Exercícios para o Capítulo 1

Mostre que todo subconjunto da reta estendida possui supremo e ínfimo.

Prove o Lema 1.1.7.

Dadas famílias $(a_{i})_{i\in I}$ e $(b_{j})_{j\in J}$ em $\overline{\mathds{R}}$ tais que a soma $a_{i}+b_{j}$ é bem definida para todos $i\in I$, $j\in J$, mostre que:

desde que a soma $\sup_{i\in I}a_{i}+\sup_{j\in J}b_{j}$ esteja bem definida. Mostre também que:

desde que a soma $\inf_{i\in I}a_{i}+\inf_{j\in J}b_{j}$ esteja bem definida.

Prove o Lema 1.1.8.

Sejam $(a_{k})_{k\geq 1}$ e $(b_{k})_{k\geq 1}$ seqüências crescentes no intervalo $[0,+\infty]$. Mostre que:

Prove a Proposição 1.1.10.

Prove a Proposição 1.1.12.

• •
  ​

  Mostre que os conjuntos:

  	$$\displaystyle\left]a,b\right[,\quad a,b\in\overline{\mathds{R}},\ a<b,$$
  	$$\displaystyle\left[-\infty,a\right[,\quad a\in\overline{\mathds{R}},\ a>-\infty,$$
  	$$\displaystyle\left]a,+\infty\right],\quad a\in\overline{\mathds{R}},\ a<+\infty,$$

  constituem uma base de abertos para uma topologia em $\overline{\mathds{R}}$.

• •
  ​

  Mostre que a aplicação $f:[-1,1]\to\overline{\mathds{R}}$ definida por:

  $$f(x)=\begin{cases}\hfil-\infty,&\text{se $x=-1$},\\[3.0pt] \dfrac{x}{1-x^{2}},&\text{se $x\in\left]-1,1\right[$},\\[5.0pt] \hfil+\infty,&\text{se $x=1$},\end{cases}$$

  é um homeomorfismo.

• •
  ​

  Mostre que uma seqüência $(a_{k})_{k\geq 1}$ em $\overline{\mathds{R}}$ converge para um elemento $a\in\overline{\mathds{R}}$ com respeito à topologia introduzida acima se e somente se $(a_{k})_{k\geq 1}$ converge para $a$ de acordo com a Definição 1.1.6.

• •
  ​

  Mostre que a função $D_{+}\ni(a,b)\mapsto a+b\in\overline{\mathds{R}}$ é contínua, onde:

  $$D_{+}=(\,\overline{\mathds{R}}\times\overline{\mathds{R}}\,)\setminus\big{\{}(-\infty,+\infty),(+\infty,-\infty)\big{\}}$$

  é munido da topologia induzida pela topologia produto de $\overline{\mathds{R}}\times\overline{\mathds{R}}$.

• •
  ​

  Mostre que a função $\overline{\mathds{R}}\times\overline{\mathds{R}}\ni(a,b)\mapsto ab\in\overline{\mathds{R}}$ é contínua, exceto nos pontos $(+\infty,0)$, $(-\infty,0)$, $(0,+\infty)$ e $(0,-\infty)$.

Dado $A\subset\mathds{R}^{n}$, mostre que:

Se $A\subset\mathds{R}^{n}$ é um conjunto mensurável, mostre que $A+x$ também é mensurável para todo $x\in\mathds{R}^{n}$.

Seja $\sigma$ uma permutação de $n$ elementos, ou seja, uma bijeção do conjunto $\{1,\ldots,n\}$ sobre si próprio. Considere o isomorfismo linear $\widehat{\sigma}:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ definido por:

para todo $(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathds{R}^{n}$. Mostre que:

• (a)
  ​

  se $B$ é um bloco retangular $n$-dimensional então $\widehat{\sigma}(B)$ é também um bloco retangular $n$-dimensional e $|\widehat{\sigma}(B)|=|B|$;

• (b)
  ​

  para todo $A\subset\mathds{R}^{n}$, vale a igualdade $\mathfrak{m}^{*}\big{(}\widehat{\sigma}(A)\big{)}=\mathfrak{m}^{*}(A)$;

• (c)
  ​

  se $A\subset\mathds{R}^{n}$ é mensurável então $\widehat{\sigma}(A)$ também é mensurável.

Dado um vetor $\lambda=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})\in\mathds{R}^{n}$ com todas as coordenadas não nulas, consideramos o isomorfismo linear $D_{\lambda}:\mathds{R}^{n}\to\mathds{R}^{n}$ definido por:

para todo $(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathds{R}^{n}$. Mostre que:

• (a)
  ​

  se $B$ é um bloco retangular $n$-dimensional então $D_{\lambda}(B)$ é também um bloco retangular $n$-dimensional e:

  $$|D_{\lambda}(B)|=|\lambda_{1}|\cdots|\lambda_{n}|\,|B|=|\det D_{\lambda}|\,|B|;$$
• (b)
  ​

  para todo $A\subset\mathds{R}^{n}$, vale a igualdade $\mathfrak{m}^{*}\big{(}D_{\lambda}(A)\big{)}=|\det D_{\lambda}|\,\mathfrak{m}^{*}(A)$;

• (c)
  ​

  se $A\subset\mathds{R}^{n}$ é mensurável então $D_{\lambda}(A)$ também é mensurável.

