1.1. Aritmética na Reta Estendida

Medidas associam números reais não negativos a conjuntos, mas a alguns conjuntos fica associado o valor infinito. Precisamos então tratar infinitudes como objetos que podem ser operados com somas e produtos. Introduzimos então formalmente a reta estendida que é a reta real usual acrescida de dois objetos +∞+\infty, −∞-\infty e com operações e relação de ordem definidas de maneira natural. Por uma questão de completude, listamos nesta seção em detalhes várias definições e propriedades relacionadas à reta estendida. Na Subseção 1.1.1 definimos o conceito de limite de uma seqüência na reta estendida e na Subseção 1.1.2 formalizamos o conceito de soma de uma família (possivelmente infinita) de elementos não negativos da reta estendida.

As noções formalizadas nesta seção são de caráter bastante intuitivo e acreditamos que o leitor pode optar pela omissão de sua leitura sem prejuízo significativo de compreensão das seções seguintes.

1.1.1 Notação.

Denotamos por ℝ\mathds{R} o corpo ordenado dos números reais.

Escolha dois objetos quaisquer não pertencentes à reta real ℝ\mathds{R} e denote-os por +∞+\infty e −∞-\infty.

1.1.2 Definição.

O conjunto ℝ¯=ℝ∪{+∞,−∞}\overline{\mathds{R}}=\mathds{R}\cup\{+\infty,-\infty\} será chamado a reta estendida. Um elemento a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} é dito finito (resp., infinito) quando a∈ℝa\in\mathds{R} (resp., a∉ℝa\not\in\mathds{R}).

A natureza dos objetos +∞+\infty e −∞-\infty é totalmente irrelevante; o que importa é a forma como eles interagem com os números reais através das operações e relações que definiremos a seguir em ℝ¯\overline{\mathds{R}}.

1.1.3 Definição.

Dados a,b∈ℝ¯a,b\in\overline{\mathds{R}}, escrevemos a<ba<b e dizemos que aa é menor que bb quando uma das seguintes condições é satisfeita:

  • •
    ​

    a,b∈ℝa,b\in\mathds{R} e a<ba<b na ordem usual de ℝ\mathds{R};

  • •
    ​

    b=+∞b=+\infty e a≠+∞a\neq+\infty;

  • •
    ​

    a=−∞a=-\infty e b≠−∞b\neq-\infty.

Escrevemos a>ba>b quando b<ab<a, a≤ba\leq b quando a<ba<b ou a=ba=b e escrevemos a≥ba\geq b quando b≤ab\leq a.

A relação binária << define uma relação de ordem total na reta estendida ℝ¯\overline{\mathds{R}}, ou seja, possui as seguintes propriedades:

  • •
    ​

    (anti-reflexividade) para todo a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}}, não é o caso que a<aa<a;

  • •
    ​

    (transitividade) para todos a,b,c∈ℝ¯a,b,c\in\overline{\mathds{R}}, se a<ba<b e b<cb<c então a<ca<c;

  • •
    ​

    (tricotomia) dados a,b∈ℝ¯a,b\in\overline{\mathds{R}} então a<ba<b, b<ab<a ou a=ba=b.

A relação de ordem em ℝ¯\overline{\mathds{R}} nos permite introduzir as notações de intervalo [a,b][a,b], ]a,b]\left]a,b\right], [a,b[\left[a,b\right[ e ]a,b[\left]a,b\right[, com a,b∈ℝ¯a,b\in\overline{\mathds{R}}, da maneira usual. Se AA é um subconjunto de ℝ¯\overline{\mathds{R}} podemos definir também o supremo (resp., o ínfimo) de AA em ℝ¯\overline{\mathds{R}} como sendo a menor cota superior (resp., a maior cota inferior) de AA em ℝ¯\overline{\mathds{R}}. O supremo (resp., o ínfimo) de um conjunto A⊂ℝ¯A\subset\overline{\mathds{R}} é denotado por supA\sup A (resp., infA\inf A); se (ai)i∈I(a_{i})_{i\in I} é uma família em ℝ¯\overline{\mathds{R}}, denotamos também o supremo (resp., o ínfimo) do conjunto {ai:i∈I}\{a_{i}:i\in I\} por supi∈Iai\sup_{i\in I}a_{i} (resp., infi∈Iai\inf_{i\in I}a_{i}). No Exercício 1.1 pedimos ao leitor para mostrar que todo subconjunto de ℝ¯\overline{\mathds{R}} possui supremo e ínfimo.

