5.2. Classes Monotônicas e Classes ${\sigma}$-aditivas

Seja $\mathcal{A}$ o $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{R}$ e seja $\mathcal{E}$ a classe monotônica gerada por $\mathcal{R}$. Segue do Lema 5.1.9 que todo $\sigma$-anel é uma classe monotônica e portanto $\mathcal{A}$ contém $\mathcal{E}$. Para mostrar que $\mathcal{E}$ contém $\mathcal{A}$, basta verificar que $\mathcal{E}$ é um $\sigma$-anel. Dividimos o restante da demonstração em vários passos.

• Passo 1.
  ​

  Se $A,B\in\mathcal{E}$ então $A\cup B\in\mathcal{E}$.

  Seja $B\in\mathcal{E}$ fixado e considere a classe de conjuntos:

  $$\big{\{}A\in\mathcal{A}:A\cup B\in\mathcal{E}\big{\}}.$$ (5.2.2)

  Afirmamos que (5.2.2) é uma classe monotônica. De fato, o conjunto vazio está em (5.2.2) pois $B\in\mathcal{E}$. Se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência em (5.2.2) e $A_{k}\nearrow A$ então $A\in\mathcal{A}$ e $A_{k}\cup B\in\mathcal{E}$, para todo $k\geq 1$. Como $(A_{k}\cup B)\nearrow(A\cup B)$ e $\mathcal{E}$ é uma classe monotônica, segue que $A\cup B\in\mathcal{E}$; portanto $A$ está em (5.2.2). Se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência em (5.2.2) com $A_{k}\searrow A$ então verifica-se de modo análogo que $A$ está em (5.2.2), usando o fato que $(A_{k}\cup B)\searrow(A\cup B)$. Logo (5.2.2) é uma classe monotônica. Se o conjunto $B$ estiver no anel $\mathcal{R}$ então $A\cup B\in\mathcal{R}\subset\mathcal{E}$ para todo $A\in\mathcal{R}$ e portanto (5.2.2) contém $\mathcal{R}$; concluímos então que (5.2.2) contém $\mathcal{E}$, o que prova que $A\cup B\in\mathcal{E}$, para todo $A\in\mathcal{E}$ e todo $B\in\mathcal{R}$. Seja agora $B\in\mathcal{E}$ arbitrário. Pelo que acabamos de mostrar, (5.2.2) contém $\mathcal{R}$; logo (5.2.2) também contém $\mathcal{E}$. Isso prova que $A\cup B\in\mathcal{E}$, para todos $A,B\in\mathcal{E}$.

• Passo 2.
  ​

  Se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência em $\mathcal{E}$ então $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{E}$.

  Para cada $t\geq 1$, seja $B_{t}=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}$; temos $B_{t}\nearrow\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ e $B_{t}\in\mathcal{E}$ para todo $t\geq 1$, pelo passo 1. Como $\mathcal{E}$ é uma classe monotônica, segue que $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{E}$.

• Passo 3.
  ​

  Se $A\in\mathcal{E}$ e $B\in\mathcal{R}$ então $A\setminus B\in\mathcal{E}$.

  Seja $B\in\mathcal{R}$ fixado e considere a classe de conjuntos:

  $$\big{\{}A\in\mathcal{A}:A\setminus B\in\mathcal{E}\big{\}}.$$ (5.2.3)

  Afirmamos que (5.2.3) é uma classe monotônica. De fato, o conjunto vazio está em (5.2.3), pois $\emptyset\in\mathcal{E}$. Se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência em (5.2.3) tal que $A_{k}\nearrow A$ (resp., tal que $A_{k}\searrow A$) então $A\in\mathcal{A}$ e $A_{k}\setminus B\in\mathcal{E}$, para todo $k\geq 1$; conclui-se então que $A$ está em (5.2.3) observando-se que $(A_{k}\setminus B)\nearrow(A\setminus B)$ (resp., que $(A_{k}\setminus B)\searrow(A\setminus B)$). Isso prova que (5.2.3) é uma classe monotônica. Claramente, se $A\in\mathcal{R}$ então $A\setminus B\in\mathcal{R}\subset\mathcal{E}$ e portanto (5.2.3) contém $\mathcal{R}$; concluímos então que (5.2.3) contém $\mathcal{E}$, o que prova que $A\setminus B\in\mathcal{E}$, para todo $A\in\mathcal{E}$ e todo $B\in\mathcal{R}$.