Sejam $A,B\subset\mathds{R}^{n}$ tais que $\mathfrak{m}^{*}(A\bigtriangleup B)=0$. Mostre que:

• •
  ​

  $\mathfrak{m}^{*}(A)=\mathfrak{m}^{*}(B)$;

• •
  ​

  $A$ é mensurável se e somente se $B$ é mensurável.

Dado um subconjunto mensurável $A\subset\mathds{R}^{n}$ tal que $\mathfrak{m}(A)<+\infty$, mostre que, para todo $\varepsilon>0$, existem blocos retangulares $n$-dimensionais $B_{1}$, …, $B_{t}$ com interiores dois a dois disjuntos de modo que:

Dados subconjuntos $A,B\subset\mathds{R}^{n}$ com $\mathfrak{m}^{*}(A)<+\infty$ ou $\mathfrak{m}^{*}(B)<+\infty$, mostre que:

Seja $A\subset\mathds{R}^{n}$ e seja $E\subset\mathds{R}^{n}$ um envelope mensurável de $A$. Se $E^{\prime}$ é um conjunto mensurável tal que $A\subset E^{\prime}\subset E$, mostre que $E^{\prime}$ também é um envelope mensurável de $A$.

Seja $E$ um subconjunto de $\mathds{R}^{n}$. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:

• (a)
  ​

  $E$ é Lebesgue mensurável;

• (b)
  ​

  existem Boreleanos $A,M\subset\mathds{R}^{n}$ e um subconjunto $N$ de $M$ de modo que $E=A\cup N$ e $\mathfrak{m}(M)=0$.

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida. Dados $A,B\in\mathcal{A}$ com $\mu(A\cap B)<+\infty$, mostre que:

Seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de conjuntos. Defina:

para todo $k\geq 1$, onde $A_{0}=\emptyset$. Mostre que os conjuntos $(B_{k})_{k\geq 1}$ são dois a dois disjuntos e que:

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de elementos de $\mathcal{A}$. Mostre que $\mu\big{(}\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\big{)}\leq\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{k})$.

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de elementos de $\mathcal{A}$ tal que $\mu(A_{k}\cap A_{l})=0$, para todos $k,l\geq 1$ com $k\neq l$. Mostre que $\mu\big{(}\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\big{)}=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{k})$.

Seja $X$ um conjunto arbitrário.

• (a)
  ​

  Se $(\mathcal{A}_{i})_{i\in I}$ é uma família não vazia de $\sigma$-álgebras de partes de $X$, mostre que $\mathcal{A}=\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_{i}$ também é uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$.

• (b)
  ​

  Mostre que, fixada uma coleção $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ de partes de $X$, existe no máximo uma $\sigma$-álgebra $\sigma[\mathcal{C}]$ de partes de $X$ satisfazendo as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 1.4.35.

• (c)
  ​

  Dada uma coleção arbitrária $\mathcal{C}\subset\wp(X)$ de partes de $X$, mostre que a interseção de todas as $\sigma$-álgebras de partes de $X$ que contém $\mathcal{C}$ é uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$ que satisfaz as propriedades (1) e (2) que aparecem na Definição 1.4.35 (note que sempre existe ao menos uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$ contendo $\mathcal{C}$, a saber, $\wp(X)$).

Seja $X$ um conjunto arbitrário e sejam $\mathcal{C}_{1},\mathcal{C}_{2}\subset\wp(X)$ coleções arbitrárias de partes de $X$. Se $\mathcal{C}_{1}\subset\sigma[\mathcal{C}_{2}]$ e $\mathcal{C}_{2}\subset\sigma[\mathcal{C}_{1}]$, mostre que $\sigma[\mathcal{C}_{1}]=\sigma[\mathcal{C}_{2}]$.

Mostre que todo subconjunto de $\mathds{R}^{n}$ de tipo $G_{\delta}$ ou de tipo $F_{\sigma}$ é Boreleano.

Mostre que:

• (a)
  ​

  a $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathds{R}$ coincide com a $\sigma$-álgebra gerada pelos intervalos da forma $\left]a,b\right]$, com $a<b$, $a,b\in\mathds{R}$;

• (b)
  ​

  a $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathds{R}$ coincide com a $\sigma$-álgebra gerada pelos intervalos da forma $\left]-\infty,c\right]$, $c\in\mathds{R}$.

Se $I$ é um intervalo fechado e limitado de comprimento positivo, mostre que o único subconjunto fechado $F\subset I$ com $\mathfrak{m}(F)=|I|$ é $F=I$. Conclua que não existe um subconjunto fechado com interior vazio $F\subset I$ tal que $\mathfrak{m}(F)=|I|$ (compare com o Exemplo 1.5.4).

