1.5. Conjuntos de Cantor

Seja $I=[a,b]$ , $a<b$ , um intervalo fechado e limitado de comprimento positivo. Dado um escalar $\alpha>0$ , $\alpha<b-a=|I|$ , consideramos o intervalo aberto $J$ de comprimento $\alpha$ que possui o mesmo centro que $I$ ; denotamos então por $\lambda(I,\alpha;0)$ e $\lambda(I,\alpha;1)$ os dois intervalos remanescentes após remover $J$ de $I$ . Mais precisamente, sejam $c=\frac{1}{2}(a+b-\alpha)$ e $d=\frac{1}{2}(a+b+\alpha)$ , de modo que $J=\left]c,d\right[$ ; definimos:

\lambda(I,\alpha;0)=[a,c],\quad\lambda(I,\alpha;1)=[d,b].

(1.5.1)

Note que $a<c<d<b$ , de modo que $\lambda(I,\alpha;0)$ e $\lambda(I,\alpha;1)$ são dois intervalos fechados e limitados disjuntos de comprimento positivo contidos em $I$ ; mais especificamente:

\big{|}\lambda(I,\alpha;0)\big{|}=\big{|}\lambda(I,\alpha;1)\big{|}=\frac{1}{2% }\,(|I|-\alpha).

Dados um intervalo fechado e limitado $I$ de comprimento positivo, um inteiro $n\geq 1$ , escalares positivos $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n}$ com $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}<|I|$ e $\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}\in\{0,1\}$ , vamos definir um intervalo limitado e fechado $\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{i=1}^{n};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n}\big{)}$ tal que:

\Big{|}\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{i=1}^{n};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n}\big{)}% \Big{|}=\frac{1}{2^{n}}\Big{(}|I|-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\Big{)}>0.

(1.5.2)

A definição será feita recursivamente. Para $n=1$ , a definição já foi dada em (1.5.1). Dados um intervalo fechado e limitado $I$ de comprimento positivo, escalares positivos $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n+1}$ com $\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_{i}<|I|$ e $\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n+1}\in\{0,1\}$ , definimos:

\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{i=1}^{n+1};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n+1}\big{)}=% \lambda\Big{(}\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{i=1}^{n};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n}% \big{)},\frac{\alpha_{n+1}}{2^{n}};\epsilon_{n+1}\Big{)}.

Assumindo (1.5.2), é fácil ver que $\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{i=1}^{n+1};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n+1}\big{)}$ está bem definido e que:

\Big{|}\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{i=1}^{n+1};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n+1}\big% {)}\Big{|}=\frac{1}{2^{n+1}}\Big{(}|I|-\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_{i}\Big{)}>0.

Segue então por indução que temos uma família de intervalos fechados e limitados $\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{i=1}^{n};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n}\big{)}$ satisfazendo (1.5.2).

Fixemos então um intervalo fechado e limitado $I$ de comprimento positivo e uma seqüência $(\alpha_{i})_{i\geq 1}$ de escalares positivos tal que $\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}\leq|I|$ . Note que $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}<|I|$ , para todo $n\geq 1$ . Para simplificar a notação, escrevemos:

I(\epsilon)=I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})=\lambda\big{(}I,(\alpha_{i})_{% i=1}^{n};(\epsilon_{i})_{i=1}^{n}\big{)},

para todo $n\geq 1$ e todo $\epsilon=(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})\in\{0,1\}^{n}$ . Dada uma seqüência $(\epsilon_{i})_{i\geq 1}$ em $\{0,1\}$ obtemos uma seqüência decrescente de intervalos fechados e limitados:

I\supset I(\epsilon_{1})\supset I(\epsilon_{1},\epsilon_{2})\supset\cdots% \supset I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})\supset\cdots

(1.5.3)