1.1.4 Definição.

A soma na reta estendida é definida da seguinte forma:

  • •
    ​

    se a,b∈ℝa,b\in\mathds{R} então a+ba+b é igual à soma usual de aa e bb em ℝ\mathds{R};

  • •
    ​

    (+∞)+a=a+(+∞)=+∞(+\infty)+a=a+(+\infty)=+\infty, se a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} e a≠−∞a\neq-\infty;

  • •
    ​

    (−∞)+a=a+(−∞)=−∞(-\infty)+a=a+(-\infty)=-\infty, se a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} e a≠+∞a\neq+\infty.

As somas (+∞)+(−∞)(+\infty)+(-\infty) e (−∞)+(+∞)(-\infty)+(+\infty) são consideradas indefinidas. Para a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} denotamos por −a-a o elemento de ℝ¯\overline{\mathds{R}} definido pelas condições:

  • •
    ​

    se a∈ℝa\in\mathds{R} então −a-a é o inverso de aa com relação à soma de ℝ\mathds{R};

  • •
    ​

    se a=+∞a=+\infty então −a=−∞-a=-\infty;

  • •
    ​

    se a=−∞a=-\infty então −a=+∞-a=+\infty.

Para a,b∈ℝ¯a,b\in\overline{\mathds{R}}, escrevemos a−b=a+(−b)a-b=a+(-b). Definimos também o módulo de a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} fazendo |a|=a|a|=a para a≥0a\geq 0 e |a|=−a|a|=-a para a<0a<0. O produto na reta estendida é definido da seguinte forma:

  • •
    ​

    se a,b∈ℝa,b\in\mathds{R} então a⋅ba\cdot b (ou, simplesmente, a⁢bab) é igual ao produto usual de aa e bb em ℝ\mathds{R};

  • •
    ​

    a⁢b=0ab=0 se a,b∈ℝ¯a,b\in\overline{\mathds{R}} e a=0a=0 ou b=0b=0;

  • •
    ​

    a⁢b=b⁢a=aab=ba=a, se a∈{+∞,−∞}a\in\{+\infty,-\infty\} e b>0b>0;

  • •
    ​

    a⁢b=b⁢a=−aab=ba=-a, se a∈{+∞,−∞}a\in\{+\infty,-\infty\} e b<0b<0.

Note que o produto é uma operação binária no conjunto ℝ¯\overline{\mathds{R}}, mas a soma é apenas uma operação binária parcialmente definida em ℝ¯\overline{\mathds{R}}, já que não atribuímos significado para (+∞)+(−∞)(+\infty)+(-\infty) e (−∞)+(+∞)(-\infty)+(+\infty). Note também que, de acordo com nossas convenções, 0⋅(±∞)=(±∞)⋅0=00\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot 0=0; essa convenção é conveniente em teoria da medida, embora possa parecer estranha para quem está acostumado com as propriedades usuais de limites de funções.

Na proposição abaixo resumimos as propriedades da ordem e das operações de ℝ¯\overline{\mathds{R}}; a demonstração é obtida simplesmente por uma verificação tediosa de diversos casos.

1.1.5 Proposição.

A ordem e as operações da reta estendida satisfazem as seguintes propriedades:

  • •
    ​

    a soma é associativa onde estiver bem-definida, i.e., (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c), para todos a,b,c∈ℝ¯a,b,c\in\overline{\mathds{R}}, desde que ou a,b,c≠+∞a,b,c\neq+\infty ou a,b,c≠−∞a,b,c\neq-\infty;

  • •
    ​

    a soma é comutativa onde estiver bem-definida, i.e., a+b=b+aa+b=b+a, para todos a,b∈ℝ¯a,b\in\overline{\mathds{R}}, desde que ou a,b≠+∞a,b\neq+\infty ou a,b≠−∞a,b\neq-\infty;

