditiva.

5.1.2 Observação.

Alguns comentários de natureza conjuntista: para $t=0$ , a igualdade (5.1.1) é equivalente a $\mu(\emptyset)=0$ , de modo que a condição $\mu(\emptyset)=0$ na definição de medida finitamente aditiva é redundante se admitirmos $t=0$ em (5.1.1). A condição (5.1.2), no entanto, não implica $\mu(\emptyset)=0$ pois essa condição é consistente com $\mu(A)=+\infty$ , para todo $A\in\mathcal{C}$ (veja Exercício 5.1).

Note que se $\mathcal{C}$ é uma classe de conjuntos arbitrária então sempre existe um conjunto $X$ tal que $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ , isto é, tal que todo elemento de $\mathcal{C}$ é um subconjunto de $X$ . De fato, basta tomar $X=\bigcup_{A\in\mathcal{C}}A$ .

5.1.3 Observação.

A expressão “classe de conjuntos” usada na Definição 5.1.1 é redundante se entendemos que a teoria dos conjuntos usada no texto está fundamentada por uma teoria axiomática como ZFC, já que em ZFC todo objeto é um conjunto e portanto todo conjunto $\mathcal{C}$ é também um conjunto de conjuntos. Na prática, no entanto, alguns objetos (como números naturais ou números reais) não são costumeiramente pensados como conjuntos e por questões didáticas consideramos que seja mais claro na Definição 5.1.1 (e em outras situações similares) enfatizar que $\mathcal{C}$ é uma classe de conjuntos.

Muito pouco pode-se provar sobre medidas em classes de conjuntos arbitrárias $\mathcal{C}$ (com $\emptyset\in\mathcal{C}$ ), pois é bem possível que, a menos de situações triviais, não existam seqüências de elementos dois a dois disjuntos de $\mathcal{C}$ cuja união está em $\mathcal{C}$ . Em particular, a tese dos Lemas 1.4.46 e 1.4.48 não são em geral satisfeitas para medidas $\mu$ em classes de conjuntos arbitrárias, como ilustra o seguinte exemplo.

5.1.4 Exemplo.

Seja $\mathds{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ o conjunto dos números naturais e considere a classe de conjuntos $\mathcal{C}$ definida por:

\mathcal{C}=\{\emptyset,\mathds{N}\}\cup\big{\{}\{0,1,\ldots,n\}:n\in\mathds{N% }\big{\}}.

Dados $A,B\in\mathcal{C}$ , se $A\cap B=\emptyset$ então necessariamente $A=\emptyset$ ou $B=\emptyset$ . Segue que qualquer função $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ com $\mu(\emptyset)=0$ é uma medida em $\mathcal{C}$ . É fácil exibir então medidas em $\mathcal{C}$ para as quais as teses dos Lemas 1.4.46 e 1.4.48 não são satisfeitas.

5.1.5 Observação.

Seja $\mathcal{C}$ uma classe de conjuntos com $\emptyset\in\mathcal{C}$ e seja $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ uma função tal que $\mu(\emptyset)=0$ . Para verificar que $\mu$ é uma medida finitamente aditiva em $\mathcal{C}$ , não é suficiente verificar que:

\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B),

(5.1.3)

para todos $A,B\in\mathcal{C}$ com $A\cap B=\emptyset$ e $A\cup B\in\mathcal{C}$ (veja Exercício 5.2). No entanto, se a classe $\mathcal{C}$ é fechada por uniões finitas (i.e., se $A\cup B\in\mathcal{C}$ , para todos $A,B\in\mathcal{C}$ ) então evidentemente $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ é uma medida finitamente aditiva se e somente se $\mu(\emptyset)=0$ e (5.1.3) é satisfeita, para todos $A,B\in\mathcal{C}$ com $A\cap B=\emptyset$ e $A\cup B\in\mathcal{C}$ .

Se a classe de conjuntos $\mathcal{C}$ onde a medida $\mu$ está definida é fechada por diferenças então as patologias observadas no Exemplo 5.1.4 não ocorrem. Esse é o conteúdo do seguinte:

5.1.6 Lema.

Seja $\mathcal{C}$ uma classe de conjuntos tal que $\emptyset\in\mathcal{C}$ e tal que $A_{2}\setminus A_{1}\in\mathcal{C}$ , para todos $A_{1},A_{2}\in\mathcal{C}$ tais que $A_{1}\subset A_{2}$ (diz-se nesse caso que a classe de conjuntos $\mathcal{C}$ é fechada por diferença própria). Temos que:

(a)

se $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ é uma medida finitamente aditiva então dados $A_{1},A_{2}\in\mathcal{C}$ com $A_{1}\subset A_{2}$ , temos $\mu(A_{1})\leq\mu(A_{2})$ ;
(b)

se $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ é uma medida finitamente aditiva então dados $A_{1},A_{2}\in\mathcal{C}$ com $A_{1}\subset A_{2}$ e $\mu(A_{1})<+\infty$ , temos:

$\mu(A_{2}\setminus A_{1})=\mu(A_{2})-\mu(A_{1});$
(c)

se $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ é uma medida $\sigma$ -aditiva e se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos de $\mathcal{C}$ tal que $A_{k}\nearrow A$ e $A\in\mathcal{C}$ então:

$\mu(A)=\lim_{k\to\infty}\mu(A_{k});$ (5.1.4)
(d)

se $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ é uma medida $\sigma$ -aditiva e se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos de $\mathcal{C}$ tal que $A_{k}\searrow A$ , $A\in\mathcal{C}$ e $\mu(A_{1})<+\infty$ então a igualdade (5.1.4) vale.

Suponha adicionalmente que $A_{2}\setminus A_{1}\in\mathcal{C}$ , para todos $A_{1},A_{2}\in\mathcal{C}$ . Então valem também:

(e)

se $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ é uma medida finitamente aditiva então dados $A,A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{C}$ com $A\subset\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}$ , temos:

$\mu(A)\leq\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k});$
(f)

se $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ é uma medida $\sigma$ -aditiva então dados $A\in\mathcal{C}$ e uma seqüência $(A_{k})_{k\geq 1}$ em $\mathcal{C}$ com $A\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ , temos:

$\mu(A)\leq\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{k}).$

Demonstração.

A demonstração dos itens (a), (b), (c) e (d) é idêntica à demonstração dos Lemas 1.4.46 e 1.4.48. Passemos à demonstração do item (e). Para cada $k=1,\ldots,t$ , seja $A^{\prime}_{k}=A_{k}\cap A$ , de modo que:

A=\bigcup_{k=1}^{t}A^{\prime}_{k}.

Observamos que $A^{\prime}_{k}\in\mathcal{C}$ , para todo $k$ ; de fato:

A^{\prime}_{k}=A_{k}\setminus(A_{k}\setminus A).

Agora sejam $B_{1}=A^{\prime}_{1}$ e $B_{k}=A^{\prime}_{k}\setminus(A^{\prime}_{1}\cup A^{\prime}_{2}\cup\ldots\cup A% ^{\prime}_{k-1})$ , para $k=2,\ldots,t$ ; note que:

B_{k}=\big{(}\cdots\big{(}(A^{\prime}_{k}\setminus A^{\prime}_{1})\setminus A^% {\prime}_{2}\big{)}\cdots\big{)}\setminus A^{\prime}_{k-1},\quad k=2,\ldots,t,

de modo que $B_{k}\in\mathcal{C}$ , para todo $k$ . Pelo resultado do Exercício 1.19, os conjuntos $B_{k}$ são dois a dois disjuntos²² 2 Na verdade, o Exercício 1.19 considera uma seqüência infinita de conjuntos, mas basta fazer $A^{\prime}_{k}=\emptyset$ , para todo $k>t$ . e:

A=\bigcup_{k=1}^{t}A^{\prime}_{k}=\bigcup_{k=1}^{t}B_{k}.

