2.2. Integrando Funções Simples não Negativas

Ao longo de toda esta seção consideramos fixado um espaço de medida $(X,\mathcal{A},\mu)$ . Recorde que uma função $f:X\to[0,+\infty]$ é simples e mensurável se e somente se $\mathrm{Im}(f)$ é um subconjunto finito de $[0,+\infty]$ e $f^{-1}(c)\in\mathcal{A}$ para todo $c\in\mathrm{Im}(f)$ (vide Definição 2.1.25 e Lema 2.1.27).

2.2.1 Definição.

Se $f:X\to[0,+\infty]$ é uma função simples, mensurável e não negativa então a integral de $f$ é definida por:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Im}(f)}\!\!c\,\mu\big{(}f^{-1% }(c)\big{)}.

A integral $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ será também às vezes denotada por:

\int_{X}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x).

Obviamente, para toda função simples mensurável $f:X\to[0,+\infty]$ , temos:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\geq 0.

Se $Y\in\mathcal{A}$ é um conjunto mensurável então é fácil ver que a restrição de $\mu$ à $\sigma$ -álgebra $\mathcal{A}|_{Y}=\mathcal{A}\cap\wp(Y)$ é também uma medida, de modo que a trinca $(Y,\mathcal{A}|_{Y},\mu|_{(\mathcal{A}|_{Y})})$ é um espaço de medida. Se $f$ é uma função a valores em $\overline{\mathds{R}}$ cujo domínio contém $Y$ e tal que $f|_{Y}$ é simples, mensurável e não negativa então a integral de $f|_{Y}$ será denotada por:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{Y}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x).

2.2.2 Lema.

Seja $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função e seja $Y\in\mathcal{A}$ . Suponha que $f|_{Y}$ é simples, mensurável e não negativa (pelo Lema 2.1.31 isso equivale a dizer que $f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}$ é simples, mensurável e não negativa). Então:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}\,% \mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Temos:

	$\displaystyle\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\!\!\!\sum_{c\in f(Y)}\!\!c\,\mu\big{(}(% f\|_{Y})^{-1}(c)\big{)}=\!\!\!\sum_{\begin{subarray}{c}c\in f(Y)\\ c\neq 0\end{subarray}}\!\!c\,\mu\big{(}(f\|_{Y})^{-1}(c)\big{)},$
	$\displaystyle\int_{X}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}\,\mathrm{d}% \mu=\!\!\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Im}(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptscriptstyle Y$}})}\!\!\!\!\!c\,\mu\big{(}(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle Y$}})^{-1}(c)\big{)}=\!\!\!\!\!\sum_{\begin{subarray}{c}c\in% \mathrm{Im}(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptscriptstyle Y$}})\\ c\neq 0\end{subarray}}\!\!\!\!\!c\,\mu\big{(}(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle Y$}})^{-1}(c)\big{)}.$

A conclusão segue das igualdades acima observando que para todo $c\neq 0$ , temos $c\in f(Y)$ se e somente se $c\in\mathrm{Im}(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}})$ e, nesse caso:

(f|_{Y})^{-1}(c)=f^{-1}(c)\cap Y=(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}})% ^{-1}(c).\qed

2.2.3 Lema.

Sejam $A_{1},\ldots,A_{k}\in\mathcal{A}$ conjuntos dois a dois disjuntos e sejam $c_{1},\ldots,c_{k}\in[0,+\infty]$ . Então:

\int_{X}\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{A_{i}}\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mu(% A_{i}).

(2.2.1)

Demonstração.

Eliminando os índices $i$ tais que $c_{i}=0$ ou $A_{i}=\emptyset$ não alteramos o resultado de nenhum dos dois lados da igualdade (2.2.1); podemos portanto supor que $c_{i}\neq 0$ e $A_{i}\neq\emptyset$ para todo $i=1,\ldots,k$ . Seja $f=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{A_{i}}$ . Temos $\mathrm{Im}(f)\setminus\{0\}=\{c_{1},\ldots,c_{k}\}$ ; note que é possível ter $c_{i}=c_{j}$ para $i\neq j$ . Para $c\in\mathrm{Im}(f)$ , $c\neq 0$ , temos:

f^{-1}(c)=\bigcup_{\begin{subarray}{c}i=1\\ c_{i}=c\end{subarray}}^{k}A_{i}

e portanto:

\mu\big{(}f^{-1}(c)\big{)}=\sum_{\begin{subarray}{c}i=1\\ c_{i}=c\end{subarray}}^{k}\mu(A_{i}).

