1.4. Medida de Lebesgue em ${\mathds{R}^{n}}$

Tomando $B_{1}=B$ e $B_{k}=\emptyset$ para $k\geq 2$, obtemos uma cobertura $(B_{k})_{k\geq 1}$ de $B$ por blocos retangulares com $\sum_{k=1}^{\infty}|B_{k}|=|B|$; isso mostra que $\mathfrak{m}^{*}(B)\leq|B|$. Para mostrar a desigualdade oposta, devemos escolher uma cobertura arbitrária $B\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$ de $B$ por blocos retangulares $B_{k}$ e mostrar que $|B|\leq\sum_{k=1}^{\infty}|B_{k}|$. Seja dado $\varepsilon>0$ e seja para cada $k\geq 1$, $B^{\prime}_{k}$ um bloco retangular $n$-dimensional que contém $B_{k}$ no seu interior e tal que $|B^{\prime}_{k}|\leq|B_{k}|+\frac{\varepsilon}{2^{k}}$. Os interiores dos blocos $B^{\prime}_{k}$, $k\geq 1$, constituem então uma cobertura aberta do compacto $B$ e dessa cobertura aberta podemos extrair uma subcobertura finita; existe portanto $t\geq 1$ tal que $B\subset\bigcup_{k=1}^{t}B^{\prime}_{k}$. Usando o Lema 1.3.5 obtemos:

Como $\varepsilon>0$ é arbitrário, a conclusão segue. ∎

Basta observar que $\mathcal{C}(A_{2})\subset\mathcal{C}(A_{1})$ (recorde (1.4.1)). ∎

Como $\mathfrak{m}^{*}(\emptyset)=0$, tomando $A_{k}=\emptyset$ para $k>t$, podemos considerar apenas o caso de uma seqüência infinita de subconjuntos de $\mathds{R}^{n}$. Seja dado $\varepsilon>0$. Para cada $k\geq 1$ existe uma cobertura $A_{k}\subset\bigcup_{j=1}^{\infty}B_{k}^{j}$ de $A_{k}$ por blocos retangulares $n$-dimensionais $B_{k}^{j}$ de modo que:

Daí $(B_{k}^{j})_{k,j\geq 1}$ é uma cobertura enumerável do conjunto $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ por blocos retangulares $n$-dimensionais e portanto:

Como $\varepsilon>0$ é arbitrário, a conclusão segue. ∎

Basta observar que $\big{\{}x\in\mathds{R}^{n}:x_{i}=c\big{\}}=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$, onde:

é um bloco retangular $n$-dimensional de volume zero. ∎

Basta observar que a fronteira de um bloco retangular $n$-dimensional é uma união finita de blocos retangulares $n$-dimensionais de volume zero. ∎

Como $A_{1}\subset(A_{1}\setminus A_{2})\cup A_{2}$, os Lemas 1.4.4 e 1.4.5 implicam que:

Se $\mathfrak{m}^{*}(A_{2})=+\infty$ e $\mathfrak{m}^{*}(A_{1})<+\infty$, a desigualdade (1.4.2) é trivial; se $\mathfrak{m}^{*}(A_{2})<+\infty$, ela segue de (1.4.3). ∎

É fácil ver que se $B$ é um bloco retangular $n$-dimensional então $B+x$ também é um bloco retangular $n$-dimensional e:

em particular, se $A\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$ é uma cobertura de $A$ por blocos retangulares $n$-dimensionais então $A+x\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}(B_{k}+x)$ é uma cobertura de $A+x$ por blocos retangulares $n$-dimensionais e $\sum_{k=1}^{\infty}|B_{k}+x|=\sum_{k=1}^{\infty}|B_{k}|$. Isso mostra que $\mathcal{C}(A)\subset\mathcal{C}(A+x)$ (recorde (1.4.1)). Como $A=(A+x)+({-x})$, o mesmo argumento mostra que $\mathcal{C}(A+x)\subset\mathcal{C}(A)$; logo:

Seja $A\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$ uma cobertura de $A$ por blocos retangulares $n$-dimensionais tal que $\sum_{k=1}^{\infty}|B_{k}|\leq\mathfrak{m}^{*}(A)+\frac{\varepsilon}{2}$. Para cada $k\geq 1$, seja $B^{\prime}_{k}$ um bloco retangular que contém $B_{k}$ no seu interior e tal que $|B^{\prime}_{k}|\leq|B_{k}|+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}$. Seja $U=\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathrm{int}(B^{\prime}_{k})$. Temos que $U$ é aberto e $U\supset A$; além do mais, usando os Lemas 1.4.4 e 1.4.5 obtemos:

Seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de subconjuntos mensuráveis de $\mathds{R}^{n}$. Dado $\varepsilon>0$ então, para cada $k\geq 1$, podemos encontrar um aberto $U_{k}$ contendo $A_{k}$ tal que $\mathfrak{m}^{*}(U_{k}\setminus A_{k})<\frac{\varepsilon}{2^{k}}$. Tomando $U=\bigcup_{k=1}^{\infty}U_{k}$ então $U$ é aberto, $U$ contém $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ e:

Seja $A\subset\mathds{R}^{n}$ com $\mathfrak{m}^{*}(A)=0$. Dado $\varepsilon>0$ então, pelo Lema 1.4.12, existe um aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ contendo $A$ tal que $\mathfrak{m}^{*}(U)\leq\varepsilon$. Concluímos então que:

Em vista do Lema 1.4.5 é suficiente mostrar a desigualdade:

Para isso, seja $A_{1}\cup A_{2}\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$ uma cobertura de $A_{1}\cup A_{2}$ por blocos retangulares $n$-dimensionais $B_{k}$ e vamos mostrar que:

Como $d(A_{1},A_{2})>0$, existe $\varepsilon>0$ tal que $d(x,y)\geq\varepsilon$, para todos $x\in A_{1}$, $y\in A_{2}$. Para cada $k\geq 1$ com $|B_{k}|>0$, podemos escolher uma partição $P_{k}$ de $B_{k}$ de modo que os sub-blocos de $B_{k}$ determinados por $P_{k}$ tenham todos diâmetro menor do que $\varepsilon$. Seja $\overline{P_{k}^{1}}$ (respectivamente, $\overline{P_{k}^{2}}$) o conjunto dos sub-blocos de $B_{k}$ determinados por $P_{k}$ que interceptam $A_{1}$ (respectivamente, interceptam $A_{2}$). Um bloco de diâmetro menor do que $\varepsilon$ não pode interceptar ambos os conjuntos $A_{1}$ e $A_{2}$ e portanto $\overline{P_{k}^{1}}$ e $\overline{P_{k}^{2}}$ são subconjuntos disjuntos de $\overline{P_{k}}$. Segue do Lema 1.3.3 que:

Como $A_{1}\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$, temos que a coleção formada pelos blocos $B_{k}$ com $|B_{k}|=0$ e pelos blocos pertencentes a $\overline{P_{k}^{1}}$ para algum $k$ com $|B_{k}|>0$ constitui uma cobertura enumerável de $A_{1}$ por blocos retangulares $n$-dimensionais; logo:

Similarmente:

Somando as desigualdades (1.4.6) e (1.4.7) e usando (1.4.5) obtemos (1.4.4), o que completa a demonstração. ∎

O caso $t=2$ segue do Lema 1.4.18, observando que a distância entre compactos disjuntos é positiva. O caso geral segue por indução. ∎