• Passo 4.
  ​

  Se $A,B\in\mathcal{E}$ então $A\setminus B\in\mathcal{E}$.

  Seja $A\in\mathcal{E}$ fixado e considere a classe de conjuntos:

  $$\big{\{}B\in\mathcal{A}:A\setminus B\in\mathcal{E}\big{\}}.$$ (5.2.4)

  De forma análoga ao que foi feito no passo 3, prova-se que (5.2.4) é uma classe monotônica usando o fato que $B_{k}\nearrow B$ (resp., $B_{k}\searrow B$) implica em $(A\setminus B_{k})\searrow(A\setminus B)$ (resp., $(A\setminus B_{k})\nearrow(A\setminus B)$). Finalmente, o que provamos no passo 3 implica que (5.2.4) contém $\mathcal{R}$ e daí segue que (5.2.4) contém $\mathcal{E}$. Logo $A\setminus B\in\mathcal{E}$, para todos $A,B\in\mathcal{E}$.∎

Seja $\mathcal{A}$ o $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{C}$ e seja $\mathcal{E}$ a classe $\sigma$-aditiva gerada por $\mathcal{C}$. Evidentemente todo $\sigma$-anel é uma classe $\sigma$-aditiva e portanto $\mathcal{A}$ contém $\mathcal{E}$. Para mostrar que $\mathcal{E}$ contém $\mathcal{A}$, basta verificar que $\mathcal{E}$ é um $\sigma$-anel. Assuma por um momento que já tenhamos mostrado que $\mathcal{E}$ é fechado por interseções finitas. Segue então do Lema 5.1.20 que $\mathcal{E}$ é um anel. Além do mais, se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência em $\mathcal{E}$ então $B_{t}=\bigcup_{k=1}^{t}A_{k}\in\mathcal{E}$ para todo $t\geq 1$ e $B_{t}\nearrow\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$, donde $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{E}$. Concluímos então que $\mathcal{E}$ é um $\sigma$-anel. Para completar a demonstração, verificaremos que $A\cap B\in\mathcal{E}$, para todos $A,B\in\mathcal{E}$. Seja $B\in\mathcal{A}$ fixado e considere a classe de conjuntos:

Afirmamos que (5.2.5) é uma classe $\sigma$-aditiva. Em primeiro lugar, o conjunto vazio está em (5.2.5), pois $\emptyset\cap B=\emptyset\in\mathcal{E}$. Dados $A_{1}$ e $A_{2}$ em (5.2.5) com $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$ então $A_{1}\cap B,A_{2}\cap B\in\mathcal{E}$ e $(A_{1}\cap B)\cap(A_{2}\cap B)=\emptyset$; como $\mathcal{E}$ é uma classe $\sigma$-aditiva, segue que $(A_{1}\cap B)\cup(A_{2}\cap B)=(A_{1}\cup A_{2})\cap B\in\mathcal{E}$ e portanto $A_{1}\cup A_{2}$ está em (5.2.5). Suponha agora que $A_{1}$ e $A_{2}$ são elementos de (5.2.5) com $A_{1}\subset A_{2}$. Temos $A_{1}\cap B,A_{2}\cap B\in\mathcal{E}$ e $A_{1}\cap B\subset A_{2}\cap B$; segue então que $(A_{2}\cap B)\setminus(A_{1}\cap B)\in\mathcal{E}$. Como $(A_{2}\cap B)\setminus(A_{1}\cap B)=(A_{2}\setminus A_{1})\cap B$, concluímos que $A_{2}\setminus A_{1}$ está em (5.2.5). Para concluir a demonstração de que (5.2.5) é uma classe $\sigma$-aditiva, seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência em (5.2.5) com $A_{k}\nearrow A$. Daí $A_{k}\cap B\in\mathcal{E}$, para todo $k\geq 1$ e $(A_{k}\cap B)\nearrow(A\cap B)$; segue então que $A\cap B\in\mathcal{E}$ e portanto $A$ está em (5.2.5). Demonstramos então que (5.2.5) é uma classe $\sigma$-aditiva. Se o conjunto $B$ pertence a $\mathcal{C}$ então $A\cap B\in\mathcal{C}\subset\mathcal{E}$, para todo $A\in\mathcal{C}$ e portanto (5.2.5) contém $\mathcal{C}$; concluímos então que (5.2.5) contém $\mathcal{E}$, isto é, $A\cap B\in\mathcal{E}$, para todo $A\in\mathcal{E}$ e todo $B\in\mathcal{C}$. Seja agora $B\in\mathcal{E}$ arbitrário. Pelo que acabamos de mostrar, (5.2.5) contém $\mathcal{C}$ e portanto contém $\mathcal{E}$; concluímos então que $A\cap B\in\mathcal{E}$, para todos $A,B\in\mathcal{E}$. ∎