Logo:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Im}(f)}\!\!c\,\mu\big{(}f^{-1% }(c)\big{)}=\!\!\!\sum_{\begin{subarray}{c}c\in\mathrm{Im}(f)\\ c\neq 0\end{subarray}}\!\!c\,\mu\big{(}f^{-1}(c)\big{)}=\!\!\!\sum_{\begin{% subarray}{c}c\in\mathrm{Im}(f)\\ c\neq 0\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}i=1\\ c_{i}=c\end{subarray}}^{k}c\mu(A_{i})\\ =\!\!\!\sum_{\begin{subarray}{c}c\in\mathrm{Im}(f)\\ c\neq 0\end{subarray}}\sum_{\begin{subarray}{c}i=1\\ c_{i}=c\end{subarray}}^{k}c_{i}\mu(A_{i})=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mu(A_{i}),

onde na última igualdade usamos o fato que o conjunto $\{1,\ldots,k\}$ é união disjunta dos conjuntos $\big{\{}i\in\{1,\ldots,k\}:c_{i}=c\big{\}}$ , com $c\in\mathrm{Im}(f)$ , $c\neq 0$ . ∎

2.2.4 Lema.

Sejam $f:X\to[0,+\infty]$ , $g:X\to[0,+\infty]$ funções simples e mensuráveis. Então:

\int_{X}(f+g)\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Podemos escrever:

f=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{A_{i}},\quad g=\sum_{j=1}^{l}d_{j}\chi_{B_{j}},

onde tanto os conjuntos $A_{1},\ldots,A_{k}\in\mathcal{A}$ como os conjuntos $B_{1},\ldots,B_{l}\in\mathcal{A}$ constituem uma partição de $X$ (veja Observação 2.1.30). Temos:

\sum_{j=1}^{l}\chi_{B_{j}}=1

e portanto:

\chi_{A_{i}}=\sum_{j=1}^{l}\chi_{A_{i}}\chi_{B_{j}}=\sum_{j=1}^{l}\chi_{A_{i}% \cap B_{j}},

para todo $i=1,\ldots,k$ ; daí:

f=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}c_{i}\chi_{A_{i}\cap B_{j}}.

(2.2.2)

Como os conjuntos $A_{i}\cap B_{j}$ , $i=1,\ldots,k$ , $j=1,\ldots,l$ são dois a dois disjuntos, o Lema 2.2.3 nos dá:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}c_{i}\mu(A_{i}\cap B_{j}).

(2.2.3)

Analogamente, mostra-se que:

g=\sum_{j=1}^{l}\sum_{i=1}^{k}d_{j}\chi_{B_{j}\cap A_{i}}

(2.2.4)

e portanto:

\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu=\sum_{j=1}^{l}\sum_{i=1}^{k}d_{j}\mu(B_{j}\cap A_{i}).

(2.2.5)

De (2.2.2) e (2.2.4) obtemos:

f+g=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}(c_{i}+d_{j})\chi_{A_{i}\cap B_{j}};

novamente, o Lema 2.2.3 nos dá:

\int_{X}(f+g)\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}(c_{i}+d_{j})\mu(A_{i% }\cap B_{j}).

(2.2.6)

A conclusão segue de (2.2.3), (2.2.5) e (2.2.6). ∎

2.2.5 Corolário.

Dados $A_{1},\ldots,A_{k}\in\mathcal{A}$ (conjuntos não necessariamente disjuntos) e $c_{1},\ldots,c_{k}\in[0,+\infty]$ então:

\int_{X}\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{A_{i}}\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mu(% A_{i}).

Demonstração.

Basta observar que:

\int_{X}\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{A_{i}}\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{k}\int_{X}c% _{i}\chi_{A_{i}}\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mu(A_{i}).\qed

2.2.6 Notação.

Se $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ , $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ são funções então escrevemos $f\leq g$ quando $f(x)\leq g(x)$ , para todo $x\in X$ .

2.2.7 Corolário.

Sejam $f:X\to[0,+\infty]$ , $g:X\to[0,+\infty]$ funções simples mensuráveis. Se $f\leq g$ então:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Defina $h:X\to[0,+\infty]$ fazendo:

h(x)=\begin{cases}g(x)-f(x),&\text{se $x\in f^{-1}\big{(}\left[0,+\infty\right% [\big{)}$},\\ \hfil 0,&\text{se $x\in f^{-1}(+\infty)$},\end{cases}

para todo $x\in X$ . Temos $g=f+h$ . A função $h$ é mensurável, pelo Lema 2.1.13 e pela Proposição 2.1.19. Além do mais, a função $h$ é simples já que sua imagem está contida no conjunto finito:

\{0\}\cup\big{\{}a-b:\text{$a\in\mathrm{Im}(g)$, $b\in\mathrm{Im}(f)$ e $b<+% \infty$}\big{\}}.

Segue então do Lema 2.2.4 que:

\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}h\,\mathrm{d}\mu\geq% \int_{X}f\,\mathrm{d}\mu,

já que $\int_{X}h\,\mathrm{d}\mu\geq 0$ . ∎

2.2.8 Lema.

Sejam $f:X\to[0,+\infty]$ uma função simples mensurável e $c\in[0,+\infty]$ . Então:

\int_{X}cf\,\mathrm{d}\mu=c\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Escreva:

f=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{A_{i}},

onde os conjuntos $A_{1},\ldots,A_{k}\in\mathcal{A}$ constituem uma partição de $X$ . Daí:

cf=\sum_{i=1}^{k}cc_{i}\chi_{A_{i}}.

O Lema 2.2.3 nos dá então:

\int_{X}cf\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{k}cc_{i}\mu(A_{i})=c\sum_{i=1}^{k}c_{i}% \mu(A_{i})=c\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu.\qed