2.8. O Teorema de Fubini em ${\mathds{R}^{n}}$

A função $i_{x}$ é contínua e portanto Borel mensurável (veja Lema 2.1.15). A conclusão segue de (2.8.2). ∎

Denote por $\mathcal{C}$ a coleção de todos os Boreleanos $A$ de $\mathds{R}^{m+n}$ para os quais a função (2.8.3) é mensurável e a igualdade (2.8.4) é satisfeita. A idéia da prova é mostrar várias propriedades da coleção $\mathcal{C}$ até que finalmente concluímos que ela coincide com a classe de todos os Boreleanos de $\mathds{R}^{m+n}$.

• Passo 1.
  ​

  Os blocos retangulares $(m+n)$-dimensionais pertencem a $\mathcal{C}$.

  Se $A$ é um bloco retangular $(m+n)$-dimensional então podemos escrever $A=A_{1}\times A_{2}$, onde $A_{1}$ e $A_{2}$ são respectivamente um bloco retangular $m$-dimensional e um bloco retangular $n$-dimensional. Para todo $x\in\mathds{R}^{m}$, temos:

  $$A_{x}=\begin{cases}A_{2},&\text{se $x\in A_{1}$},\\ \hfil\emptyset,&\text{se $x\not\in A_{1}$},\end{cases}$$

  e portanto:

  $$\mathfrak{m}(A_{x})=|A_{2}|\,\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A_{1}$}}(x),$$

  para todo $x\in\mathds{R}^{m}$. Segue que (2.8.3) é uma função simples mensurável cuja integral é igual a $|A_{2}|\,|A_{1}|=|A|$.

• Passo 2.
  ​

  Se $A,B\in\mathcal{C}$ e $A$ e $B$ são disjuntos então $A\cup B\in\mathcal{C}$.

  Segue de (2.8.2) que $(A\cup B)_{x}=A_{x}\cup B_{x}$ e que $A_{x}$ e $B_{x}$ são disjuntos para todo $x\in\mathds{R}^{m}$; logo:

  $$\mathfrak{m}\big{(}(A\cup B)_{x}\big{)}=\mathfrak{m}(A_{x})+\mathfrak{m}(B_{x}),$$

  para todo $x\in\mathds{R}^{m}$. Segue que a função $x\mapsto\mathfrak{m}\big{(}(A\cup B)_{x}\big{)}$ é mensurável, sendo uma soma de funções mensuráveis; sua integral é dada por:

  $$\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}\big{(}(A\cup B)_{x}\big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(A_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)+\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(B_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\\ =\mathfrak{m}(A)+\mathfrak{m}(B)=\mathfrak{m}(A\cup B).$$
• Passo 3.
  ​

  Se $A,B\in\mathcal{C}$, $B\subset A$ e $B$ é limitado então $A\setminus B\in\mathcal{C}$.

  Como $B$ é limitado então $\mathfrak{m}(B)<+\infty$ e $\mathfrak{m}(B_{x})<+\infty$, para todo $x\in\mathds{R}^{m}$. Segue de (2.8.2) que $B_{x}\subset A_{x}$ e $(A\setminus B)_{x}=A_{x}\setminus B_{x}$, para todo $x\in\mathds{R}^{m}$; logo:

  $$\mathfrak{m}\big{(}(A\setminus B)_{x}\big{)}=\mathfrak{m}(A_{x})-\mathfrak{m}(B_{x}),$$

  para todo $x\in\mathds{R}^{m}$, provando que a função $x\mapsto\mathfrak{m}\big{(}(A\setminus B)_{x}\big{)}$ é mensurável. Além do mais:

  $$\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}\big{(}(A\setminus B)_{x}\big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(A_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)-\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(B_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\\ =\mathfrak{m}(A)-\mathfrak{m}(B)=\mathfrak{m}(A\setminus B).$$
• Passo 4.
  ​

  Se $(A^{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos de $\mathcal{C}$ e se $A^{k}\nearrow A$ então $A\in\mathcal{C}$.

  Segue de (2.8.2) que $A^{k}_{x}\nearrow A_{x}$, para todo $x\in\mathds{R}^{m}$; logo, pelo Lema 1.4.48:

  $$\mathfrak{m}(A_{x})=\lim_{k\to\infty}\mathfrak{m}(A^{k}_{x}),$$

  para todo $x\in\mathds{R}^{m}$. Segue que a função $x\mapsto\mathfrak{m}(A_{x})$ é mensurável, sendo um limite de funções mensuráveis. Pelo Teorema da Convergência Monotônica, temos:

  $$\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(A_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\lim_{k\to\infty}\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(A^{k}_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\lim_{k\to\infty}\mathfrak{m}(A^{k})=\mathfrak{m}(A).$$
• Passo 5.
  ​

  Se $(A^{k})_{k\geq 1}$ é uma seqüência de elementos de $\mathcal{C}$, $A^{1}$ é limitado e $A^{k}\searrow A$ então $A\in\mathcal{C}$.