Daí, usando o fato que $\mu$ é finitamente aditiva e o resultado do item (a), obtemos:

\mu(A)=\sum_{k=1}^{t}\mu(B_{k})\leq\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k}),

já que $B_{k}\subset A^{\prime}_{k}\subset A_{k}$ , para todo $k=1,\ldots,t$ . Isso completa a demonstração do item (e). A demonstração do item (f) é totalmente análoga, basta trocar $t$ por $\infty$ no argumento acima. ∎

Temos pouco interesse em estudar medidas em classes de conjuntos totalmente arbitrárias. Vamos então introduzir algumas classes de conjuntos sobre as quais será interessante definir medidas. Recorde da Definição 1.4.32 (veja também Observação 1.4.33) que uma álgebra de partes de um conjunto $X$ é uma coleção de partes de $X$ que inclui o próprio $X$ e que é fechada por união finita e complementação. Embora durante o estudo da teoria de integração seja interessante assumir que o espaço $X$ subjacente a um espaço de medida $(X,\mathcal{A},\mu)$ seja um conjunto mensurável, quando desenvolvemos a teoria de construção de medidas é prático trabalhar também com medidas definidas em classes de conjuntos $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ que não incluem o espaço $X$ entre seus elementos. Temos então a seguinte:

5.1.7 Definição.

Seja $\mathcal{R}$ uma classe de conjuntos. Dizemos que $\mathcal{R}$ é um anel se $\mathcal{R}$ é não vazio e se as seguintes condições são satisfeitas:

(a)

$A\setminus B\in\mathcal{R}$ , para todos $A,B\in\mathcal{R}$ ;
(b)

$A\cup B\in\mathcal{R}$ , para todos $A,B\in\mathcal{R}$ .

Dizemos que $\mathcal{R}$ é um $\sigma$ -anel se $\mathcal{R}$ é não vazio, satisfaz a condição (a) acima e também a condição:

(b’)

$\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{R}$ , para toda seqüência $(A_{k})_{k\geq 1}$ de elementos de $\mathcal{R}$ .

Note que todo $\sigma$ -anel é também um anel. De fato, se $\mathcal{R}$ é um $\sigma$ -anel e se $A,B\in\mathcal{R}$ , podemos tomar $A_{1}=A$ e $A_{k}=B$ para todo $k\geq 2$ na condição (b’); daí $A\cup B=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{R}$ .

5.1.8 Observação.

Se $\mathcal{R}$ é um anel (em particular, se $\mathcal{R}$ é um $\sigma$ -anel) então o conjunto vazio $\emptyset$ é um elemento de $\mathcal{R}$ . De fato, como $\mathcal{R}$ é não vazio, existe um elemento $A\in\mathcal{R}$ ; daí $\emptyset=A\setminus A\in\mathcal{R}$ .

Se $X$ é um conjunto e $\mathcal{R}\subset\wp(X)$ é uma coleção de partes de $X$ então é fácil ver que $\mathcal{R}$ é uma álgebra (resp., uma $\sigma$ -álgebra) de partes de $X$ se e somente se $\mathcal{R}$ é um anel (resp., um $\sigma$ -anel) tal que $X\in\mathcal{R}$ (veja Exercício 5.3).

Temos o seguinte análogo do Lema 1.4.37 para anéis e $\sigma$ -anéis.

5.1.9 Lema.

Se $\mathcal{R}$ é um anel e se $A,B\in\mathcal{R}$ então $A\cap B\in\mathcal{R}$ . Além do mais, se $\mathcal{R}$ é um $\sigma$ -anel e se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos de $\mathcal{R}$ então $\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{R}$ .

Demonstração.

Seja $\mathcal{R}$ um anel e sejam $A,B\in\mathcal{R}$ . Então os conjuntos $A\cup B$ , $A\setminus B$ , $B\setminus A$ estão todos em $\mathcal{R}$ e portanto:

A\cap B=(A\cup B)\setminus[(A\setminus B)\cup(B\setminus A)]\in\mathcal{R}.

Suponha agora que $\mathcal{R}$ é um $\sigma$ -anel e seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de elementos de $\mathcal{R}$ . Então:

\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}=A_{1}\setminus\Big{(}\bigcup_{k=1}^{\infty}(A_{1}% \setminus A_{k})\Big{)},

e portanto $\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{R}$ . ∎

Infelizmente, a classe dos intervalos da reta real não é um anel, pois não é fechada por uniões finitas. Para incluir essa importante classe de conjuntos na nossa teoria, precisamos da seguinte:

5.1.10 Definição.

Seja $\mathcal{S}$ uma classe de conjuntos. Dizemos que $\mathcal{S}$ é um semi-anel se $\mathcal{S}$ é não vazio e se as seguintes condições são satisfeitas:

(a)

$A\cap B\in\mathcal{S}$ , para todos $A,B\in\mathcal{S}$ ;
(b)

se $A,B\in\mathcal{S}$ então existem $k\geq 1$ e conjuntos $C_{1},\ldots,C_{k}\in\mathcal{S}$ , dois a dois disjuntos, de modo que $A\setminus B=\bigcup_{i=1}^{k}C_{i}$ .

Segue diretamente do Lema 5.1.9 que todo anel é um semi-anel (note que se $A\setminus B\in\mathcal{S}$ então podemos tomar $k=1$ e $C_{1}=A\setminus B$ na condição (b)).

5.1.11 Observação.

Se $\mathcal{S}$ é um semi-anel então $\emptyset\in\mathcal{S}$ . De fato, como $\mathcal{S}$ é não vazio, existe um elemento $A\in\mathcal{S}$ ; daí existem $k\geq 1$ e conjuntos $C_{1},\ldots,C_{k}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos de modo que $\emptyset=A\setminus A=\bigcup_{i=1}^{k}C_{i}$ . Portanto $C_{i}=\emptyset$ , para todo $i=1,\ldots,k$ .

Um semi-anel de subconjuntos de um conjunto $X$ que possui o próprio $X$ como elemento é às vezes chamado uma semi-álgebra de partes de $X$ (veja Exercício 5.4). Nós não teremos nenhum uso para essa terminologia.

5.1.12 Exemplo.

O conjuntos de todos os intervalo da reta real (incluindo aí o vazio e os conjuntos unitários) é um semi-anel. De fato, a interseção de dois intervalos é sempre um intervalo e a diferença de dois intervalos é ou um intervalo ou uma união de dois intervalos disjuntos. Verifica-se facilmente também que a coleção:

\mathcal{S}=\big{\{}\left]a,b\right]:a,b\in\mathds{R},\ a\leq b\big{\}}\subset% \wp(\mathds{R})

(5.1.5)

é um semi-anel (note que $\left]a,b\right]=\emptyset$ para $a=b$ ).

5.1.13 Notação.

Dadas classes de conjuntos $\mathcal{C}_{1}$ e $\mathcal{C}_{2}$ nós escrevemos:

\mathcal{C}_{1}\boldsymbol{\times}\mathcal{C}_{2}=\big{\{}A_{1}\times A_{2}:A_% {1}\in\mathcal{C}_{1},\ A_{2}\in\mathcal{C}_{2}\big{\}}.

5.1.14 Lema.

Se $\mathcal{S}_{1}$ , $\mathcal{S}_{2}$ são semi-anéis então $\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times}\mathcal{S}_{2}$ também é um semi-anel.

Demonstração.

Obviamente $\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times}\mathcal{S}_{2}$ é não vazio, já que $\mathcal{S}_{1}$ e $\mathcal{S}_{2}$ são não vazios. Dados $A_{1},B_{1}\in\mathcal{S}_{1}$ e $A_{2},B_{2}\in\mathcal{S}_{2}$ então:

(A_{1}\times A_{2})\cap(B_{1}\times B_{2})=(A_{1}\cap B_{1})\times(A_{2}\cap B% _{2});

como $A_{1}\cap B_{1}\in\mathcal{S}_{1}$ , $A_{2}\cap B_{2}\in\mathcal{S}_{2}$ , segue que $(A_{1}\times A_{2})\cap(B_{1}\times B_{2})\in\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times% }\mathcal{S}_{2}$ . Temos também:

(A_{1}\times A_{2})\setminus(B_{1}\times B_{2})=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3},

onde:

	$\displaystyle U_{1}=(A_{1}\setminus B_{1})\times(A_{2}\cap B_{2}),\quad U_{2}=% (A_{1}\cap B_{1})\times(A_{2}\setminus B_{2}),$
	$\displaystyle U_{3}=(A_{1}\setminus B_{1})\times(A_{2}\setminus B_{2}).$