Sejam dados conjuntos $A\subset\mathds{R}^{m}$, $B\subset\mathds{R}^{n}$, de modo que $A\times B\subset\mathds{R}^{m}\times\mathds{R}^{n}\cong\mathds{R}^{m+n}$.

• (a)
  ​

  Mostre que $\mathfrak{m}^{*}(A\times B)\leq\mathfrak{m}^{*}(A)\mathfrak{m}^{*}(B)$.

• (b)
  ​

  Mostre que se $A$ e $B$ são mensuráveis então $A\times B$ também é mensurável.

• (c)
  ​

  Mostre que se $A$ e $B$ são mensuráveis então $\mathfrak{m}(A\times B)=\mathfrak{m}(A)\mathfrak{m}(B)$.

Dado $A\subset\mathds{R}^{n}$, mostre que $\mathfrak{m}_{*}(A)\leq\mathfrak{m}^{*}(A)$.

Mostre que a medida interior de Lebesgue é monotônica, i.e., se $A_{1}\subset A_{2}\subset\mathds{R}^{n}$ então $\mathfrak{m}_{*}(A_{1})\leq\mathfrak{m}_{*}(A_{2})$.

Dado $A\subset\mathds{R}^{n}$, mostre que:

Mais geralmente, mostre que se $\mathcal{M}^{\prime}$ é um subconjunto de $\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})$ que contém todos os subconjuntos compactos de $\mathds{R}^{n}$ então:

Dado um subconjunto $A\subset\mathds{R}^{n}$, mostre que existe um subconjunto $W$ de $\mathds{R}^{n}$ de tipo $F_{\sigma}$ tal que $W\subset A$ e $\mathfrak{m}(W)=\mathfrak{m}_{*}(A)$.

Seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de subconjuntos dois a dois disjuntos de $\mathds{R}^{n}$. Mostre que:

Seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de subconjuntos de $\mathds{R}^{n}$ tal que $A_{k}\searrow A$ e $\mathfrak{m}_{*}(A_{k})<+\infty$ para algum $k\geq 1$. Mostre que:

Mostre que:

• •
  ​

  existe um subconjunto magro e mensurável $A\subset[0,1]$ tal que $\mathfrak{m}(A)=1$ (compare com o Exercício 1.26);

• •
  ​

  se $A$ é o conjunto do item anterior, mostre que $[0,1]\setminus A$ é um conjunto de medida de Lebesgue zero que não é magro.

Considere o intervalo $I=[0,1]$ e a seqüência $(\alpha_{i})_{i\geq 1}$ definida por:

para todo $i\geq 1$. O conjunto de Cantor $K$ associado a $I$ e à seqüência $(\alpha_{i})_{i\geq 1}$ é conhecido como o conjunto ternário de Cantor. Mostre que:

• •
  ​

  $\mathfrak{m}(K)=0$;

• •
  ​

  para todo $n\geq 1$ e todo $\epsilon=(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})\in\{0,1\}^{n}$ o intervalo $I(\epsilon)$ é dado por:

  $$I(\epsilon)=\Big{[}\sum_{i=1}^{n}\frac{2\epsilon_{i}}{3^{i}},\frac{1}{3^{n}}+\sum_{i=1}^{n}\frac{2\epsilon_{i}}{3^{i}}\Big{]};$$
• •
  ​

  a bijeção $\phi:\{0,1\}^{\infty}\to K$ definida em (1.5.6) é dada por:

  $$\phi(\epsilon)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2\epsilon_{i}}{3^{i}},$$

  para todo $\epsilon=(\epsilon_{i})_{i\geq 1}\in\{0,1\}^{\infty}$.

Considere a relação de ordem lexicográfica no conjunto $\{0,1\}^{\infty}$, i.e., para $\epsilon=(\epsilon_{i})_{i\geq 1},\epsilon^{\prime}=(\epsilon^{\prime}_{i})_{i\geq 1}\in\{0,1\}^{\infty}$ dizemos que $\epsilon<\epsilon^{\prime}$ quando existe um índice $i\geq 1$ tal que $(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{i-1})=(\epsilon^{\prime}_{1},\ldots,\epsilon^{\prime}_{i-1})$ e $\epsilon_{i}<\epsilon^{\prime}_{i}$. Mostre que a função $\phi:\{0,1\}^{\infty}\to K$ definida em (1.5.6) é estritamente crescente, i.e., se $\epsilon<\epsilon^{\prime}$ então $\phi(\epsilon)<\phi(\epsilon^{\prime})$.

Utilizando a notação da Seção 1.5, mostre que para todo $n\geq 1$ e todo $\epsilon=(\epsilon_{i})_{i=1}^{n}\in\{0,1\}^{n}$, a extremidade esquerda do intervalo $I(\epsilon)$ é $\phi(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n},0,0,\ldots)$ e a extremidade direita de $I(\epsilon)$ é $\phi(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n},1,1,\ldots)$.

Mostre que existe um subconjunto não mensurável $A$ de $\mathds{R}^{n}$ tal que $\mathfrak{m}_{*}(A)=\mathfrak{m}^{*}(A)=+\infty$.