Como vimos no Exemplo 5.2.2, a classe (5.2.1) formada pelos conjuntos onde $\mu$ e $\nu$ coincidem é uma classe $\sigma$-aditiva. Como (5.2.1) contém $\mathcal{C}$ e $\mathcal{C}$ é fechada por interseções finitas, segue do Lema 5.2.5 que (5.2.1) contém $\mathcal{A}$. Logo $\mu=\nu$. ∎

Considere a classe de conjuntos:

Evidentemente (5.2.6) contém o anel $\mathcal{R}$. Se mostrarmos que (5.2.6) é uma classe monotônica, a tese seguirá do Lema 5.2.4. Seja $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência em (5.2.6) tal que $A_{k}\nearrow A$ (resp., tal que $A_{k}\searrow A$) e seja dado $\varepsilon>0$. Temos que $A_{k}\bigtriangleup A=A\setminus A_{k}$ (resp., que $A_{k}\bigtriangleup A=A_{k}\setminus A$) e portanto $(A_{k}\bigtriangleup A)\searrow\emptyset$. Como a medida $\mu$ é finita, obtemos $\lim_{k\to\infty}\mu(A_{k}\bigtriangleup A)=0$ e portanto existe $k\geq 1$ tal que $\mu(A_{k}\bigtriangleup A)<\frac{\varepsilon}{2}$. Como $A_{k}$ está em (5.2.6), existe $B\in\mathcal{R}$ tal que $\mu(A_{k}\bigtriangleup B)<\frac{\varepsilon}{2}$. Mas (veja Exercício 5.11):

e portanto, pelo item (e) do Lema 5.1.6:

Isso prova que $A$ está em (5.2.6) e completa a demonstração. ∎

A prova de que $\mathcal{A}|_{X}$ é um $\sigma$-anel é deixada a cargo do leitor (veja Exercício 5.18). Seja $\mathcal{B}$ o $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{C}|_{X}$. Como $\mathcal{A}|_{X}$ é um $\sigma$-anel que contém $\mathcal{C}|_{X}$, temos que $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}|_{X}$. Para mostrar que $\mathcal{A}|_{X}$ está contido em $\mathcal{B}$, considere a coleção de conjuntos:

Verifica-se diretamente que (5.2.7) é um $\sigma$-anel. Como (5.2.7) contém $\mathcal{C}$ e $\mathcal{A}$ é o $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{C}$, concluímos que (5.2.7) contém $\mathcal{A}$, ou seja, $A\cap X\in\mathcal{B}$, para todo $A\in\mathcal{A}$. Isso mostra que $\mathcal{A}|_{X}\subset\mathcal{B}$ e completa a demonstração. ∎