Os conjuntos $U_{i}$ , $i=1,2,3$ são dois a dois disjuntos; para completar a demonstração, basta ver que cada $U_{i}$ é uma união finita disjunta de elementos de $\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times}\mathcal{S}_{2}$ . Como $\mathcal{S}_{1}$ , $\mathcal{S}_{2}$ são semi-anéis, podemos escrever:

A_{1}\setminus B_{1}=\bigcup_{i=1}^{k}C_{i},\quad A_{2}\setminus B_{2}=\bigcup% _{j=1}^{l}D_{j},

com $C_{1},\ldots,C_{k}\in\mathcal{S}_{1}$ dois a dois disjuntos e $D_{1},\ldots,D_{l}\in\mathcal{S}_{2}$ dois a dois disjuntos. Daí:

\begin{gathered}U_{1}=\bigcup_{i=1}^{k}\big{(}C_{i}\times(A_{2}\cap B_{2})\big% {)},\quad U_{2}=\bigcup_{j=1}^{l}\big{(}(A_{1}\cap B_{1})\times D_{j}\big{)},% \\ U_{3}=\bigcup_{i=1}^{k}\bigcup_{j=1}^{l}(C_{i}\times D_{j}),\end{gathered}

(5.1.6)

onde $C_{i}\times(A_{2}\cap B_{2})\in\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times}\mathcal{S}_{2}$ , $(A_{1}\cap B_{1})\times D_{j}\in\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times}\mathcal{S}_% {2}$ e $C_{i}\times D_{j}\in\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times}\mathcal{S}_{2}$ , para todos $i=1,\ldots,k$ , $j=1,\ldots,l$ . Claramente as uniões em (5.1.6) são disjuntas e a demonstração está completa. ∎

5.1.15 Corolário.

Se $\mathcal{S}_{1}$ , …, $\mathcal{S}_{n}$ são semi-anéis então a classe de conjuntos:

\mathcal{S}_{1}\boldsymbol{\times}\cdots\boldsymbol{\times}\mathcal{S}_{n}=% \big{\{}A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}:A_{1}\in\mathcal{S}_{1},% \ldots,A_{n}\in\mathcal{S}_{n}\big{\}}

é um semi-anel.

Demonstração.

Segue diretamente do Lema 5.1.14 usando indução. ∎

Uma medida (ou uma medida finitamente aditiva) $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ numa classe de conjuntos $\mathcal{C}$ é dita finita quando $\mu(A)<+\infty$ , para todo $A\in\mathcal{C}$ . Vamos agora determinar as medidas finitamente aditivas finitas no semi-anel (5.1.5).

Dizemos que uma função $F:I\to\overline{\mathds{R}}$ definida num subconjunto $I$ de $\overline{\mathds{R}}$ é crescente (resp., decrescente) quando $F(x)\leq F(y)$ (resp., $F(x)\geq F(y)$ ) para todos $x,y\in I$ com $x\leq y$ . Dizemos que $F:I\to\overline{\mathds{R}}$ é estritamente crescente (resp., estritamente decrescente) quando $F(x)<F(y)$ (resp., $F(x)>F(y)$ ), para todos $x,y\in I$ com $x<y$ .

5.1.16 Proposição.

Seja $\mathcal{S}\subset\wp(\mathds{R})$ o semi-anel definido em (5.1.5). Se $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ é uma função crescente então a função $\mu_{F}:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ definida por:

\mu_{F}\big{(}\left]a,b\right]\big{)}=F(b)-F(a),

(5.1.7)

para todos $a,b\in\mathds{R}$ com $a\leq b$ é uma medida finitamente aditiva finita em $\mathcal{S}$ . Além do mais, toda medida finitamente aditiva finita $\mu:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ em $\mathcal{S}$ é igual a $\mu_{F}$ , para alguma função crescente $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ ; se $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ , $G:\mathds{R}\to\mathds{R}$ são funções crescentes então $\mu_{F}=\mu_{G}$ se e somente se a função $F-G$ é constante.

Demonstração.

Todo elemento não vazio de $\mathcal{S}$ se escreve de modo único na forma $\left]a,b\right]$ , com $a,b\in\mathds{R}$ . O conjunto vazio é igual a $\left]a,a\right]$ para todo $a\in\mathds{R}$ ; como $F(a)-F(a)=0$ , para todo $a\in\mathds{R}$ , segue que a função $\mu_{F}$ está de fato bem definida pela igualdade (5.1.7). Além do mais, o fato de $F$ ser crescente implica que $\mu_{F}$ toma valores em $\left[0,+\infty\right[$ e evidentemente $\mu_{F}(\emptyset)=0$ . Sejam $a,b\in\mathds{R}$ , $a_{i},b_{i}\in\mathds{R}$ , $i=1,\ldots,k$ com $a\leq b$ , $a_{i}\leq b_{i}$ , $i=1,\ldots,k$ ,

\left]a,b\right]=\bigcup_{i=1}^{k}\left]a_{i},b_{i}\right]

e suponha que os intervalos $\left]a_{i},b_{i}\right]$ , $i=1,\ldots,k$ , sejam dois a dois disjuntos. Vamos mostrar que:

F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{k}\big{(}F(b_{i})-F(a_{i})\big{)}.

(5.1.8)

Se $\left]a,b\right]=\emptyset$ então $\left]a_{i},b_{i}\right]=\emptyset$ para todo $i=1,\ldots,k$ e os dois lados de (5.1.8) são nulos. Suponha então que $a<b$ . Podemos desconsiderar os índices $i$ tais que $\left]a_{i},b_{i}\right]=\emptyset$ , pois isso não altera o lado direito de (5.1.8); suponha então que $a_{i}<b_{i}$ , para todo $i=1,\ldots,k$ . Fazendo, se necessário, uma permutação nos índices $i$ , podemos supor que $a_{1}\leq a_{2}\leq\cdots\leq a_{k}$ . O Lema 5.1.17 que provaremos logo a seguir nos diz então que:

a=a_{1}<b_{1}=a_{2}<b_{2}=\cdots=a_{i}<b_{i}=\cdots=a_{k}<b_{k}=b,

donde a igualdade (5.1.8) segue. Isso completa a demonstração do fato que $\mu_{F}$ é uma medida finitamente aditiva finita em $\mathcal{S}$ . Note que se $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ , $G:\mathds{R}\to\mathds{R}$ são funções crescentes então $\mu_{F}=\mu_{G}$ se e somente se:

F(b)-F(a)=\mu_{F}\big{(}\left]a,b\right]\big{)}=\mu_{G}\big{(}\left]a,b\right]% \big{)}=G(b)-G(a),

para todos $a,b\in\mathds{R}$ com $a\leq b$ ; logo $\mu_{F}=\mu_{G}$ se e somente se:

F(b)-G(b)=F(a)-G(a),

para todos $a,b\in\mathds{R}$ com $a\leq b$ . Isso prova que $\mu_{F}=\mu_{G}$ se e somente se $F-G$ é uma função constante. Finalmente, seja $\mu:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ uma medida finitamente aditiva finita em $\mathcal{S}$ e vamos mostrar que existe uma função crescente $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ tal que $\mu=\mu_{F}$ . Defina $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ fazendo:

F(x)=\begin{cases}\hfil\mu\big{(}\left]0,x\right]\big{)},&\text{se $x\geq 0$},% \\ -\mu\big{(}\left]x,0\right]\big{)},&\text{se $x<0$}.\end{cases}

Vamos mostrar que:

\mu\big{(}\left]a,b\right]\big{)}=F(b)-F(a),

(5.1.9)

para todos $a,b\in\mathds{R}$ com $a\leq b$ ; seguirá então automaticamente que $F$ é crescente, já que $\mu\big{(}\left]a,b\right]\big{)}\geq 0$ , para todos $a,b\in\mathds{R}$ . Em primeiro lugar, se $0\leq a\leq b$ então $\left]0,b\right]$ é igual à união disjunta de $\left]0,a\right]$ com $\left]a,b\right]$ ; logo:

F(b)=\mu\big{(}\left]0,b\right]\big{)}=\mu\big{(}\left]0,a\right]\big{)}+\mu% \big{(}\left]a,b\right]\big{)}=F(a)+\mu\big{(}\left]a,b\right]\big{)},

donde (5.1.9) é satisfeita. Similarmente, se $a\leq b<0$ , mostra-se (5.1.9) observando que $\left]a,0\right]$ é igual à união disjunta de $\left]a,b\right]$ com $\left]b,0\right]$ . Para completar a demonstração de (5.1.9), consideramos o caso em que $a<0\leq b$ ; daí $\left]a,b\right]$ é igual à união disjunta de $\left]a,0\right]$ com $\left]0,b\right]$ , donde:

\mu\big{(}\left]a,b\right]\big{)}=\mu\big{(}\left]a,0\right]\big{)}+\mu\big{(}% \left]0,b\right]\big{)}=F(b)-F(a).