  • •
    ​

    o zero de ℝ\mathds{R} é o elemento neutro para a soma de ℝ¯\overline{\mathds{R}}, i.e., a+0=0+a=aa+0=0+a=a, para todo a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}};

  • •
    ​

    o produto é associativo, i.e., (a⁢b)⁢c=a⁢(b⁢c)(ab)c=a(bc), para todos a,b,c∈ℝ¯a,b,c\in\overline{\mathds{R}};

  • •
    ​

    o produto é comutativo, i.e., a⁢b=b⁢aab=ba, para todos a,b∈ℝ¯a,b\in\overline{\mathds{R}};

  • •
    ​

    a unidade de ℝ\mathds{R} é o elemento neutro para o produto de ℝ¯\overline{\mathds{R}}, i.e., a⋅1=1⋅a=aa\cdot 1=1\cdot a=a, para todo a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}};

  • •
    ​

    a soma é distributiva com relação ao produto, i.e., (a+b)⁢c=a⁢c+b⁢c(a+b)c=ac+bc, para todos a,b,c∈ℝ¯a,b,c\in\overline{\mathds{R}}, desde que as somas a+ba+b e a⁢c+b⁢cac+bc estejam bem-definidas;

  • •
    ​

    a ordem é compatível com a soma, i.e., se a≤ba\leq b então a+c≤b+ca+c\leq b+c, para todos a,b,c∈ℝ¯a,b,c\in\overline{\mathds{R}}, desde que as somas a+ca+c e b+cb+c estejam bem-definidas;

  • •
    ​

    a ordem é compatível com o produto, i.e., se a≤ba\leq b então a⁢c≤b⁢cac\leq bc, para todos a,b,c∈ℝ¯a,b,c\in\overline{\mathds{R}} com c≥0c\geq 0.∎

Algumas observações importantes seguem. A identidade a+(−a)=0a+(-a)=0 é válida apenas para a∈ℝa\in\mathds{R}; os elementos +∞+\infty e −∞-\infty não possuem inverso com respeito à soma. Em particular, as implicações:

a+c=b+c⟹a=bea=b+c⟹a−c=ba+c=b+c\Longrightarrow a=b\quad\text{e}\quad a=b+c\Longrightarrow a-c=b

são válidas apenas quando c∈ℝc\in\mathds{R}. A implicação:

a<b⟹a+c<b+ca<b\Longrightarrow a+c<b+c

é também apenas válida para c∈ℝc\in\mathds{R} e a implicação:

a<b⟹a⁢c<b⁢ca<b\Longrightarrow ac<bc

é válida apenas para 0<c<+∞0<c<+\infty.

1.1.1. Limites de seqüências na reta estendida

Limites de seqüências em ℝ¯\overline{\mathds{R}} podem ser definidos através da introdução de uma topologia em ℝ¯\overline{\mathds{R}} (veja Exercício 1.8). Para o leitor não familiarizado com a noção de espaço topológico, definimos a noção de limite de seqüência em ℝ¯\overline{\mathds{R}} diretamente.

1.1.6 Definição.

Seja (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} uma seqüência em ℝ¯\overline{\mathds{R}}. Dizemos que (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} converge para um elemento a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} e escrevemos ak→aa_{k}\to a se uma das situações abaixo ocorre:

  • •
    ​

    a∈ℝa\in\mathds{R} e para todo ε>0\varepsilon>0 existe k0≥1k_{0}\geq 1 tal que ak∈]a−ε,a+ε[a_{k}\in\left]a-\varepsilon,a+\varepsilon\right[ para todo k≥k0k\geq k_{0};

  • •
    ​

    a=+∞a=+\infty e para todo M<+∞M<+\infty existe k0≥1k_{0}\geq 1 tal que ak>Ma_{k}>M para todo k≥k0k\geq k_{0};

  • •
    ​

    a=−∞a=-\infty e para todo M>−∞M>-\infty existe k0≥1k_{0}\geq 1 tal que ak<Ma_{k}<M para todo k≥k0k\geq k_{0}.

