Exercícios para o Capítulo 2

Sejam $(X,\mathcal{A})$, $(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ espaços mensuráveis arbitrários. Mostre que toda função constante $f:X\to X^{\prime}$ é mensurável.

Sejam $X$ um conjunto, $\mathcal{A}$ uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$ e $Y\subset X$ um subconjunto. Mostre que $\mathcal{A}|_{Y}$ é uma $\sigma$-álgebra de partes de $Y$.

Sejam $X$ um conjunto e $Y\subset X$ um subconjunto. Se $\mathcal{C}$ é um conjunto de geradores para uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ de partes de $X$, mostre que o conjunto:

é um conjunto de geradores para a $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}|_{Y}$ de partes de $Y$; em símbolos:

Mostre que $\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})|_{\mathds{R}}=\mathcal{B}(\mathds{R})$.

Mostre que os intervalos $[-\infty,c]$, $c\in\mathds{R}$, constituem um conjunto de geradores para a $\sigma$-álgebra de Borel de $\overline{\mathds{R}}$.

Seja $(X,\mathcal{A})$ um espaço mensurável e sejam $f:X\to\overline{\mathds{R}}$, $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ funções mensuráveis. Mostre que o conjunto:

é mensurável.

Mostre que a função $f:\mathds{R}^{2}\to\mathds{R}$ definida por:

é Borel mensurável.

Sejam $X\subset\mathds{R}^{n}$ um subconjunto mensurável e $(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ um espaço mensurável. Dada uma função $f:X\to X^{\prime}$, mostre que:

• (a)
  ​

  se existe $X_{1}\subset X$ tal que $X\setminus X_{1}$ tem medida nula e tal que $f|_{X_{1}}$ é mensurável então $f$ é mensurável;

• (b)
  ​

  se $f$ é mensurável e se $g:X\to X^{\prime}$ é igual a $f$ quase sempre então $g$ também é mensurável;

• (c)
  ​

  se $(f_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de funções mensuráveis $f_{k}:X\to\overline{\mathds{R}}$ e se $f_{k}\to g$ q. s. então $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ também é mensurável.

Denote por $\pi:\mathds{R}^{m+n}\to\mathds{R}^{m}$ a projeção nas $m$ primeiras coordenadas. Mostre que a função:

é mensurável (note que não estamos seguindo a convenção 2.1.3).

Seja $f:X\to\mathds{R}^{n}$ uma função definida num subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{m}$. Recorde que o gráfico de $f$ é o conjunto:

Mostre que:

• •
  ​

  se $X$ é Boreleano e $f$ é Borel mensurável então $\mathrm{gr}(f)$ é Boreleano;

• •
  ​

  se $X$ é mensurável e $f$ é mensurável então $\mathrm{gr}(f)$ é mensurável.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função mensurável. Mostre que:

• (a)
  ​

  $f$ é integrável se e somente se $|f|$ é integrável;

• (b)
  ​

  se $f$ é quase integrável então:

  $$\Big{|}\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\Big{|}\leq\int_{X}|f|\,\mathrm{d}\mu.$$

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e seja $(f_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{k}:X\to[0,+\infty]$. Se $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x)$, mostre que:

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida. Dada uma função mensurável $f:X\to[0,+\infty]$, mostre que a aplicação $\nu_{f}:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ definida por:

é uma medida (a medida $\nu_{f}$ é chamada a integral indefinida de $f$ e é denotada por $\nu_{f}=\int f\,\mathrm{d}\mu$).

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função quase integrável. Mostre que:

• (a)
  ​

  se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de conjuntos mensuráveis dois a dois disjuntos e se $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ então:

  $$\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{A_{k}}f\,\mathrm{d}\mu\stackrel{{\scriptstyle\text{def}}}{{=}}\lim_{r\to\infty}\sum_{k=1}^{r}\int_{A_{k}}f\,\mathrm{d}\mu;$$
• (b)
  ​

  se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de conjuntos mensuráveis e $A_{k}\nearrow A$ então:

  $$\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu=\lim_{k\to\infty}\int_{A_{k}}f\,\mathrm{d}\mu;$$ (2.8.11)
• (c)
  ​

  se $(A_{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de conjuntos mensuráveis, $A_{k}\searrow A$ e se $f|_{A_{1}}$ é integrável então vale a igualdade (2.8.11).

