1.2. O Problema da Medida

1.2.1 Notação.

Denotamos por $\wp(X)$ o conjuntos de todas as partes de um conjunto $X$ , por $\mathds{Q}$ o corpo ordenado dos números racionais e por $\mathds{Z}$ o anel dos números inteiros.

Queremos investigar a existência de uma função $\mu:\wp(\mathds{R})\to[0,+\infty]$ satisfazendo as seguintes propriedades:

(a)

dada uma seqüência $(A_{n})_{n\geq 1}$ de subconjuntos de $\mathds{R}$ dois a dois disjuntos então:

$\mu\Big{(}\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\Big{)}=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n});$
(b)

$\mu(A+x)=\mu(A)$ , para todo $A\subset\mathds{R}$ e todo $x\in\mathds{R}$ , onde:

$A+x=\big{\{}a+x:a\in A\big{\}}$

denota a translação de $A$ por $x$ ;
(c)

$0<\mu\big{(}[0,1]\big{)}<+\infty$ .

Nosso objetivo é mostrar que tal função $\mu$ não existe. Antes disso, observamos algumas conseqüências simples das propriedades (a), (b) e (c) acima.

1.2.2 Lema.

Se uma função $\mu:\wp(\mathds{R})\to[0,+\infty]$ satisfaz as propriedades (a), (b) e (c) acima então ela também satisfaz as seguintes propriedades:

(d)

$\mu(\emptyset)=0$ ;
(e)

dada uma coleção finita $(A_{k})_{k=1}^{n}$ de subconjuntos de $\mathds{R}$ dois a dois disjuntos então:

$\mu\Big{(}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\Big{)}=\sum_{k=1}^{n}\mu(A_{k});$
(f)

se $A\subset B\subset\mathds{R}$ então $\mu(A)\leq\mu(B)$ ;
(g)

dados $a,b\in\mathds{R}$ com $a\leq b$ então $\mu\big{(}[a,b]\big{)}<+\infty$ .

Demonstração.

$\bullet$

Prova de (d).

Tome $A_{1}=[0,1]$ e $A_{n}=\emptyset$ para $n\geq 2$ na propriedade (a) e use a propriedade (c).
$\bullet$

Prova de (e).

Tome $A_{k}=\emptyset$ para $k>n$ e use as propriedades (a) e (d).
$\bullet$

Prova de (f).

Basta observar que a propriedade (e) implica que:

$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A),$

onde $\mu(B\setminus A)\geq 0$ .
$\bullet$

Prova de (g).

Seja $n$ um inteiro positivo tal que $b<a+n$ . As propriedades (e) e (f) implicam que:

$\mu\big{(}[a,b]\big{)}\leq\mu\big{(}\left[a,a+n\right[\big{)}=\sum_{k=0}^{n-1}% \mu\big{(}\left[a+k,a+k+1\right[\big{)}\\ \leq\sum_{k=0}^{n-1}\mu\big{(}[a+k,a+k+1]\big{)},$

e as propriedades (b) e (c) implicam que:

$\mu\big{(}[a+k,a+k+1]\big{)}=\mu\big{(}[0,1]\big{)}<+\infty,$

para todo $k$ .∎

Finalmente, mostramos a seguinte:

1.2.3 Proposição.

Não existe uma função $\mu:\wp(\mathds{R})\to[0,+\infty]$ satisfazendo as propriedades (a), (b) e (c) acima.

Demonstração.

Pelo Lema 1.2.2, as propriedades (a), (b) e (c) implicam as propriedades (d), (e), (f) e (g). Considere a relação binária $\sim$ no intervalo $[0,1]$ definida por:

x\sim y\Longleftrightarrow x-y\in\mathds{Q},

para todos $x,y\in[0,1]$ . É fácil ver que $\sim$ é uma relação de equivalência em $[0,1]$ . Seja $A\subset[0,1]$ um conjunto escolha para $\sim$ , i.e., $A$ possui exatamente um elemento de cada classe de equivalência. Temos então que $x-y\not\in\mathds{Q}$ , para todos $x,y\in A$ com $x\neq y$ . Em particular, os conjuntos $(A+q)_{q\in\mathds{Q}}$ são dois a dois disjuntos. Note também que para todo $x\in[0,1]$ existe $y\in A$ com $x-y\in\mathds{Q}$ ; na verdade, temos $x-y\in\mathds{Q}\cap[-1,1]$ , já que $x,y\in[0,1]$ . Segue então que:

[0,1]\subset\!\!\!\!\!\!\!\bigcup_{q\in\mathds{Q}\cap[-1,1]}\!\!\!\!(A+q)% \subset[-1,2].

Como $\mathds{Q}\cap[-1,1]$ é enumerável, as propriedades (a), (b) e (f) implicam:

\mu\big{(}[0,1]\big{)}\leq\!\!\!\!\!\!\sum_{q\in\mathds{Q}\cap[-1,1]}\!\!\!\mu% (A+q)=\!\!\!\!\!\!\sum_{q\in\mathds{Q}\cap[-1,1]}\!\!\!\mu(A)\leq\mu\big{(}[-1% ,2]\big{)}.

Agora, se $\mu(A)=0$ concluímos que $\mu\big{(}[0,1]\big{)}=0$ , contradizendo (c); se $\mu(A)>0$ concluímos que $\mu\big{(}[-1,2]\big{)}=+\infty$ , contradizendo (g). ∎