Isso completa a demonstração de (5.1.9). Concluímos então que $F$ é uma função crescente e que $\mu=\mu_{F}$ . ∎

5.1.17 Lema.

Sejam $a_{i},b_{i}\in\mathds{R}$ , $i=1,\ldots,k$ , $a,b\in\mathds{R}$ tais que $a<b$ , $a_{i}<b_{i}$ , $a_{i}\leq a_{i+1}$ , $i=1,\ldots,k$ ,

\left]a,b\right]=\bigcup_{i=1}^{k}\left]a_{i},b_{i}\right]

e tais que os intervalos $\left]a_{i},b_{i}\right]$ , $i=1,\ldots,k$ , sejam dois a dois disjuntos. Então $a=a_{1}$ , $b=b_{k}$ e $b_{i}=a_{i+1}$ para $i=1,\ldots,k-1$ .

Demonstração.

Dividimos a demonstração em passos.

Passo 1.

$b_{i}\leq a_{i+1}$ , para $i=1,\ldots,k-1$ .

Seja $i=1,\ldots,k-1$ fixado e suponha por absurdo que $a_{i+1}<b_{i}$ . Seja $c$ o mínimo entre $b_{i}$ e $b_{i+1}$ . Daí:

$a_{i}\leq a_{i+1}<c\leq b_{i+1},\quad a_{i}<c\leq b_{i},$

donde $c\in\left]a_{i},b_{i}\right]\cap\left]a_{i+1},b_{i+1}\right]\neq\emptyset$ , contradizendo nossas hipóteses.
Passo 2.

$b_{i}=a_{i+1}$ , para $i=1,\ldots,k-1$ .

Seja $i=1,\ldots,k-1$ fixado. Temos $b_{i}\in\left]a_{i},b_{i}\right]$ , $b_{i+1}\in\left]a_{i+1},b_{i+1}\right]$ , donde $b_{i},b_{i+1}\in\left]a,b\right]$ ; também:

$a<b_{i}\leq a_{i+1}<b_{i+1}\leq b,$

donde $a_{i+1}\in\left]a,b\right]$ . Sabemos então que existe $j=1,\ldots,k$ tal que $a_{i+1}\in\left]a_{j},b_{j}\right]$ . Se fosse $1\leq j\leq i-1$ , teríamos:

$b_{j}\leq a_{j+1}\leq a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1},$

donde $a_{i+1}\not\in\left]a_{j},b_{j}\right]$ ; por outro lado, se fosse $i+1\leq j\leq k$ , teríamos $a_{i+1}\leq a_{j}$ , donde novamente $a_{i+1}\not\in\left]a_{j},b_{j}\right]$ . Vemos então que a única possibilidade é $j=i$ , isto é, $a_{i+1}\in\left]a_{i},b_{i}\right]$ . Logo $a_{i+1}\leq b_{i}$ e portanto, pelo passo 1, $a_{i+1}=b_{i}$ .
Passo 3.

$b_{k}=b$ .

Temos $b_{k}\in\left]a_{k},b_{k}\right]$ , donde $b_{k}\in\left]a,b\right]$ e $b_{k}\leq b$ . Por outro lado, $b\in\left]a,b\right]$ implica $b\in\left]a_{i},b_{i}\right]$ , para algum $i=1,\ldots,k$ . Se $i=k$ então $b\leq b_{k}$ e portanto $b_{k}=b$ . Senão, $b\leq b_{i}=a_{i+1}\leq a_{k}<b_{k}$ , contradizendo $b_{k}\leq b$ .
Passo 4.

$a_{1}=a$ .

Para todo $i=1,\ldots,k$ , temos $a_{1}\leq a_{i}$ , donde $a_{1}\not\in\left]a_{i},b_{i}\right]$ e portanto $a_{1}\not\in\left]a,b\right]$ ; logo $a_{1}\leq a$ ou $a_{1}>b$ . Como $a_{1}\leq a_{k}<b_{k}=b$ , vemos que $a_{1}\leq a$ . Suponha por absurdo que $a_{1}<a$ . Seja $c$ o mínimo entre $b_{1}$ e $a$ ; temos $a_{1}<c\leq b_{1}$ , donde $c\in\left]a_{1},b_{1}\right]\subset\left]a,b\right]$ e $c>a$ , o que nos dá uma contradição.∎

Recorde da Definição 1.4.35 que se $\mathcal{C}$ é uma coleção arbitrária de partes de um conjunto $X$ então a $\sigma$ -álgebra de partes de $X$ gerada por $\mathcal{C}$ é a menor $\sigma$ -álgebra de partes de $X$ que contém $\mathcal{C}$ . De forma totalmente análoga, podemos definir as noções de álgebra, anel e $\sigma$ -anel gerados por uma dada classe de conjuntos.

5.1.18 Definição.

Se $X$ é um conjunto arbitrário e se $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ é uma coleção arbitrária de partes de $X$ então a álgebra de partes de $X$ gerada por $\mathcal{C}$ é a menor álgebra $\mathcal{A}$ de partes de $X$ que contém $\mathcal{C}$ , i.e., $\mathcal{A}$ é uma álgebra de partes de $X$ tal que:

(1)

$\mathcal{C}\subset\mathcal{A}$ ;
(2)

se $\mathcal{A}^{\prime}$ é uma álgebra de partes de $X$ tal que $\mathcal{C}\subset\mathcal{A}^{\prime}$ então $\mathcal{A}\subset\mathcal{A}^{\prime}$ .

Dizemos também que $\mathcal{C}$ é um conjunto de geradores para a álgebra $\mathcal{A}$ .

No Exercício 5.6 pedimos ao leitor para justificar o fato de que a álgebra gerada por uma coleção $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ está de fato bem definida, ou seja, existe uma única álgebra $\mathcal{A}$ satisfazendo as propriedades (1) e (2) acima.

5.1.19 Definição.

Se $\mathcal{C}$ é uma classe de conjuntos arbitrária então o anel gerado por $\mathcal{C}$ (resp., o $\sigma$ -anel gerado por $\mathcal{C}$ ) é o menor anel (resp., $\sigma$ -anel) $\mathcal{R}$ que contém $\mathcal{C}$ , i.e., $\mathcal{R}$ é um anel (resp., $\sigma$ -anel) tal que:

(1)

$\mathcal{C}\subset\mathcal{R}$ ;
(2)

se $\mathcal{R}^{\prime}$ é um anel (resp., $\sigma$ -anel) tal que $\mathcal{C}\subset\mathcal{R}^{\prime}$ então $\mathcal{R}\subset\mathcal{R}^{\prime}$ .

Dizemos também que $\mathcal{C}$ é um conjunto de geradores para o anel (resp., $\sigma$ -anel) $\mathcal{R}$ .

No Exercício 5.7 pedimos ao leitor para justificar o fato de que o anel (resp., $\sigma$ -anel) gerado por uma classe de conjuntos $\mathcal{C}$ está de fato bem definido, ou seja, existe um único anel (resp., $\sigma$ -anel) $\mathcal{R}$ satisfazendo as propriedades (1) e (2) acima.

É interessante observar que não é possível definir uma noção de semi-anel gerado por uma classe de conjuntos (veja Exercício 5.10).

Dada uma medida $\mu$ num semi-anel $\mathcal{S}$ , nós gostaríamos de estendê-la para o anel (e até para o $\sigma$ -anel) gerado por $\mathcal{S}$ . Extensões de medidas para $\sigma$ -anéis serão estudadas na Seção 5.3. No momento, nós mostraremos apenas como estender uma medida de um semi-anel para o anel gerado pelo mesmo. Para isso, precisaremos entender melhor a estrutura do anel gerado por um dado semi-anel.