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ um espaço mensurável e $\phi:X\to X^{\prime}$ uma aplicação mensurável. Mostre que:

• (a)
  ​

  a aplicação $(\phi_{*}\mu):\mathcal{A}^{\prime}\to[0,+\infty]$ definida por:

  $$(\phi_{*}\mu)(A)=\mu\big{(}\phi^{-1}(A)\big{)},$$

  para todo $A\in\mathcal{A}^{\prime}$, é uma medida em $\mathcal{A}^{\prime}$;

• (b)
  ​

  se $\mu^{\prime}$ é uma medida em $\mathcal{A}^{\prime}$ então $\phi:(X,\mathcal{A},\mu)\to(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime},\mu^{\prime})$ preserva medida se e somente se $\phi_{*}\mu=\mu^{\prime}$.

Dizemos que $\phi_{*}\mu$ é a imagem da medida $\mu$ pela aplicação mensurável $\phi$.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ e $(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime},\mu^{\prime})$ espaços de medida e seja $\phi:X\to X^{\prime}$ uma função que preserva medida. Dada uma função mensurável $f:X^{\prime}\to\overline{\mathds{R}}$, mostre que $f$ é quase integrável se e somente se $f\circ\phi$ é quase integrável e, nesse caso:

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $\mathcal{A}^{\prime}$ uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$ contida em $\mathcal{A}$ e $\mu^{\prime}$ a restrição de $\mu$ a $\mathcal{A}^{\prime}$. Dada uma função mensurável $f:(X,\mathcal{A}^{\prime})\to\overline{\mathds{R}}$, mostre que $f$ é quase integrável com respeito a $\mu$ se e somente se $f$ é quase integrável com respeito a $\mu^{\prime}$ e, nesse caso $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu^{\prime}$.

Seja $X$ o conjunto dos números inteiros positivos e seja $\mu:\wp(X)\to[0,+\infty]$ a medida de contagem. Mostre que:

• •
  ​

  dada uma função $f:X\to[0,+\infty]$ então:

  $$\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\sum_{n=1}^{\infty}f(n);$$ (2.8.12)
• •
  ​

  uma função $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ é integrável se e somente se a série $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ é absolutamente convergente e nesse caso vale a identidade (2.8.12).

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função quase integrável. Mostre que:

• •
  ​

  se $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ então $f(x)<+\infty$ para quase todo $x\in X$;

• •
  ​

  se $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu>-\infty$ então $f(x)>-\infty$ para quase todo $x\in X$;

• •
  ​

  se $f$ é integrável então $f(x)\in\mathds{R}$ para quase todo $x\in X$.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$, $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ funções mensuráveis, com $g$ quase integrável. Mostre que:

• •
  ​

  se $\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu>-\infty$ e $f\geq g$ q. s. então $f$ é quase integrável e $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu>-\infty$;

• •
  ​

  se $\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ e $f\leq g$ q. s. então $f$ é quase integrável e $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu<+\infty$;

• •
  ​

  se $g$ é integrável e $|f|\leq g$ q. s. então $f$ é integrável.

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida. Dada uma função mensurável $f:X\to[0,+\infty]$, mostre que $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=0$ se e somente se $f=0$ quase sempre.

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida. Dadas funções integráveis $f:X\to\overline{\mathds{R}}$, $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ tais que $f\leq g$ e:

mostre que $f=g$ quase sempre.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função integrável. Mostre que para todo $\varepsilon>0$ existe um $\delta>0$ tal que para todo conjunto mensurável $A\in\mathcal{A}$ com $\mu(A)<\delta$ temos:

Seja $f:I\to\overline{\mathds{R}}$ uma função integrável definida num intervalo $I\subset\mathds{R}$. Fixado $t_{0}\in I$, considere a função $F:I\to\mathds{R}$ definida por:

para todo $t\in I$. Mostre que:

• (a)
  ​

  $F$ é contínua;