Quando existe a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} com ak→aa_{k}\to a dizemos que a seqüência (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} é convergente em ℝ¯\overline{\mathds{R}}. Nesse caso, é fácil mostrar que tal a∈ℝ¯a\in\overline{\mathds{R}} é único e é chamado o limite da seqüência (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1}; denotâmo-lo por limk→∞ak\lim_{k\to\infty}a_{k}.

Uma seqüência (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} em ℝ¯\overline{\mathds{R}} é dita crescente (resp., decrescente) se ak≤ak+1a_{k}\leq a_{k+1} (resp., se ak≥ak+1a_{k}\geq a_{k+1}), para todo k≥1k\geq 1. Uma seqüência que é ou crescente ou decrescente é dita monótona. Deixamos a demonstração do seguinte resultado simples a cargo do leitor.

1.1.7 Lema.

Toda seqüência monótona em ℝ¯\overline{\mathds{R}} é convergente em ℝ¯\overline{\mathds{R}}. Mais especificamente, se (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} é uma seqüência crescente (resp., decrescente) em ℝ¯\overline{\mathds{R}} então limk→∞ak=supk≥1ak\lim_{k\to\infty}a_{k}=\sup_{k\geq 1}a_{k} (resp., limk→∞ak=infk≥1ak\lim_{k\to\infty}a_{k}=\inf_{k\geq 1}a_{k}).

Demonstração.

Veja Exercício 1.2. ∎

Enunciamos a seguir as propriedades operatórias dos limites na reta estendida:

1.1.8 Lema.

Sejam (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1}, (bk)k≥1(b_{k})_{k\geq 1} seqüências convergentes em ℝ¯\overline{\mathds{R}}, com limk→∞ak=a\lim_{k\to\infty}a_{k}=a e limk→∞bk=b\lim_{k\to\infty}b_{k}=b. Então:

  • •
    ​

    se a soma a+ba+b estiver bem-definida então a soma ak+bka_{k}+b_{k} está bem-definida para todo kk suficientemente grande e:

    limk→∞ak+bk=a+b;\lim_{k\to\infty}a_{k}+b_{k}=a+b;
  • •
    ​

    se {|a|,|b|}≠{0,+∞}\{|a|,|b|\}\neq\{0,+\infty\} então limk→∞ak⁢bk=a⁢b\lim_{k\to\infty}a_{k}b_{k}=ab.

Demonstração.

Veja Exercício 1.4. ∎

1.1.9 Definição.

Seja (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} uma seqüência em ℝ¯\overline{\mathds{R}}. O limite superior e o limite inferior da seqüência (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1}, denotados respectivamente por lim supk→∞ak\limsup_{k\to\infty}a_{k} e lim infk→∞ak\liminf_{k\to\infty}a_{k}, são definidos por:

lim supk→∞ak=infk≥1supr≥kar,lim infk→∞ak=supk≥1infr≥kar.\limsup_{k\to\infty}a_{k}=\mathop{\vphantom{\sup}\inf}\limits_{k\geq 1}\sup_{r% \geq k}a_{r},\quad\liminf_{k\to\infty}a_{k}=\sup_{k\geq 1}\mathop{\vphantom{% \sup}\inf}\limits_{r\geq k}a_{r}.

Temos a seguinte:

1.1.10 Proposição.

Seja (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} uma seqüência em ℝ¯\overline{\mathds{R}}. Então:

lim infk→∞ak≤lim supk→∞ak,\liminf_{k\to\infty}a_{k}\leq\limsup_{k\to\infty}a_{k},

sendo que a igualdade vale se e somente se a seqüência (ak)k≥1(a_{k})_{k\geq 1} é convergente; nesse caso:

limk→∞ak=lim infk→∞ak=lim supk→∞ak.\lim_{k\to\infty}a_{k}=\liminf_{k\to\infty}a_{k}=\limsup_{k\to\infty}a_{k}.
Demonstração.

