1.3. Volume de Blocos Retangulares

1.3.1 Definição.

Um bloco retangular $n$ -dimensional é um subconjunto $B$ de $\mathds{R}^{n}$ ( $n\geq 1$ ) que é ou vazio, ou da forma:

B=\prod_{i=1}^{n}\,[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}],

onde $a_{i},b_{i}\in\mathds{R}$ , $a_{i}\leq b_{i}$ , para $i=1,2,\ldots,n$ . O volume do bloco $B$ acima é definido por:

|B|=\prod_{i=1}^{n}\,(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{n}-a_{n}),

e por $|B|=0$ , caso $B=\emptyset$ .

Quando $n=1$ então um bloco retangular $n$ -dimensional $B$ é simplesmente um intervalo fechado e limitado (possivelmente um conjunto unitário ou vazio) e o escalar $|B|$ será chamado também o comprimento de $B$ . Quando $n=2$ , um bloco retangular $n$ -dimensional $B$ será chamado também um retângulo e o escalar $|B|$ será chamado também a área de $B$ .

1.3.2 Definição.

Dados $a,b\in\mathds{R}$ , $a<b$ , então uma partição do intervalo $[a,b]$ é um subconjunto finito $P\subset[a,b]$ com $a,b\in P$ ; tipicamente escrevemos $P:a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=b$ quando $P=\{t_{0},t_{1},\ldots,t_{k}\}$ . Os sub-intervalos de $[a,b]$ determinados pela partição $P$ são os intervalos $[t_{i},t_{i+1}]$ , $i=0,\ldots,k-1$ . Denotamos por $\overline{P}$ o conjunto dos sub-intervalos de $[a,b]$ deterninados por $P$ , ou seja:

\overline{P}=\big{\{}[t_{i},t_{i+1}];i=0,1,\ldots,k-1\big{\}}.

Se $B=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$ é um bloco retangular $n$ -dimensional com $|B|>0$ (ou seja, $a_{i}<b_{i}$ , para $i=1,\ldots,n$ ), então uma partição de $B$ é uma $n$ -upla $P=(P_{1},\ldots,P_{n})$ , onde $P_{i}$ é uma partição do intervalo $[a_{i},b_{i}]$ , para cada $i=1,\ldots,n$ . Os sub-blocos de $B$ determinados pela partição $P$ são os blocos retangulares $n$ -dimensionais da forma $\prod_{r=1}^{n}I_{r}$ , onde $I_{r}$ é um sub-intervalo de $[a_{r},b_{r}]$ determinado pela partição $P_{r}$ , para $r=1,\ldots,n$ . Denotamos por $\overline{P}$ o conjunto dos sub-blocos de $B$ determinados por $P$ , ou seja:

\overline{P}=\big{\{}I_{1}\times\cdots\times I_{n}:I_{r}\in\overline{P_{r}},\ % r=1,\ldots,n\big{\}}.

1.3.3 Lema.

Se $B=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$ é um bloco retangular $n$ -dimensional com $|B|>0$ e se $P=(P_{1},\ldots,P_{n})$ é uma partição de $B$ então:

|B|=\sum_{\mathfrak{b}\in\overline{P}}|\mathfrak{b}|.

Demonstração.

Usamos indução em $n$ . O caso $n=1$ é trivial. Suponha então que $n>1$ e que o resultado é válido para blocos retangulares de dimensão menor que $n$ . Sejam $B^{\prime}=\prod_{i=1}^{n-1}[a_{i},b_{i}]$ e $P^{\prime}=(P_{1},\ldots,P_{n-1})$ , de modo que $P^{\prime}$ é uma partição do bloco retangular $(n-1)$ -dimensional $B^{\prime}$ . Escrevendo $P_{n}:a_{n}=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=b_{n}$ temos:

|B|=|B^{\prime}|(b_{n}-a_{n})=\Big{(}\sum_{\mathfrak{b}^{\prime}\in\overline{P% ^{\prime}}}|\mathfrak{b}^{\prime}|\Big{)}\Big{(}\sum_{i=0}^{k-1}(t_{i+1}-t_{i}% )\Big{)}=\!\!\!\!\sum_{\begin{subarray}{c}\mathfrak{b}^{\prime}\in\overline{P^% {\prime}}\\ i=0,\ldots,k-1\end{subarray}}\!\!\!\big{|}\mathfrak{b}^{\prime}\times[t_{i},t_% {i+1}]\big{|}.