Dado $\varepsilon>0$, podemos para cada $r=1,\ldots,t$ encontrar um bloco retangular $n$-dimensional $B_{r}^{\prime}$ contido no interior de $B_{r}$ e satisfazendo $|B_{r}^{\prime}|\geq(1-\varepsilon)|B_{r}|$ (note que no caso $|B_{r}|=0$ podemos tomar $B_{r}^{\prime}=\emptyset$). Os blocos $B_{r}^{\prime}$, $r=1,\ldots,t$ são subconjuntos compactos dois a dois disjuntos de $\mathds{R}^{n}$ e portanto o Corolário 1.4.19 nos dá:

Como $\varepsilon>0$ é arbitrário, concluímos que:

A desigualdade oposta segue do Lema 1.4.5. ∎

O Corolário 1.4.20 nos dá:

para todo $t\geq 1$. Fazendo $t\to\infty$ obtemos:

A desigualdade oposta segue do Lema 1.4.5. ∎

Para cada $k\geq 1$ seja $\mathcal{R}_{k}$ o conjunto de todos os cubos $n$-dimensionais de aresta $\frac{1}{2^{k}}$ e com vértices em pontos de $\mathds{R}^{n}$ cujas coordenadas são múltiplos inteiros de $\frac{1}{2^{k}}$; mais precisamente:

Cada $\mathcal{R}_{k}$ é portanto um conjunto enumerável de cubos $n$-dimensionais. As seguintes propriedades são de fácil verificação:

• (a)
  ​

  os cubos pertencentes a $\mathcal{R}_{k}$ possuem interiores dois a dois disjuntos, para todo $k\geq 1$;

• (b)
  ​

  $\mathds{R}^{n}=\bigcup_{B\in\mathcal{R}_{k}}B$, para todo $k\geq 1$;

• (c)
  ​

  dados $k,l\geq 1$ com $k\geq l$ então todo cubo pertencente a $\mathcal{R}_{k}$ está contido em algum cubo pertencente a $\mathcal{R}_{l}$;

• (d)
  ​

  todo cubo pertencente a $\mathcal{R}_{k}$ tem diâmetro igual a $\frac{\sqrt{n}}{2^{k}}$.

Construiremos agora indutivamente uma seqüência $(\mathcal{R}^{\prime}_{k})_{k\geq 1}$ onde cada $\mathcal{R}^{\prime}_{k}$ é um subconjunto de $\mathcal{R}_{k}$. Seja $\mathcal{R}^{\prime}_{1}$ o conjunto dos cubos $B\in\mathcal{R}_{1}$ tais que $B\subset U$. Supondo $\mathcal{R}^{\prime}_{i}$ construído para $i=1,\ldots,k$, seja $\mathcal{R}^{\prime}_{k+1}$ o conjunto dos cubos $B\in\mathcal{R}_{k+1}$ que estão contidos em $U$ e que tem interior disjunto do interior de todos os cubos pertencentes a $\bigcup_{i=1}^{k}\mathcal{R}^{\prime}_{i}$. Tome $\mathcal{R}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal{R}^{\prime}_{k}$. Como cada $\mathcal{R}_{k}$ é enumerável, segue que $\mathcal{R}$ é enumerável. Afirmamos que os cubos pertencentes a $\mathcal{R}$ possuem interiores dois a dois disjuntos. De fato, sejam $B_{1},B_{2}\in\mathcal{R}$ cubos distintos, digamos $B_{1}\in\mathcal{R}^{\prime}_{k}$ e $B_{2}\in\mathcal{R}^{\prime}_{l}$ com $k\geq l$. Se $k>l$ então, por construção, o interior de $B_{1}$ é disjunto do interior de qualquer cubo pertencente a $\bigcup_{i=1}^{k-1}\mathcal{R}^{\prime}_{i}$; em particular, o interior de $B_{1}$ é disjunto do interior de $B_{2}$. Se $k=l$, segue da propriedade (a) acima que os cubos $B_{1}$ e $B_{2}$ possuem interiores disjuntos. Para terminar a demonstração, verifiquemos que $U=\bigcup_{B\in\mathcal{R}}B$. Obviamente temos $\bigcup_{B\in\mathcal{R}}B\subset U$. Seja $x\in U$. Como $U$ é aberto, existe $k\geq 1$ tal que a bola fechada de centro $x$ e raio $\frac{\sqrt{n}}{2^{k}}$ está contida em $U$. Em vista das propriedades (b) e (d) acima, vemos que existe $B\in\mathcal{R}_{k}$ com $x\in B$ e, além disso, $B\subset U$. Se $B\in\mathcal{R}^{\prime}_{k}$ então $x\in B\in\mathcal{R}$; caso contrário, existem $l<k$ e um cubo $B_{1}\in\mathcal{R}^{\prime}_{l}$ tal que os interiores de $B$ e $B_{1}$ se interceptam. Em vista da propriedade (c), existe um cubo $B_{2}\in\mathcal{R}_{l}$ contendo $B$. Daí $B_{1},B_{2}\in\mathcal{R}_{l}$ e os interiores de $B_{1}$ e $B_{2}$ se interceptam; a propriedade (a) implica então que $B_{1}=B_{2}$ e portanto $x\in B\subset B_{2}=B_{1}\in\mathcal{R}$. Em qualquer caso, mostramos que $x\in\bigcup_{B\in\mathcal{R}}B$, o que completa a demonstração. ∎