O próximo lema nos dá uma caracterização diferente para o conceito de anel.

5.1.20 Lema.

Seja $\mathcal{R}$ uma classe de conjuntos não vazia. Então $\mathcal{R}$ é um anel se e somente se as seguintes condições são satisfeitas:

(a)

$A\setminus B\in\mathcal{R}$ , para todos $A,B\in\mathcal{R}$ tais que $B\subset A$ ;
(b)

$A\cup B\in\mathcal{R}$ , para todos $A,B\in\mathcal{R}$ com $A\cap B=\emptyset$ ;
(c)

$A\cap B\in\mathcal{R}$ , para todos $A,B\in\mathcal{R}$ .

Demonstração.

Se $\mathcal{R}$ é um anel então as condições (a) e (b) são satisfeitas por definição e a condição (c) é satisfeita pelo Lema 5.1.9. Reciprocamente, suponha que $\mathcal{R}$ é uma classe de conjuntos não vazia satisfazendo as condições (a), (b) e (c) acima. Dados $A,B\in\mathcal{R}$ , devemos mostrar que $A\setminus B$ e $A\cup B$ estão em $\mathcal{R}$ . Pela condição (c), temos que $A\cap B\in\mathcal{R}$ ; como:

A\setminus B=A\setminus(A\cap B),

e $A\cap B\subset A$ , segue da condição (a) que $A\setminus B$ está em $\mathcal{R}$ . Também, como:

A\cup B=(A\setminus B)\cup B,

e os conjuntos $A\setminus B\in\mathcal{R}$ e $B\in\mathcal{R}$ são disjuntos, segue da condição (b) que $A\cup B\in\mathcal{R}$ . ∎

5.1.21 Lema.

Seja $\mathcal{S}$ um semi-anel. O anel $\mathcal{R}$ gerado por $\mathcal{S}$ é igual ao conjunto das uniões finitas disjuntas de elementos de $\mathcal{S}$ , ou seja:

\mathcal{R}=\Big{\{}\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}:\text{$A_{1},\ldots,A_{t}\in% \mathcal{S}$ dois a dois disjuntos},\ t\geq 1\big{\}}.

Demonstração.

Sabemos que o anel gerado por $\mathcal{S}$ contém $\mathcal{R}$ , já que o anel gerado por $\mathcal{S}$ é uma classe de conjuntos fechada por uniões finitas que contém $\mathcal{S}$ . Para mostrar que $\mathcal{R}$ contém o anel gerado por $\mathcal{S}$ , é suficiente mostrar que $\mathcal{R}$ é um anel, já que obviamente $\mathcal{R}$ contém $\mathcal{S}$ . Para mostrar que $\mathcal{R}$ é um anel, usamos o Lema 5.1.20. É evidente que $\mathcal{R}$ satisfaz a condição (b) do enunciado do Lema 5.1.20. Para ver que $\mathcal{S}$ é fechado por interseções finitas (i.e., satisfaz a condição (c) do enunciado do Lema 5.1.20), sejam $A,B\in\mathcal{R}$ e escreva:

A=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k},\quad B=\bigcup_{l=1}^{r}B_{l},

com $A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos e $B_{1},\ldots,B_{r}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos. Temos:

A\cap B=\bigcup_{k=1}^{t}\bigcup_{l=1}^{r}(A_{k}\cap B_{l}),

onde $A_{k}\cap B_{l}\in\mathcal{S}$ para todos $k=1,\ldots,t$ , $l=1,\ldots,r$ e os conjuntos $A_{k}\cap B_{l}$ são dois a dois disjuntos. Finalmente, mostraremos que $A\setminus B\in\mathcal{R}$ , para todos $A,B\in\mathcal{R}$ . Suponha primeiramente que $B\in\mathcal{S}$ ; daí:

A\setminus B=\bigcup_{k=1}^{t}(A_{k}\setminus B),

(5.1.10)

onde $A=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}$ e $A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{S}$ são dois a dois disjuntos. Como $A_{k}$ e $B$ estão em $\mathcal{S}$ , temos que $A_{k}\setminus B$ é uma união finita disjunta de elementos de $\mathcal{S}$ , isto é, $A_{k}\setminus B\in\mathcal{R}$ , para todo $k=1,\ldots,t$ . Como a união em (5.1.10) é disjunta, segue que $A\setminus B\in\mathcal{R}$ , já que $\mathcal{R}$ satisfaz a condição (b) do enunciado do Lema 5.1.20. Finalmente, dados $A,B\in\mathcal{R}$ arbitrários, temos:

A\setminus B=\bigcap_{l=1}^{r}(A\setminus B_{l}),

onde $B=\bigcup_{l=1}^{r}B_{l}$ e $B_{1},\ldots,B_{l}\in\mathcal{S}$ são dois a dois disjuntos. Como $A\in\mathcal{R}$ e $B_{l}\in\mathcal{S}$ , temos que $A\setminus B_{l}\in\mathcal{R}$ , para todo $l=1,\ldots,r$ , pelo que acabamos de demonstrar; concluímos então que $A\setminus B\in\mathcal{R}$ , já que $\mathcal{R}$ é fechado por interseções finitas. ∎

5.1.22 Corolário.

Se $\mathcal{S}$ é um semi-anel então toda união finita de elementos de $\mathcal{S}$ é também igual a uma união finita disjunta de (possivelmente outros) elementos de $\mathcal{S}$ ; em particular, o anel gerado por $\mathcal{S}$ coincide também com o conjunto das uniões finitas (não necessariamente disjuntas) de elementos de $\mathcal{S}$ .

Demonstração.

Toda união finita de elementos de $\mathcal{S}$ pertence ao anel $\mathcal{R}$ gerado por $\mathcal{S}$ ; mas, pelo Lema 5.1.21, todo elemento de $\mathcal{R}$ é igual a uma união finita disjunta de elementos de $\mathcal{S}$ . ∎

Estamos agora em condições de prova o seguinte:

5.1.23 Teorema (pequeno teorema da extensão).

Seja $\mu:\mathcal{S}\to[0,+\infty]$ uma medida finitamente aditiva num semi-anel $\mathcal{S}$ e seja $\mathcal{R}$ o anel gerado por $\mathcal{S}$ . Então:

(a)

existe uma única medida finitamente aditiva $\tilde{\mu}:\mathcal{R}\to[0,+\infty]$ em $\mathcal{R}$ tal que $\tilde{\mu}|_{\mathcal{S}}=\mu$ ;
(b)

$\mu$ é uma medida $\sigma$ -aditiva em $\mathcal{S}$ se e somente se $\tilde{\mu}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva em $\mathcal{R}$ .

Demonstração.

Pelo Lema 5.1.21, todo $A\in\mathcal{R}$ se escreve na forma $A=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}$ , com $A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos. Se $\tilde{\mu}$ é uma medida finitamente aditiva em $\mathcal{R}$ que estende $\mu$ então obrigatoriamente:

\tilde{\mu}(A)=\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k}),

(5.1.11)

o que prova a unicidade de $\tilde{\mu}$ . Para provar a existência de $\tilde{\mu}$ , usamos a igualdade (5.1.11) para definir $\tilde{\mu}$ , onde $A=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}$ e $A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{S}$ são dois a dois disjuntos. Precisamos, no entanto, mostrar primeiramente que $\tilde{\mu}$ está bem definida, já que é possível que:

A=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}=\bigcup_{l=1}^{r}A^{\prime}_{l},

com $A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos e $A^{\prime}_{1},\ldots,A^{\prime}_{r}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos. Nesse caso, devemos verificar que:

\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k})=\sum_{l=1}^{r}\mu(A^{\prime}_{l}).

(5.1.12)

Note que, para todo $k=1,\ldots,t$ , temos:

A_{k}=A_{k}\cap A=\bigcup_{l=1}^{r}(A_{k}\cap A^{\prime}_{l}),

onde $A_{k}\cap A^{\prime}_{l}\in\mathcal{S}$ , para $l=1,\ldots,r$ e os conjuntos $A_{k}\cap A^{\prime}_{l}$ são dois a dois disjuntos. Como também $A_{k}\in\mathcal{S}$ , o fato de $\mu$ ser uma medida finitamente aditiva em $\mathcal{S}$ implica que:

\mu(A_{k})=\sum_{l=1}^{r}\mu(A_{k}\cap A^{\prime}_{l}).