Veja Exercício 1.6 ∎

1.1.2. Somas infinitas em [0,+∞]{[0,+\infty]}

Se (ai)i∈I(a_{i})_{i\in I} é uma família finita em ℝ¯\overline{\mathds{R}} então, já que a soma de ℝ¯\overline{\mathds{R}} é associativa e comutativa, podemos definir a soma ∑i∈Iai\sum_{i\in I}a_{i} de maneira óbvia, desde que ai≠+∞a_{i}\neq+\infty para todo i∈Ii\in I ou ai≠−∞a_{i}\neq-\infty para todo i∈Ii\in I. Definiremos a seguir um significado para somas de famílias infinitas de elementos não negativos de ℝ¯\overline{\mathds{R}}. É possível também definir somas de famílias que contenham elementos negativos de ℝ¯\overline{\mathds{R}}, mas esse conceito não será necessário no momento.

1.1.11 Definição.

Seja (ai)i∈I(a_{i})_{i\in I} uma família arbitrária em [0,+∞][0,+\infty]. A soma ∑i∈Iai\sum_{i\in I}a_{i} é definida por:

∑i∈Iai=sup{∑i∈Fai:F⊂I um subconjunto finito}.\sum_{i\in I}a_{i}=\sup\Big{\{}\sum_{i\in F}a_{i}:\text{$F\subset I$ um % subconjunto finito}\Big{\}}.

Se II é o conjunto dos inteiros positivos então denotamos a soma ∑i∈Iai\sum_{i\in I}a_{i} também por ∑i=1∞ai\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}; segue facilmente do Lema 1.1.7 que:

∑i=1∞ai=limk→∞∑i=1kai.\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}=\lim_{k\to\infty}\,\sum_{i=1}^{k}a_{i}.

Deixamos a demonstração do seguinte resultado a cargo do leitor.

1.1.12 Proposição.

Somas de famílias em [0,+∞][0,+\infty] satisfazem as seguintes propriedades:

  • •
    ​

    se (ai)i∈I(a_{i})_{i\in I} e (bi)i∈I(b_{i})_{i\in I} são famílias em [0,+∞][0,+\infty] então:

    ∑i∈I(ai+bi)=∑i∈Iai+∑i∈Ibi;\sum_{i\in I}(a_{i}+b_{i})=\sum_{i\in I}a_{i}+\sum_{i\in I}b_{i};
  • •
    ​

    se (ai)i∈I(a_{i})_{i\in I} é uma família em [0,+∞][0,+\infty] e c∈[0,+∞]c\in[0,+\infty] então

    ∑i∈Ic⁢ai=c⁢∑i∈Iai;\sum_{i\in I}c\,a_{i}=c\sum_{i\in I}a_{i};
  • •
    ​

    se (ai)i∈I(a_{i})_{i\in I} é uma família em [0,+∞][0,+\infty] e se ϕ:I′→I\phi:I^{\prime}\to I é uma função bijetora então:

    ∑i∈I′aϕ⁢(i)=∑i∈Iai;\sum_{i\in I^{\prime}}a_{\phi(i)}=\sum_{i\in I}a_{i};
  • •
    ​

    se (aλ)λ∈Λ(a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda} é uma família em [0,+∞][0,+\infty] e se (Ji)i∈I(J_{i})_{i\in I} é uma família de conjuntos dois a dois disjuntos com Λ=⋃i∈IJi\Lambda=\bigcup_{i\in I}J_{i} então:

    ∑λ∈Λaλ=∑i∈I(∑λ∈Jiaλ).\sum_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=\sum_{i\in I}\Big{(}\sum_{\lambda\in J_{i}% }a_{\lambda}\Big{)}.
Demonstração.

Veja Exercício 1.7. ∎

A última propriedade no enunciado da Proposição 1.1.12 implica em particular que:

∑i∈I(∑j∈Jai⁢j)=∑(i,j)∈I×Jai⁢j=∑j∈J(∑i∈Iai⁢j),\sum_{i\in I}\Big{(}\sum_{j\in J}a_{ij}\Big{)}=\!\!\!\sum_{(i,j)\in I\times J}% \!\!\!a_{ij}=\sum_{j\in J}\Big{(}\sum_{i\in I}a_{ij}\Big{)},

onde (ai⁢j)(i,j)∈I×J(a_{ij})_{(i,j)\in I\times J} é uma família em [0,+∞][0,+\infty]. Basta tomar Λ=I×J\Lambda=I\times J e Ji={i}×JJ_{i}=\{i\}\times J, para todo i∈Ii\in I.