Afirmamos que, para todo $n\geq 1$ , os intervalos $I(\epsilon)$ , $\epsilon\in\{0,1\}^{n}$ , são dois a dois disjuntos. De fato, sejam dados $\epsilon,\epsilon^{\prime}\in\{0,1\}^{n}$ , com $\epsilon\neq\epsilon^{\prime}$ . Seja $k\in\{1,\ldots,n\}$ o menor índice tal que $\epsilon_{k}\neq\epsilon^{\prime}_{k}$ . Temos $I(\epsilon)\subset I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{k})$ , $I(\epsilon^{\prime})\subset I(\epsilon^{\prime}_{1},\ldots,\epsilon^{\prime}_{% k})$ , $J=I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{k-1})=I(\epsilon^{\prime}_{1},\ldots,% \epsilon^{\prime}_{k-1})$ e:

I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{k})=\lambda\Big{(}J,\frac{\alpha_{k}}{2^{k-1}}% ;\epsilon_{k}\Big{)},\quad I(\epsilon^{\prime}_{1},\ldots,\epsilon^{\prime}_{k% })=\lambda\Big{(}J,\frac{\alpha_{k}}{2^{k-1}};\epsilon^{\prime}_{k}\Big{)}.

Como $\epsilon_{k}\neq\epsilon^{\prime}_{k}$ , os intervalos $\lambda\big{(}J,\frac{\alpha_{k}}{2^{k-1}};\epsilon_{k}\big{)}$ e $\lambda\big{(}J,\frac{\alpha_{k}}{2^{k-1}};\epsilon^{\prime}_{k}\big{)}$ são disjuntos e portanto também $I(\epsilon)\cap I(\epsilon^{\prime})=\emptyset$ . Para cada $n\geq 1$ definimos:

K_{n}=\!\!\!\bigcup_{\epsilon\in\{0,1\}^{n}}\!\!I(\epsilon).

Note que cada $K_{n}$ é uma união disjunta de $2^{n}$ intervalos fechados e limitados de comprimento $\frac{1}{2^{n}}\big{(}|I|-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\big{)}$ . Em particular, cada $K_{n}$ é compacto e sua medida de Lebesgue é dada por:

\mathfrak{m}(K_{n})=|I|-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}.

(1.5.4)

1.5.1 Definição.

O conjunto $K=\bigcap_{n=1}^{\infty}K_{n}$ é chamado o conjunto de Cantor determinado pelo intervalo fechado e limitado $I$ e pela seqüência $(\alpha_{i})_{i\geq 1}$ de escalares positivos com $\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}\leq|I|$ .

Para cada seqüência $(\epsilon_{i})_{i\geq 1}$ em $\{0,1\}$ temos que (1.5.3) é uma seqüência decrescente de intervalos fechados e limitados cujos comprimentos tendem a zero; de fato:

\big{|}I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})\big{|}=\frac{1}{2^{n}}\Big{(}|I|-% \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\Big{)}\leq\frac{1}{2^{n}}\,|I|\xrightarrow[\;n\to% \infty\;]{}0.

(1.5.5)

Pelo princípio dos intervalos encaixantes, existe exatamente um ponto pertencente à interseção de todos os intervalos em (1.5.3). Definimos então uma aplicação:

\phi:\{0,1\}^{\infty}=\prod_{i=1}^{\infty}\{0,1\}\ni\epsilon=(\epsilon_{i})_{i% \geq 1}\longmapsto\phi(\epsilon)\in K,

de modo que:

\bigcap_{n=1}^{\infty}I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})=\big{\{}\phi(% \epsilon)\big{\}},

(1.5.6)

para todo $\epsilon=(\epsilon_{i})_{i\geq 1}\in\{0,1\}^{\infty}$ .

As principais propriedades do conjunto $K$ podem ser sumarizadas no seguinte:

1.5.2 Teorema.

Seja $I$ um intervalo fechado e limitado de comprimento positivo e seja $(\alpha_{i})_{i\geq 1}$ uma seqüência de escalares positivos tal que:

\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}\leq|I|.