• (b)
  ​

  dado $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que dados $n\geq 1$ e intervalos abertos dois a dois disjuntos $\left]x_{i},y_{i}\right[\subset I$, $i=1,\ldots,n$, então:

  $$\sum_{i=1}^{n}y_{i}-x_{i}<\delta\Longrightarrow\sum_{i=1}^{n}|F(y_{i})-F(x_{i})|<\varepsilon;$$
• (c)
  ​

  se $f$ é limitada então $F$ é Lipschitziana com constante de Lipschitz igual a $\sup_{t\in I}|f(t)|$;

• (d)
  ​

  (teorema fundamental do cálculo) se $f$ é contínua num ponto $t\in I$ então $F$ é derivável no ponto $t$ e $F^{\prime}(t)=f(t)$;

• (e)
  ​

  se $f$ é contínua e $G:I\to\mathds{R}$ é uma primitiva qualquer de $f$ (i.e., $G^{\prime}=f$) então:

  $$\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=G(b)-G(a),$$

  para todos $a,b\in I$.

(integração por partes) Se $f:[a,b]\to\mathds{R}$, $g:[a,b]\to\mathds{R}$ são funções de classe $C^{1}$, mostre que:

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $(f_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de funções integráveis (resp., quase integráveis) $f_{k}:X\to\mathds{R}$. Suponha que $(f_{k})_{k\geq 1}$ converge uniformemente para uma função $f:X\to\mathds{R}$, i.e., para todo $\varepsilon>0$ existe $k_{0}\geq 1$ tal que $|f_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon$, para todo $x\in X$ e todo $k\geq k_{0}$. Se $\mu(X)<+\infty$, mostre que $f$ também é integrável (resp., quase integrável) e que:

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $(f_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de funções integráveis $f_{k}:X\to\mathds{R}$ tal que:

Mostre que:

• •
  ​

  a série $\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x)$ é absolutamente convergente para quase todo $x\in X$;

• •
  ​

  se $f:X\to\mathds{R}$ é uma função mensurável tal que $f=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}$ q. s. então $f$ é integrável e:

  $$\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{X}f_{k}\,\mathrm{d}\mu\in\mathds{R}.$$

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $f:X\to\mathds{R}$ uma função integrável. Mostre que para todo $\varepsilon>0$ existe uma função simples integrável $\phi:X\to\mathds{R}$ tal que:

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(A_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de subconjuntos mensuráveis de $X$ e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função quase integrável. Assuma que para todo $x\in X$ o conjunto:

é finito. Mostre que:

Seja $f:\mathds{R}\to\mathds{R}$ uma função integrável. Mostre que as funções:

são contínuas e que:

Considere a função $\phi:\mathds{R}\to\mathds{R}$ definida por:

para todo $t\in\mathds{R}$.

• (a)
  ​

  Mostre que $\phi$ é derivável e que:

  $$\phi^{\prime}(t)=-\frac{t}{2}\,\phi(t),$$

  para todo $t\in\mathds{R}$.

• (b)
  ​

  Mostre que $\phi(t)=ce^{-\frac{t^{\hbox to0.0pt{$\scriptscriptstyle 2$\hskip 0.0pt minus 1.0fil}}}{4}}$, para todo $t\in\mathds{R}$, onde:

  $$c=\int_{\mathds{R}}e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x).$$ (2.8.13)

Considere a função $\phi:\left]0,+\infty\right[\to\mathds{R}$ definida por:

para todo $t>0$.

• (a)
  ​

  Mostre que $\phi$ é derivável e que $\phi^{\prime}(t)=-\frac{1}{1+t^{2}}$, para todo $t>0$.

• (b)
  ​

  Mostre que $\lim_{t\to+\infty}\phi(t)=0$.

• (c)
  ​

  Conclua que $\phi(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan t$, para todo $t>0$.

• (d)
  ​

  Usando integração por partes, verifique que:

  $$\phi(t)=\int_{0}^{1}e^{-tx}\,\frac{\mathrm{sen}\,x}{x}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)+e^{-t}\cos 1-\int_{1}^{+\infty}\cos x\;e^{-tx}\,\frac{1+tx}{x^{2}}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x),$$

  para todo $t>0$.

