1.6. Conjuntos não Mensuráveis

A desigualdade (1.6.1) é trivial para $\mathfrak{m}(U)=+\infty$, de modo que podemos supor que $\mathfrak{m}(U)<+\infty$. Para cada $k\geq 1$, consideramos o conjunto $U_{k}$ definido por:

Como $U$ é aberto, temos que $d(x,U^{\mathrm{c}})>0$ se e somente se $x\in U$; isso implica que $U=\bigcup_{k=1}^{\infty}U_{k}$ e portanto $U_{k}\nearrow U$. A continuidade da função $x\mapsto d(x,U^{\mathrm{c}})$ implica que cada $U_{k}$ é aberto e portanto mensurável. Pelo Lema 1.4.48, temos $\mathfrak{m}(U)=\lim_{k\to\infty}\mathfrak{m}(U_{k})$ e portanto existe $k\geq 1$ tal que:

Tome $\delta=\frac{1}{k}$ e seja $x\in\mathds{R}^{n}$ com $\|x\|<\delta$. Para todo $y\in U_{k}$, temos $d(y,y-x)=\|x\|<\frac{1}{k}$ e portanto $y-x\in U$, i.e., $y\in U+x$. Segue então que $U_{k}\subset U\cap(U+x)$ e portanto:

A conclusão é obtida agora do cálculo abaixo:

onde usamos o Lema 1.4.10 e o resultado do Exercício 1.18. ∎

Se $\mathfrak{m}(A)=+\infty$ então $A$ contém um conjunto mensurável $A_{0}$ tal que $0<\mathfrak{m}(A_{0})<+\infty$ (isso segue, por exemplo, do Corolário 1.4.58). Como $A_{0}^{-}\subset A^{-}$, podemos considerar apenas o caso em que $\mathfrak{m}(A)<+\infty$. Pelo Lema 1.4.12, existe um aberto $U\subset\mathds{R}^{n}$ contendo $A$ tal que $\mathfrak{m}(U)<2\mathfrak{m}(A)$. Seja $\varepsilon>0$ tal que $\mathfrak{m}(U)+\varepsilon<2\mathfrak{m}(A)$. Pelo Lema 1.6.2, existe $\delta>0$ tal que $\mathfrak{m}\big{(}U\cup(U+x)\big{)}\leq\mathfrak{m}(U)+\varepsilon$, para todo $x\in\mathds{R}^{n}$ com $\|x\|<\delta$. Afirmamos que $A^{-}$ contém a bola aberta de centro na origem e raio $\delta$. Senão, existiria $x\in\mathds{R}^{n}$ com $\|x\|<\delta$ e $x\not\in A^{-}$; daí $A$ e $A+x$ seriam conjuntos mensuráveis disjuntos (veja Exercício 1.10) e portanto, usando o Lema 1.4.10, concluiríamos que:

e obteríamos portanto uma contradição. ∎

Dado um compacto $K\subset A$ então $K$ é mensurável e $K^{-}$ não contém uma vizinhança da origem. Segue então do Lema 1.6.4 que $\mathfrak{m}(K)=0$. ∎

Assuma que o grafo $G$ é $2$-colorível, i.e., existe um $2$-colorimento $f:V\to\{0,1\}$ de $G$. Seja $(x_{i})_{i=0}^{p}$ um circuito de $G$. Mostremos que $p$ é par. Para fixar as idéias, assuma que $f(x_{0})=0$. Como os vértices $x_{0}$ e $x_{1}$ são adjacentes, temos $f(x_{1})\neq f(x_{0})$ e portanto $f(x_{1})=1$. Similarmente, vemos que $f(x_{2})=0$ e, mais geralmente, $f(x_{i})=0$ para $i$ par e $f(x_{i})=1$ para $i$ ímpar. Como $f(x_{p})=f(x_{0})=0$, concluímos que $p$ deve ser par. Reciprocamente, assuma agora que o grafo $G$ não possui circuito de comprimento ímpar e mostremos que $G$ é $2$-colorível. É fácil ver que:

• •
  ​

  nenhuma componente conexa de $G$ possui um circuito de comprimento ímpar;

• •
  ​

  se cada componente conexa de $G$ é $2$-colorível então $G$ é $2$-colorível.