Seja $K$ o conjunto de Cantor determinado por $I$ e por $(\alpha_{i})_{i\geq 1}$ . Então:

(a)

$K$ é um subconjunto compacto de $I$ ;
(b)

a medida de Lebesgue de $K$ é $\mathfrak{m}(K)=|I|-\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}$ ;
(c)

$K$ tem interior vazio;
(d)

$K$ tem a mesma cardinalidade que a reta $\mathds{R}$ (e é portanto não enumerável);
(e)

$K$ não tem pontos isolados.

Demonstração.

$\bullet$

Prova de (a).

Basta observar que $K$ é uma interseção de subconjuntos compactos de $I$ .
$\bullet$

Prova de (b).

Segue de (1.5.4) e do Lema 1.4.48, observando que $K_{n}\searrow K$ .
$\bullet$

Prova de (c).

Um intervalo contido em $K_{n}$ deve estar contido em algum dos intervalos $I(\epsilon)$ , $\epsilon\in\{0,1\}^{n}$ , e portanto deve ter comprimento menor ou igual a $\frac{1}{2^{n}}\big{(}|I|-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\big{)}$ . Segue de (1.5.5) que nenhum intervalo de comprimento positivo pode estar contido em $K_{n}$ para todo $n\geq 1$ . Logo $K=\bigcap_{n=1}^{\infty}K_{n}$ não pode conter um intervalo aberto não vazio.
$\bullet$

Prova de (d).

É fácil ver que a função $\phi$ definida em (1.5.6) é bijetora. A conclusão segue do fato bem conhecido que $\{0,1\}^{\infty}$ tem a mesma cardinalidade de $\mathds{R}$ .
$\bullet$

Prova de (e).

Seja $x\in K$ . Como $\phi$ é bijetora, existe $\epsilon\in\{0,1\}^{\infty}$ tal que $x=\phi(\epsilon)$ . Escolhendo $\epsilon^{\prime}\in\{0,1\}^{\infty}$ com $\epsilon^{\prime}\neq\epsilon$ e $(\epsilon^{\prime}_{1},\ldots,\epsilon^{\prime}_{n})=(\epsilon_{1},\ldots,% \epsilon_{n})$ então $\phi(\epsilon^{\prime})$ é um ponto de $K$ distinto de $x$ . Além do mais, $\phi(\epsilon^{\prime})$ e $x$ ambos pertencem ao intervalo $I(\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n})$ e portanto:

$\big{|}x-\phi(\epsilon^{\prime})\big{|}\leq\big{|}I(\epsilon_{1},\ldots,% \epsilon_{n})\big{|}=\frac{1}{2^{n}}\Big{(}|I|-\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\Big{)}% \leq\frac{1}{2^{n}}\,|I|.$

Concluímos que toda vizinhança de $x$ contém um ponto de $K$ distinto de $x$ , i.e., $x$ é um ponto de acumulação de $K$ .∎

1.5.3 Exemplo.

Escolhendo os escalares $\alpha_{i}$ com $\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}=|I|$ então o conjunto de Cantor $K$ correspondente nos fornece um exemplo de um subconjunto não enumerável de $\mathds{R}$ (com a mesma cardinalidade de $\mathds{R}$ ) e com medida de Lebesgue zero.

1.5.4 Exemplo.

Escolhendo os escalares $\alpha_{i}$ com $\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}<|I|$ então o conjunto de Cantor $K$ correspondente nos fornece um exemplo de um subconjunto compacto de $\mathds{R}$ com interior vazio e medida de Lebesgue positiva. Na verdade, para todo $\varepsilon>0$ podemos escolher os escalares $\alpha_{i}$ com $\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{i}<\varepsilon$ e daí o conjunto de Cantor $K$ correspondente nos fornece um exemplo de um subconjunto compacto do intervalo $I$ com interior vazio e $\mathfrak{m}(K)>|I|-\varepsilon$ .