Seja $X\in\mathcal{C}$ com $\mu(X)<+\infty$. Afirmamos que $\mu$ e $\nu$ coincidem em $\mathcal{A}|_{X}$. De fato, $\mathcal{C}|_{X}$ é uma classe fechada por interseções finitas que gera o $\sigma$-anel $\mathcal{A}|_{X}$ (veja Lema 5.2.11); como $\mu$ e $\nu$ coincidem em $\mathcal{C}|_{X}\subset\mathcal{C}$, segue do Lema 5.2.6 aplicado às medida finitas $\mu|_{\mathcal{A}|_{X}}$ e $\nu|_{\mathcal{A}|_{X}}$ que $\mu$ e $\nu$ coincidem em $\mathcal{A}|_{X}$. Seja agora $A\in\mathcal{A}$ e suponha que $A$ é $\sigma$-finito com respeito a $\mu|_{\mathcal{C}}$; mostremos que $\mu(A)=\nu(A)$. Seja $(X_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência em $\mathcal{C}$ com $A\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}X_{k}$ e $\mu(X_{k})<+\infty$, para todo $k\geq 1$. Para cada $k\geq 1$ seja $Y_{k}=X_{k}\setminus\bigcup_{i=0}^{k-1}X_{i}$, onde $X_{0}=\emptyset$. Pelo resultado do Exercício 1.19, os conjuntos $(Y_{k})_{k\geq 1}$ são dois a dois disjuntos e $\bigcup_{k=1}^{\infty}X_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}Y_{k}$. Temos $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}(Y_{k}\cap A)$ e portanto:

Mas para todo $k\geq 1$ temos $Y_{k}\cap A\in\mathcal{A}\cap\wp(X_{k})=\mathcal{A}|_{X_{k}}$ e segue da primeira parte da demonstração que $\mu(Y_{k}\cap A)=\nu(Y_{k}\cap A)$, para todo $k\geq 1$. Logo $\mu(A)=\nu(A)$. ∎

Segue do Lema 5.2.12 e da Observação 5.2.9. ∎

Seja $A\in\mathcal{A}$ um conjunto $\sigma$-finito com respeito a $\mu|_{\mathcal{R}}$ tal que $\mu(A)<+\infty$; seja dado $\varepsilon>0$. Seja $(X_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência em $\mathcal{R}$ com $A\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}X_{k}$ e $\mu(X_{k})<+\infty$, para todo $k\geq 1$. Para cada $k\geq 1$ seja $Y_{k}=\bigcup_{i=1}^{k}X_{i}$, de modo que $Y_{k}\in\mathcal{R}$, $\mu(Y_{k})<+\infty$ e $(A\setminus Y_{k})\searrow\emptyset$. Como $\mu(A)<+\infty$, temos $\lim_{k\to\infty}\mu(A\setminus Y_{k})=0$ e portanto existe $k\geq 1$ tal que $\mu(A\setminus Y_{k})<\frac{\varepsilon}{2}$. Seja $A^{\prime}=A\cap Y_{k}$; daí $A\bigtriangleup A^{\prime}=A\setminus Y_{k}$ e portanto:

e $A^{\prime}\in\mathcal{A}\cap\wp(Y_{k})=\mathcal{A}|_{Y_{k}}$. Vamos agora aplicar o Lema 5.2.7 à medida finita $\mu|_{\mathcal{A}|_{Y_{k}}}$; para isso, note que, pelo Exercício 5.18, $\mathcal{R}|_{Y_{k}}$ é um anel e, pelo Lema 5.2.11, $\mathcal{A}|_{Y_{k}}$ é o $\sigma$-anel gerado por $\mathcal{R}|_{Y_{k}}$. Vemos então que existe $B\in\mathcal{R}|_{Y_{k}}\subset\mathcal{R}$ tal que $\mu(A^{\prime}\bigtriangleup B)<\frac{\varepsilon}{2}$. Daí (veja Exercício 5.11):

e portanto:

o que completa a demonstração. ∎