Seja $K\subset\mathds{R}^{n}$ um subconjunto compacto e seja dado $\varepsilon>0$. Pelo Lema 1.4.12 existe um aberto $U\supset K$ tal que $\mathfrak{m}^{*}(U)\leq\mathfrak{m}^{*}(K)+\varepsilon$. Vamos mostrar que $\mathfrak{m}^{*}(U\setminus K)\leq\varepsilon$. Pelo Lema 1.4.23, o aberto $U\setminus K$ pode ser escrito como uma união enumerável $U\setminus K=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$ de blocos retangulares $n$-dimensionais com interiores dois a dois disjuntos. Para cada $t\geq 1$ os conjuntos $K$ e $\bigcup_{k=1}^{t}B_{k}$ são compactos e disjuntos; os Corolários 1.4.19 e 1.4.20 implicam então que:

Como $K$ é limitado, a Observação 1.4.2 nos diz que $\mathfrak{m}^{*}(K)<+\infty$ e portanto a desigualdade acima implica que:

Como $t\geq 1$ é arbitrário, concluímos que $\sum_{k=1}^{\infty}|B_{k}|\leq\varepsilon$ e, finalmente, o Corolário 1.4.21 nos dá $\mathfrak{m}^{*}(U\setminus K)\leq\varepsilon$. ∎

Se $F\subset\mathds{R}^{n}$ é fechado então $F=\bigcup_{k=1}^{\infty}\big{(}F\cap[-k,k]^{n}\big{)}$ é uma união enumerável de compactos. A conclusão segue do Lema 1.4.15. ∎

Segue do Corolário 1.4.25 e do Lema 1.4.15. ∎

Para todo $k\geq 1$ existe um aberto $U_{k}\subset\mathds{R}^{n}$ contendo $A$ tal que $\mathfrak{m}^{*}(U_{k}\setminus A)<\frac{1}{k}$. Daí o conjunto $Z=\bigcap_{k=1}^{\infty}U_{k}$ é um $G_{\delta}$ que contém $A$ e:

para todo $k\geq 1$. Logo $\mathfrak{m}^{*}(Z\setminus A)=0$. ∎

Seja $A\subset\mathds{R}^{n}$ um subconjunto mensurável. Pelo Lema 1.4.28 existe um conjunto $Z$ de tipo $G_{\delta}$ contendo $A$ tal que $\mathfrak{m}^{*}(Z\setminus A)=0$. Daí $Z^{\mathrm{c}}\subset A^{\mathrm{c}}$ e $A^{\mathrm{c}}\setminus Z^{\mathrm{c}}=Z\setminus A$; logo:

O conjunto $Z^{\mathrm{c}}$ é de tipo $F_{\sigma}$ e portanto mensurável, pelo Corolário 1.4.27. A conclusão segue dos Lemas 1.4.15 e 1.4.16. ∎

Pelo Corolário 1.4.29, $A^{\mathrm{c}}$ é mensurável e portanto existe um aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ contendo $A^{\mathrm{c}}$ tal que $\mathfrak{m}^{*}(U\setminus A^{\mathrm{c}})<\varepsilon.$ Tomando $F=U^{\mathrm{c}}$ então $F$ é fechado e $F\subset A$. Como $A\setminus F=U\setminus A^{\mathrm{c}}$, segue que $\mathfrak{m}^{*}(A\setminus F)<\varepsilon$. ∎

Pelo Corolário 1.4.29, $A^{\mathrm{c}}$ também é mensurável e portanto, pelo Lema 1.4.28 existe um subconjunto $Z$ de $\mathds{R}^{n}$ de tipo $G_{\delta}$ tal que $A^{\mathrm{c}}\subset Z$ e $\mathfrak{m}^{*}(Z\setminus A^{\mathrm{c}})=0$. Tomando $W=Z^{\mathrm{c}}$ então $W$ é de tipo $F_{\sigma}$ e $W\subset A$. Como $A\setminus W=Z\setminus A^{\mathrm{c}}$, segue que $\mathfrak{m}^{*}(A\setminus W)=0$. ∎

Segue da Observação 1.4.14, dos Lemas 1.4.15 e 1.4.16 e do Corolário 1.4.29. ∎

Pelo Teorema 1.4.34, os conjuntos mensuráveis formam uma $\sigma$-álgebra que contém os abertos de $\mathds{R}^{n}$; portanto, deve conter também a $\sigma$-álgebra de Borel. ∎

Se $\mathcal{A}$ é uma álgebra e $A,B\in\mathcal{A}$ então $A^{\mathrm{c}},B^{\mathrm{c}}\in\mathcal{A}$ e portanto $A\cap B=(A^{\mathrm{c}}\cup B^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}\in\mathcal{A}$; além do mais, $A\setminus B=A\cap B^{\mathrm{c}}\in\mathcal{A}$. Se $\mathcal{A}$ é uma $\sigma$-álgebra e $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos de $\mathcal{A}$ então $A_{k}^{\mathrm{c}}\in\mathcal{A}$ para todo $k\geq 1$ e portanto $\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}=\big{(}\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{\mathrm{c}}\big{)}^{\mathrm{c}}\in\mathcal{A}$. ∎

Segue do Teorema 1.4.34 e do Lema 1.4.37. ∎

Pelo Lema 1.4.12 existe um aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ contendo $A$ tal que $\mathfrak{m}^{*}(U)\leq\mathfrak{m}^{*}(A)+1<+\infty$. O Lema 1.4.23 nos permite escrever $U=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$, onde $(B_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de blocos retangulares $n$-dimensionais com interiores dois a dois disjuntos. O Corolário 1.4.21 nos dá:

portanto a série $\sum_{k=1}^{\infty}|B_{k}|$ é convergente e existe $t\geq 1$ tal que:

Seja $A_{0}=A\cap\big{(}\bigcup_{k=1}^{t}B_{k}\big{)}$. Temos que $A_{0}\subset A$ e $A_{0}$ é limitado. Note que se $A$ é mensurável então $A_{0}$ também é mensurável. Como $A\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}$ segue que $A\setminus A_{0}\subset\bigcup_{k=t+1}^{\infty}B_{k}$ e portanto:

A desigualdade $\mathfrak{m}^{*}(A)-\mathfrak{m}^{*}(A_{0})\leq\mathfrak{m}^{*}(A\setminus A_{0})$ segue do Corolário 1.4.9. ∎