(5.1.13)

De maneira análoga, vemos que:

\mu(A^{\prime}_{l})=\sum_{k=1}^{t}\mu(A^{\prime}_{l}\cap A_{k}),

(5.1.14)

para todo $l=1,\ldots,r$ . De (5.1.13) e (5.1.14) vem:

\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k})=\sum_{k=1}^{t}\sum_{l=1}^{r}\mu(A_{k}\cap A^{\prime}_% {l})=\sum_{l=1}^{r}\sum_{k=1}^{t}\mu(A^{\prime}_{l}\cap A_{k})=\sum_{l=1}^{r}% \mu(A^{\prime}_{l}),

o que prova (5.1.12). Logo $\tilde{\mu}$ está bem definida. Devemos verificar agora que $\tilde{\mu}$ é uma medida finitamente aditiva em $\mathcal{R}$ . É óbvio que $\tilde{\mu}|_{\mathcal{S}}=\mu$ e em particular $\tilde{\mu}(\emptyset)=0$ . Como $\mathcal{R}$ é fechado por uniões finitas, é suficiente demonstrar que:

\tilde{\mu}(A\cup B)=\tilde{\mu}(A)+\tilde{\mu}(B),

para todos $A,B\in\mathcal{R}$ com $A\cap B=\emptyset$ (veja Observação 5.1.5). Dados $A,B\in\mathcal{R}$ com $A\cap B=\emptyset$ , escrevemos:

A=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k},\quad B=\bigcup_{l=1}^{r}B_{l},

com $A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos e $B_{1},\ldots,B_{r}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos. Daí $A\cup B$ é união disjunta de $A_{1},\ldots,A_{t},B_{1},\ldots,B_{r}\in\mathcal{S}$ e portanto:

\tilde{\mu}(A\cup B)=\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k})+\sum_{l=1}^{r}\mu(B_{l})=\tilde{% \mu}(A)+\tilde{\mu}(B).

Isso completa a demonstração de que $\tilde{\mu}$ é uma medida finitamente aditiva. Note que se $\tilde{\mu}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva então obviamente $\mu$ também é uma medida $\sigma$ -aditiva, já que $\mu$ é apenas uma restrição de $\tilde{\mu}$ . Suponha então que $\mu$ é uma medida $\sigma$ -aditiva e vamos mostrar que $\tilde{\mu}$ também é. Seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de elementos dois a dois disjuntos de $\mathcal{R}$ e suponha que $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{R}$ ; devemos mostrar que:

\tilde{\mu}(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\tilde{\mu}(A_{k}).

(5.1.15)

Suponha inicialmente que $A\in\mathcal{S}$ . Cada $A_{k}\in\mathcal{R}$ pode ser escrito na forma:

A_{k}=\bigcup_{u=1}^{r_{k}}A_{ku},

com $A_{k1},\ldots,A_{kr_{k}}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos. Daí $A\in\mathcal{S}$ é igual à união disjunta dos conjuntos $A_{ku}$ , $k\geq 1$ , $u=1,\ldots,r_{k}$ , sendo que todos os $A_{ku}$ estão em $\mathcal{S}$ ; como $\mu$ é uma medida $\sigma$ -aditiva em $\mathcal{S}$ , segue que:

\tilde{\mu}(A)=\mu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{u=1}^{r_{k}}\mu(A_{ku}).

Mas, pela definição de $\tilde{\mu}$ , temos $\tilde{\mu}(A_{k})=\sum_{u=1}^{r_{k}}\mu(A_{ku})$ , e portanto a igualdade (5.1.15) fica demonstrada no caso em que $A\in\mathcal{S}$ . Vamos agora ao caso geral; como $A\in\mathcal{R}$ , é possível escrever $A$ na forma:

A=\bigcup_{l=1}^{r}B_{l},

com $B_{1},\ldots,B_{r}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos. Temos então:

A_{k}=A_{k}\cap A=\bigcup_{l=1}^{r}(A_{k}\cap B_{l}),\quad B_{l}=B_{l}\cap A=% \bigcup_{k=1}^{\infty}(B_{l}\cap A_{k}),

para todo $k\geq 1$ e todo $l=1,\ldots,r$ . Usando respectivemente o fato que $\tilde{\mu}$ é uma medida finitamente aditiva e a parte da $\sigma$ -aditividade de $\tilde{\mu}$ que já foi demonstrada, obtemos:

\tilde{\mu}(A_{k})=\sum_{l=1}^{r}\tilde{\mu}(A_{k}\cap B_{l}),\quad\tilde{\mu}% (B_{l})=\sum_{k=1}^{\infty}\tilde{\mu}(B_{l}\cap A_{k}).

Então:

\tilde{\mu}(A)=\sum_{l=1}^{r}\tilde{\mu}(B_{l})=\sum_{l=1}^{r}\sum_{k=1}^{% \infty}\tilde{\mu}(B_{l}\cap A_{k})=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{r}\tilde{% \mu}(A_{k}\cap B_{l})=\sum_{k=1}^{\infty}\tilde{\mu}(A_{k}),

o que prova (5.1.15) e completa a demonstração. ∎

5.1.24 Corolário.

As afirmações que aparecem nos itens (a), (c), (d), (e) e (f) do enunciado do Lema 5.1.6 são verdadeiras sob a hipótese de que a classe de conjuntos $\mathcal{C}$ seja um semi-anel; a afirmação que aparece no item (b) também é verdadeira, sob a hipótese de que $A_{2}\setminus A_{1}$ esteja em $\mathcal{C}$ .

Demonstração.

Seja $\mathcal{R}$ o anel gerado pelo semi-anel $\mathcal{C}$ e seja $\tilde{\mu}$ a medida finitamente aditiva em $\mathcal{R}$ que estende $\mu:\mathcal{C}\to[0,+\infty]$ . Como o anel $\mathcal{R}$ é fechado por diferenças, o Lema 5.1.6 pode ser aplicado à medida finitamente aditiva $\tilde{\mu}$ . A conclusão segue. ∎

5.1.25 Exemplo.

Seja $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ uma função crescente e considere a medida finitamente aditiva finita $\mu_{F}:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ correspondente a $F$ definida no enunciado da Proposição 5.1.16. Vamos determinar uma condição necessária sobre $F$ para que $\mu_{F}$ seja uma medida $\sigma$ -aditiva. Note em primeiro lugar que, como a função $F$ é crescente, então para todo $a\in\mathds{R}$ o limite à direita:

F(a^{+})\stackrel{{\scriptstyle\text{def}}}{{=}}\lim_{x\to a^{+}}F(x)\in% \mathds{R}

existe e é maior ou igual a $F(a)$ . Suponha que $\mu_{F}$ seja uma medida $\sigma$ -aditiva e seja $a\in\mathds{R}$ fixado. Nós temos:

\left]a,a+\tfrac{1}{n}\right]\searrow\emptyset;

pelo Corolário 5.1.24, isso nos dá:

0=\mu_{F}(\emptyset)=\lim_{n\to\infty}\mu_{F}\big{(}\left]a,a+\tfrac{1}{n}% \right]\!\big{)}=\lim_{n\to\infty}\big{[}F\big{(}a+\tfrac{1}{n}\big{)}-F(a)% \big{]}=F(a^{+})-F(a).

Logo $F(a)=F(a^{+})$ e portanto $F$ é contínua à direita. Na verdade, nós veremos adiante na Proposição 5.1.32 que $\mu_{F}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva se e somente se a função crescente $F$ é contínua à direita.