• (e)
  ​

  Mostre que:

  $$\lim_{t\to 0}\phi(t)=\raise 2.0pt\hbox{$\scriptstyle(R)$}\!\!\int_{0}^{+\infty}f=\frac{\pi}{2},$$

  onde $f:\left[0,+\infty\right[\to\mathds{R}$ é definida por $f(x)=\frac{\mathrm{sen}\,x}{x}$, para $x>0$ e $f(0)=1$.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ uma função mensurável. Se $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge em medida para $f$, mostre que toda subseqüência de $(f_{n})_{n\geq 1}$ também converge em medida para $f$.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida e $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência pontualmente de Cauchy quase sempre. Mostre que existe uma função $f:X\to\mathds{R}$ tal que $f_{n}\to f$ pontualmente q. s.; se as funções $f_{n}$ são todas mensuráveis, mostre que podemos escolher a função $f$ também mensurável.

Mostre que toda seqüência uniformemente de Cauchy quase sempre é quase uniformemente de Cauchy e que toda seqüência quase uniformemente de Cauchy é pontualmente de Cauchy quase sempre.

Se $X$ é um conjunto, $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência uniformemente de Cauchy de funções $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$ é uma função tal que $f_{n}\to f$ pontualmente, mostre que $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f$. Se $(X,\mathcal{A},\mu)$ é um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uniformemente de Cauchy quase sempre (resp., quase uniformemente de Cauchy) e $f_{n}\to f$ pontualmente q. s., mostre que $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{u}\;}f$ q. s. (resp., que $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{qu}\;}f$).

Mostre que:

• •
  ​

  toda seqüência uniformemente convergente (resp., quase sempre) é uniformemente de Cauchy (resp., quase sempre);

• •
  ​

  toda seqüência quase uniformemente convergente é quase uniformemente de Cauchy;

• •
  ​

  toda seqüência de funções mensuráveis que é convergente em medida é de Cauchy em medida.

Seja $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida com $\mu(X)<+\infty$ e seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$. Mostre que se $(f_{n})_{n\geq 1}$ é pontualmente de Cauchy quase sempre então $(f_{n})_{n\geq 1}$ é quase uniformemente de Cauchy.

Mostre que se uma seqüência de funções mensuráveis é quase uniformemente de Cauchy então ela é de Cauchy em medida.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$ que é de Cauchy em medida e $(f_{n_{k}})_{k\geq 1}$ uma subseqüência de $(f_{n})_{n\geq 1}$ que converge em medida para uma função mensurável $f:X\to\mathds{R}$. Mostre que $(f_{n})_{n\geq 1}$ também converge em medida para $f$.

Sejam $(X,\mathcal{A},\mu)$ um espaço de medida, $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\mathds{R}$ e $f:X\to\mathds{R}$, $g:X\to\mathds{R}$ funções mensuráveis. Se $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{\mu}\;}f$ e $f_{n}\xrightarrow{\;\mathrm{\mu}\;}g$, mostre que $f(x)=g(x)$ para quase todo $x\in X$.

Seja $f:X\to\mathds{R}^{n}$ uma função definida num subconjunto $X$ de $\mathds{R}^{m}$. Mostre que se o gráfico de $f$ (recorde (2.8.10)) é mensurável então $\mathfrak{m}\big{(}\mathrm{gr}(f)\big{)}=0$.

Sejam $X\subset\mathds{R}^{m}$, $Y\subset\mathds{R}^{n}$ conjuntos mensuráveis e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$, $g:Y\to\overline{\mathds{R}}$ funções integráveis. Mostre que a função:

é integrável e que sua integral é dada por:

Seja $\Delta_{n}$ o simplexo padrão $n$-dimensional definido por:

• (a)
  ​

  Mostre que $\Delta_{n}$ é mensurável para todo $n\geq 1$.

• (b)
  ​

  Se $a_{n}=\mathfrak{m}(\Delta_{n})$, mostre que:

  $$a_{n}=a_{n-1}\int_{0}^{1}(1-t)^{n-1}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(t),$$

  para todo $n\geq 1$.

• (c)
  ​

  Determine $\mathfrak{m}(\Delta_{n})$.