Podemos então supor que $G$ é conexo. Dados vértices $x,y\in V$ de $G$ então os comprimentos de dois caminhos em $G$ começando em $x$ e terminando em $y$ têm a mesma paridade. De fato, se $(x_{i})_{i=0}^{p}$ e $(x^{\prime}_{i})_{i=0}^{q}$ são caminhos em $G$ começando em $x$ e terminando em $y$ então:

é um circuito em $G$ de comprimento $p+q$. Logo $p+q$ é par e portanto $p$ e $q$ possuem a mesma paridade. Fixamos agora um vértice $x_{0}\in V$ e definimos $f:V\to\{0,1\}$ fazendo $f(x)=0$ se todo caminho começando em $x_{0}$ e terminando em $x$ tem comprimento par e $f(x)=1$ se todo caminho começando em $x_{0}$ e terminando em $x$ tem comprimento ímpar. É fácil ver que $f$ é um $2$-colorimento para $G$. ∎

Em vista do Lema 1.6.9, basta mostrar que $G(\mathds{R}^{n},S)$ não possui circuito de comprimento ímpar se e somente se $S$ possui a propriedade ($*$). Assuma que $S$ possui a propriedade ($*$) e que $(x_{i})_{i=0}^{p}$ é um circuito de $G(\mathds{R}^{n},S)$. Mostremos que $p$ é par. Para cada $i=0,\ldots,p-1$ temos que $x_{i+1}-x_{i}\in S$ ou $x_{i}-x_{i+1}\in S$; podemos então escrever $x_{i+1}-x_{i}=n_{i}s_{i}$, com $n_{i}\in\{\pm 1\}$ e $s_{i}\in S$. Daí:

e logo $\sum_{i=0}^{p-1}n_{i}$ é par. Mas $\sum_{i=0}^{p-1}|n_{i}|$ tem a mesma paridade que $\sum_{i=0}^{p-1}n_{i}$ e portanto $\sum_{i=0}^{p-1}|n_{i}|=p$ é par. Reciprocamente, suponha que $G(\mathds{R}^{n},S)$ não possui circuito de comprimento ímpar e mostremos que $S$ possui a propriedade ($*$). Sejam $s_{1},\ldots,s_{k}\in S$ e $n_{1},\ldots,n_{k}\in\mathds{Z}$ com $\sum_{i=1}^{k}n_{i}s_{i}=0$. Escreva $s^{\prime}_{i}=s_{i}$ se $n_{i}\geq 0$ e $s^{\prime}_{i}=-s_{i}$ se $n_{i}<0$, de modo que $n_{i}s_{i}=|n_{i}|s^{\prime}_{i}$ e $s^{\prime}_{i}\in S$ ou $-s^{\prime}_{i}\in S$, para todo $i=1,\ldots,k$. Temos que $\sum_{i=1}^{k}|n_{i}|s^{\prime}_{i}=0$, ou seja:

Sejam $p=\sum_{i=1}^{k}|n_{i}|$, $x_{0}=0$ e, para $j=1,2,\ldots,p$, seja $x_{j}$ a soma dos primeiros $j$ termos da soma que aparece do lado esquerdo da identidade (1.6.2). Temos que $(x_{j})_{j=0}^{p}$ é um circuito em $G(\mathds{R}^{n},S)$ de comprimento $p$ e portanto $p$ é par. Finalmente, como $\sum_{i=1}^{k}|n_{i}|$ e $\sum_{i=1}^{k}n_{i}$ têm a mesma paridade, segue que $\sum_{i=1}^{k}n_{i}$ é par. ∎

Dados $x,y\in A$ então $f(x)=f(y)=0$ e portanto os vértices $x$ e $y$ não podem ser adjacentes no grafo $G(\mathds{R}^{n},S)$. Em particular, $x-y\not\in S$, o que mostra que o conjunto das diferenças $A^{-}$ é disjunto de $S$. Como a origem é um ponto de acumulação de $S$, segue que $A^{-}$ não pode conter uma vizinhança da origem e portanto, pelo Corolário 1.6.5, $A$ tem medida interior nula. Analogamente, vemos que $B^{-}\cap S=\emptyset$ e portanto $\mathfrak{m}_{*}(B)=0$. ∎