5.1.1. O critério da classe compacta

Nós vimos no Teorema 5.1.23 que toda medida finitamente aditiva $\mu$ num semi-anel $\mathcal{S}$ estende-se de modo único a uma medida finitamente aditiva $\tilde{\mu}$ no anel gerado por $\mathcal{S}$ ; a extensão $\tilde{\mu}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva se e somente se $\mu$ o for. Enquanto é muitas vezes possível mostrar por técnicas elementares que uma função $\mu:\mathcal{S}\to[0,+\infty]$ é uma medida finitamente aditiva (veja, por exemplo, a demonstração da Proposição 5.1.16), a situação não é tão simples quando se quer provar a $\sigma$ -aditividade³³ 3 Uma análise ingênua da situação poderia levar a crer que, sob hipóteses adequadas para a função $F$ , poder-se-ia provar a $\sigma$ -aditividade de $\mu_{F}$ na Proposição 5.1.16 utilizando alguma versão do Lema 5.1.17 para seqüências infinitas de intervalos $\left]a_{i},b_{i}\right]$ . A situação não é tão simples, como mostra o Exercício 5.15. de $\mu$ . Nesta subseção nós provaremos um critério prático para verificação da $\sigma$ -aditividade de uma medida finitamente aditiva num semi-anel. Como corolário, nós determinaremos exatamente quais são as funções crescentes $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ para as quais a medida finitamente aditiva $\mu_{F}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva.

Precisamos da seguinte:

5.1.26 Definição.

Uma classe de conjuntos $\mathcal{C}$ é dita compacta quando para toda seqüência $(C_{k})_{k\geq 1}$ em $\mathcal{C}$ com $\bigcap_{k=1}^{\infty}C_{k}=\emptyset$ existe $t\geq 1$ tal que $\bigcap_{k=1}^{t}C_{k}=\emptyset$ .

5.1.27 Exemplo.

Se $\mathcal{C}$ é uma classe arbitrária de subconjuntos compactos de $\mathds{R}^{n}$ então $\mathcal{C}$ é uma classe compacta. De fato, seja $(C_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência em $\mathcal{C}$ com $\bigcap_{k=1}^{\infty}C_{k}=\emptyset$ . Temos:

\mathds{R}^{n}=\bigcup_{k=1}^{\infty}C_{k}^{\mathrm{c}},

e em particular os conjuntos $(C_{k}^{\mathrm{c}})_{k\geq 1}$ constituem uma cobertura aberta do compacto $C_{1}$ . Logo existem $t_{1},\ldots,t_{r}\geq 1$ tais que:

C_{1}\subset C_{t_{1}}^{\mathrm{c}}\cup\ldots\cup C_{t_{r}}^{\mathrm{c}}.

Tomando $t=\max\{t_{1},\ldots,t_{r}\}$ então:

C_{1}\cap\ldots\cap C_{t}\subset C_{1}\cap C_{t_{1}}\cap\ldots\cap C_{t_{r}}=\emptyset.

5.1.28 Proposição (critério da classe compacta).

Seja $\mu:\mathcal{S}\to[0,+\infty]$ uma medida finitamente aditiva num semi-anel $\mathcal{S}$ . Suponha que existe uma classe compacta $\mathcal{C}$ tal que para todo $A\in\mathcal{S}$ e para todo $\varepsilon>0$ existem $B\in\mathcal{S}$ , $C\in\mathcal{C}$ tais que $B\subset C\subset A$ e:

\mu(A)<\mu(B)+\varepsilon.

(5.1.16)

Então $\mu$ é uma medida $\sigma$ -aditiva.

Note que as hipóteses da Proposição 5.1.28 implicam em particular que a medida finitamente aditiva $\mu$ é finita; de fato, a desigualdade (5.1.16) implica que $\mu(A)<+\infty$ .

Antes de demonstrar a Proposição 5.1.28, precisamos de alguns resultados preparatórios. O próximo lema nos dá um critério para a $\sigma$ -aditividade de medidas finitamente aditivas em anéis.

5.1.29 Lema.

Seja $\mu:\mathcal{R}\to[0,+\infty]$ uma medida finitamente aditiva num anel $\mathcal{R}$ . Suponha que para toda seqüência $(A_{k})_{k\geq 1}$ em $\mathcal{R}$ tal que $A_{k}\searrow\emptyset$ temos $\lim_{k\to\infty}\mu(A_{k})=0$ . Então $\mu$ é uma medida $\sigma$ -aditiva em $\mathcal{R}$ .

Demonstração.

Seja $(B_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de elementos dois a dois disjuntos de $\mathcal{R}$ tal que a união $B=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$ está em $\mathcal{R}$ ; vamos mostrar que $\mu(B)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(B_{k})$ . Para cada $k\geq 1$ , seja $A_{k}=\bigcup_{i=k+1}^{\infty}B_{i}$ ; temos:

B=B_{1}\cup\ldots\cup B_{k}\cup A_{k},

(5.1.17)

onde a união em (5.1.17) é disjunta. Note que cada $A_{k}$ está em $\mathcal{R}$ , já que $A_{k}=B\setminus(B_{1}\cup\ldots\cup B_{k})$ . Como $\mu$ é uma medida finitamente aditiva em $\mathcal{R}$ , obtemos:

\mu(B)=\mu(A_{k})+\sum_{i=1}^{k}\mu(B_{i}).

(5.1.18)

Claramente $A_{k}\searrow\emptyset$ e portanto $\lim_{k\to\infty}\mu(A_{k})=0$ ; a conclusão é obtida fazendo $k\to\infty$ em (5.1.18). ∎

5.1.30 Corolário.

A Proposição 5.1.28 é verdadeira sob a hipótese adicional de que $\mathcal{S}$ seja um anel.

Demonstração.

Já que $\mathcal{S}$ é um anel, podemos usar o Lema 5.1.29 para estabelecer o fato de que $\mu$ é uma medida $\sigma$ -aditiva. Seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência em $\mathcal{S}$ tal que $A_{k}\searrow\emptyset$ . Vamos mostrar que:

\lim_{k\to\infty}\mu(A_{k})=0.

(5.1.19)

Seja dado $\varepsilon>0$ e para cada $k\geq 1$ sejam $B_{k}\in\mathcal{S}$ , $C_{k}\in\mathcal{C}$ tais que:

B_{k}\subset C_{k}\subset A_{k},\quad\mu(A_{k})<\mu(B_{k})+\frac{\varepsilon}{% 2^{k}}.

Temos:

\bigcap_{k=1}^{\infty}C_{k}\subset\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}=\emptyset,

e portanto existe $t\geq 1$ tal que $\bigcap_{k=1}^{t}C_{k}=\emptyset$ ; daí $\bigcap_{k=1}^{t}B_{k}=\emptyset$ e portanto:

A_{t}=\bigcup_{k=1}^{t}(A_{t}\setminus B_{k})\subset\bigcup_{k=1}^{t}(A_{k}% \setminus B_{k}).

Usando o item (e) do Lema 5.1.6, obtemos:

\mu(A_{t})\leq\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k}\setminus B_{k})=\sum_{k=1}^{t}\big{(}\mu% (A_{k})-\mu(B_{k})\big{)}<\sum_{k=1}^{t}\frac{\varepsilon}{2^{k}}<\sum_{k=1}^{% \infty}\frac{\varepsilon}{2^{k}}=\varepsilon.

Logo $\mu(A_{k})\leq\mu(A_{t})<\varepsilon$ , para todo $k\geq t$ , o que prova (5.1.19) e completa a demonstração. ∎

Para demonstrar a Proposição 5.1.28 nós consideraremos a medida finitamente aditiva $\tilde{\mu}$ que estende $\mu$ para o anel $\mathcal{R}$ gerado por $\mathcal{S}$ e nós usaremos uma classe compacta $\widetilde{\mathcal{C}}$ de modo que $\tilde{\mu}$ e $\widetilde{\mathcal{C}}$ satisfaçam as hipóteses da Proposição 5.1.28.

5.1.31 Lema.

Seja $\mathcal{C}$ uma classe compacta e seja $\widetilde{\mathcal{C}}$ a classe formada por todas as uniões finitas de elementos de $\mathcal{C}$ , isto é:

\widetilde{\mathcal{C}}=\Big{\{}\bigcup_{k=1}^{t}C_{k}:C_{1},\ldots,C_{t}\in% \mathcal{C},\ t\geq 1\Big{\}}.

Então $\widetilde{\mathcal{C}}$ também é uma classe compacta.

Demonstração.