A conclusão segue observando que os blocos $\mathfrak{b}^{\prime}\times[t_{i},t_{i+1}]$ com $\mathfrak{b}^{\prime}\in\overline{P^{\prime}}$ e $i=0,\ldots,k-1$ são precisamente os sub-blocos de $B$ determinados pela partição $P$ . ∎

1.3.4 Observação.

Note que a interseção de dois blocos retangulares $n$ -dimensionais é também um bloco retangular $n$ -dimensional. Note também que se $B$ e $B^{\prime}$ são blocos retangulares $n$ -dimensionais com $B\subset B^{\prime}$ então $|B|\leq|B^{\prime}|$ .

1.3.5 Lema.

Sejam $B$ , $B_{1}$ , …, $B_{t}$ blocos retangulares $n$ -dimensionais com $B\subset\bigcup_{r=1}^{t}B_{r}$ . Então $|B|\leq\sum_{r=1}^{t}|B_{r}|$ .

Demonstração.

Em vista da Observação 1.3.4, substituindo cada bloco $B_{r}$ por $B_{r}\cap B$ e descartando os índices $r$ com $B_{r}\cap B=\emptyset$ , podemos supor sem perda de generalidade que $B=\bigcup_{r=1}^{t}B_{r}$ e que $B_{r}\neq\emptyset$ para todo $r=1,\ldots,t$ . Podemos supor também que $|B|>0$ , senão o resultado é trivial. Escreva então $B=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$ com $a_{i}<b_{i}$ , $i=1,\ldots,n$ , e $B_{r}=\prod_{i=1}^{n}[a_{i}^{r},b_{i}^{r}]$ com $a_{i}^{r}\leq b_{i}^{r}$ , $i=1,\ldots,n$ . Para cada $i=1,\ldots,n$ , o conjunto

P_{i}=\{a_{i},b_{i}\}\cup\{a_{i}^{r},b_{i}^{r};r=1,\ldots,t\}

é uma partição do intervalo $[a_{i},b_{i}]$ e portanto $P=(P_{1},\ldots,P_{n})$ é uma partição do bloco $B$ . Para cada $r=1,\ldots,t$ com $|B_{r}|>0$ , tomamos $P_{i}^{r}=P_{i}\cap[a_{i}^{r},b_{i}^{r}]$ , $i=1,\ldots,n$ e $P^{r}=(P_{1}^{r},\ldots,P_{n}^{r})$ , de modo que $P^{r}$ é uma partição do bloco $B_{r}$ . Temos que se $\mathfrak{b}=\prod_{i=1}^{n}[\alpha_{i},\beta_{i}]$ é um sub-bloco de $B$ determinado pela partição $P$ então existe um índice $r=1,\ldots,t$ tal que $|B_{r}|>0$ e $\mathfrak{b}$ é um sub-bloco de $B_{r}$ determinado pela partiação $P^{r}$ . De fato, como $B=\bigcup_{r=1}^{t}B_{r}$ então $\prod_{i=1}^{n}\left]\alpha_{i},\beta_{i}\right[$ intercepta $B_{r}$ , para algum $r=1,\ldots,t$ tal que¹¹ 1 Os blocos de volume zero são conjuntos fechados de interior vazio e portanto a união de um número finito deles também tem interior vazio. Assim, o aberto não vazio $\prod_{i=1}^{n}\left]\alpha_{i},\beta_{i}\right[$ não pode estar contido na união dos blocos $B_{r}$ de volume zero. $|B_{r}|>0$ . Daí é fácil ver que $[\alpha_{i},\beta_{i}]$ é um sub-intervalo de $[a_{i}^{r},b_{i}^{r}]$ determinado pela partição $P_{i}^{r}$ para $i=1,\ldots,n$ e portanto $\mathfrak{b}$ é um sub-bloco de $B_{r}$ determinado pela partição $P^{r}$ . Mostramos então que:

\overline{P}\subset\!\!\!\bigcup_{\begin{subarray}{c}r=1,\ldots,t\\ |B_{r}|>0\end{subarray}}\!\overline{P^{r}}.

A conclusão segue agora do Lema 1.3.3 observando que:

|B|=\sum_{\mathfrak{b}\in\overline{P}}|\mathfrak{b}|\leq\!\!\!\sum_{\begin{% subarray}{c}r=1,\ldots,t\\ |B_{r}|>0\end{subarray}}\;\sum_{\mathfrak{b}\in\overline{P^{r}}}|\mathfrak{b}|% =\sum_{r=1}^{t}|B_{r}|.\qed