Seja $(\widetilde{C}_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de elementos de $\widetilde{\mathcal{C}}$ tal que $\bigcap_{k=1}^{\infty}\widetilde{C}_{k}=\emptyset$ ; devemos mostrar que existe $t\geq 1$ tal que $\bigcap_{k=1}^{t}\widetilde{C}_{k}=\emptyset$ . Suponha por absurdo que $\bigcap_{k=1}^{t}\widetilde{C}_{k}\neq\emptyset$ , para todo $t\geq 1$ . Para cada $k\geq 1$ escrevemos:

\widetilde{C}_{k}=\bigcup_{i\in I_{k}}C_{ki},

onde $I_{k}$ é um conjunto finito não vazio e $C_{ki}\in\mathcal{C}$ , para todo $i\in I_{k}$ . Para cada $t\geq 1$ , existe $x_{t}\in\bigcap_{k=1}^{t}\widetilde{C}_{k}$ e portanto para cada $k=1,\ldots,t$ , temos $x_{t}\in\widetilde{C}_{k}$ ; daí existe um índice $i^{t}_{k}\in I_{k}$ tal que $x_{t}\in C_{ki^{t}_{k}}$ . Em particular:

x_{t}\in\bigcap_{k=1}^{t}C_{ki^{t}_{k}}\neq\emptyset.

(5.1.20)

Nós vamos construir uma seqüência $(j_{k})_{k\geq 1}\in\prod_{k=1}^{\infty}I_{k}$ tal que:

\bigcap_{k=1}^{\infty}C_{kj_{k}}\neq\emptyset;

uma vez que essa seqüência esteja construída, teremos:

\bigcap_{k=1}^{\infty}C_{kj_{k}}\subset\bigcap_{k=1}^{\infty}\widetilde{C}_{k}% \neq\emptyset,

(5.1.21)

o que nos dará uma contradição e completará a demonstração. Nosso plano é construir indutivamente uma seqüência $(j_{k})_{k\geq 1}\in\prod_{k=1}^{\infty}I_{k}$ tal que para todo $k\geq 1$ , existam uma infinidade de índices $t\geq k$ tais que:

(j_{1},\ldots,j_{k})=(i^{t}_{1},\ldots,i^{t}_{k}).

(5.1.22)

Em primeiro lugar, como $(i^{t}_{1})_{t\geq 1}$ é uma seqüência de elementos do conjunto finito $I_{1}$ , deve existir $j_{1}\in I_{1}$ tal que $j_{1}=i^{t}_{1}$ para uma infinidade de índices $t\geq 1$ . Suponha que tenhamos construído $(j_{1},\ldots,j_{k})\in I_{1}\times\cdots\times I_{k}$ de modo que a igualdade (5.1.22) é válida para uma infinidade de índices $t\geq k$ . Se $T$ é o conjunto infinito constituído pelos índices $t\geq k+1$ tais que a igualdade (5.1.22) é satisfeita então $(i^{t}_{k+1})_{t\in T}$ é uma família infinita de elementos do conjunto finito $I_{k+1}$ e portanto existe $j_{k+1}\in I_{k+1}$ tal que $j_{k+1}=i^{t}_{k+1}$ , para uma infinidade de índices $t\in T$ ; daí:

(j_{1},\ldots,j_{k},j_{k+1})=(i^{t}_{1},\ldots,i^{t}_{k},i^{t}_{k+1}),

para uma infinidade de índices $t\geq k+1$ . Nós obtivemos então uma seqüência $(j_{k})_{k\geq 1}\in\prod_{k=1}^{\infty}I_{k}$ tal que para todo $k\geq 1$ a igualdade (5.1.22) é satisfeita para uma infinidade de índices $t\geq k$ ; em particular, para todo $k\geq 1$ existe $t\geq k$ tal que a igualdade (5.1.22) é satisfeita e daí, usando (5.1.20), obtemos:

\bigcap_{r=1}^{k}C_{rj_{r}}=\bigcap_{r=1}^{k}C_{ri^{t}_{r}}\supset\bigcap_{r=1% }^{t}C_{ri^{t}_{r}}\neq\emptyset.

Como $\mathcal{C}$ é uma classe compacta e $\bigcap_{r=1}^{k}C_{rj_{r}}\neq\emptyset$ para todo $k\geq 1$ , segue que $\bigcap_{r=1}^{\infty}C_{rj_{r}}\neq\emptyset$ . Obtivemos então (5.1.21), o que nos dá uma contradição e completa a demonstração. ∎

Demonstração da Proposição 5.1.28.

Seja $\mathcal{R}$ o anel gerado por $\mathcal{S}$ e $\tilde{\mu}:\mathcal{R}\to[0,+\infty]$ a única medida finitamente aditiva em $\mathcal{R}$ que estende $\mu$ (veja Teorema 5.1.23); nós vamos mostrar que $\tilde{\mu}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva em $\mathcal{R}$ e isso completará a demonstração. Seja $\widetilde{\mathcal{C}}$ a classe compacta definida no enunciado do Lema 5.1.31; vamos mostrar que para todo $A\in\mathcal{R}$ e para todo $\varepsilon>0$ existem $B\in\mathcal{R}$ , $C\in\widetilde{\mathcal{C}}$ tais que $B\subset C\subset A$ e $\tilde{\mu}(A)<\tilde{\mu}(B)+\varepsilon$ . Seguirá então do Corolário 5.1.30 que $\tilde{\mu}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva. Pelo Lema 5.1.21, podemos escrever $A=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}$ , com $A_{1},\ldots,A_{t}\in\mathcal{S}$ dois a dois disjuntos e $t\geq 1$ . Para cada $k=1,\ldots,t$ , existem $B_{k}\in\mathcal{S}$ e $C_{k}\in\mathcal{C}$ com $B_{k}\subset C_{k}\subset A_{k}$ e $\mu(A_{k})<\mu(B_{k})+\frac{\varepsilon}{t}$ . Tomando $B=\bigcup_{k=1}^{t}B_{k}\in\mathcal{R}$ e $C=\bigcup_{k=1}^{t}C_{k}\in\widetilde{\mathcal{C}}$ então $B\subset C\subset A$ e:

\tilde{\mu}(A)=\sum_{k=1}^{t}\mu(A_{k})<\sum_{k=1}^{t}\big{(}\mu(B_{k})+\tfrac% {\varepsilon}{t}\big{)}=\tilde{\mu}(B)+\varepsilon,

já que os conjuntos $B_{1},\ldots,B_{t}\in\mathcal{S}$ são dois a dois disjuntos. Isso completa a demonstração. ∎

Como aplicação da Proposição 5.1.28, nós vamos determinar para quais funções crescentes $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ a medida finitamente aditiva correspondente $\mu_{F}$ é $\sigma$ -aditiva.

5.1.32 Proposição.

Seja $F:\mathds{R}\to\mathds{R}$ uma função crescente e seja $\mu_{F}:\mathcal{S}\to\left[0,+\infty\right[$ a medida finitamente aditiva finita correspondente a $F$ definida no enunciado da Proposição 5.1.16. Então $\mu_{F}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva se e somente se a função $F$ é contínua à direita.

Demonstração.

Nós já vimos no Exemplo 5.1.25 que se $\mu_{F}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva então a função $F$ é contínua à direita. Reciprocamente, suponha que $F$ é contínua à direita e vamos demonstrar que a medida finitamente aditiva $\mu_{F}$ é uma medida $\sigma$ -aditiva. Seja:

\mathcal{C}=\{\emptyset\}\cup\big{\{}[a,b]:a,b\in\mathds{R},\ a\leq b\big{\}};

pelo Exemplo 5.1.27, $\mathcal{C}$ é uma classe compacta. Vamos verificar as hipóteses da Proposição 5.1.28. Sejam dados $A\in\mathcal{S}$ e $\varepsilon>0$ . Se $A=\emptyset$ , tomamos $B=C=\emptyset$ . Se $A\neq\emptyset$ então $A=\left]a,b\right]$ com $a,b\in\mathds{R}$ , $a<b$ e, como $F$ é contínua à direita no ponto $a$ , existe $\delta>0$ tal que $a<a+\delta<b$ e $F(a+\delta)<F(a)+\varepsilon$ . Tomamos então $B=\left]a+\delta,b\right]\in\mathcal{S}$ , $C=[a+\delta,b]\in\mathcal{C}$ , de modo que $B\subset C\subset A$ e:

\mu_{F}(A)=F(b)-F(a)<F(b)-F(a+\delta)+\varepsilon=\mu_{F}(B)+\varepsilon.\qed