  Como $A^{1}$ é limitado, temos $\mathfrak{m}(A^{k})<+\infty$ e $\mathfrak{m}(A^{k}_{x})<+\infty$, para todos $k\geq 1$ e $x\in\mathds{R}^{m}$. Essa observação permite demonstrar o passo 5 de forma análoga à demonstração do passo 4.

• Passo 6.
  ​

  Se $A,B\in\mathcal{C}$, $A\cap B\in\mathcal{C}$ e $A\cap B$ é limitado então $A\cup B\in\mathcal{C}$.

  Segue dos passos 2 e 3, observando que:

  $$A\cup B=(A\setminus B)\cup B=\big{(}A\setminus(A\cap B)\big{)}\cup B,$$

  sendo que os conjuntos $A\setminus(A\cap B)$ e $B$ são disjuntos.

• Passo 7.
  ​

  Se $B_{1}$, …, $B_{k}$ são blocos retangulares $(m+n)$-dimensionais então $\bigcup_{i=1}^{k}B_{i}\in\mathcal{C}$.

  Usamos indução em $k$. O caso $k=1$ segue do passo 1. Suponha que a união de qualquer coleção de $k$ blocos retangulares $(m+n)$-dimensionais pertence a $\mathcal{C}$ e sejam dados blocos retangulares $(m+n)$-dimensionais $B_{1}$, …, $B_{k+1}$. Como qualquer subconjunto de uma união finita de blocos retangulares é sempre um conjunto limitado, em virtude do passo 6, para mostrar que $\bigcup_{i=1}^{k+1}B_{i}=\big{(}\bigcup_{i=1}^{k}B_{i}\big{)}\cup B_{k+1}$ está em $\mathcal{C}$ é suficiente mostrar que $\big{(}\bigcup_{i=1}^{k}B_{i}\big{)}\cap B_{k+1}$ está em $\mathcal{C}$. Mas:

  $$\Big{(}\bigcup_{i=1}^{k}B_{i}\Big{)}\cap B_{k+1}=\bigcup_{i=1}^{k}(B_{i}\cap B_{k+1}),$$

  sendo que $B_{i}\cap B_{k+1}$ é um bloco retangular $(m+n)$-dimensional para $i=1,\ldots,k$. Segue da hipótese de indução que $\big{(}\bigcup_{i=1}^{k}B_{i}\big{)}\cap B_{k+1}\in\mathcal{C}$.

• Passo 8.
  ​

  Todo subconjunto aberto de $\mathds{R}^{m+n}$ pertence a $\mathcal{C}$.

  Se $U\subset\mathds{R}^{m+n}$ é aberto então o Lema 1.4.23 nos permite escrever $U=\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}$, onde cada $B_{i}$ é um bloco retangular $(m+n)$-dimensional. Definindo $A_{k}=\bigcup_{i=1}^{k}B_{i}$ então $A_{k}\in\mathcal{C}$, pelo passo 7 e $A_{k}\nearrow U$. A conclusão segue do passo 4.

• Passo 9.
  ​

  Todo subconjunto de $\mathds{R}^{m+n}$ de tipo $G_{\delta}$ está em $\mathcal{C}$.

  Seja $Z\subset\mathds{R}^{m+n}$ um $G_{\delta}$. Assumimos inicialmente que $Z$ é limitado. Seja $(U_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüência de abertos de $\mathds{R}^{m+n}$ com $Z=\bigcap_{k=1}^{\infty}U_{k}$ e seja $U_{0}$ um aberto limitado de $\mathds{R}^{m+n}$ que contém $Z$. Definindo:

  $$A_{k}=\bigcap_{i=0}^{k}U_{i},$$

  então $A_{k}$ é um aberto limitado para todo $k\geq 1$ e $A_{k}\searrow Z$. Segue dos passos 5 e 8 que $Z\in\mathcal{C}$.

  Seja agora $Z\subset\mathds{R}^{m+n}$ um $G_{\delta}$ arbitrário. Temos que

  $$Z_{k}=Z\cap\left]-k,k\right[^{\,m+n}$$

  é um $G_{\delta}$ limitado para todo $k\geq 1$ e portanto $Z_{k}\in\mathcal{C}$, pelo que mostramos acima. A conclusão segue do passo 4, já que $Z_{k}\nearrow Z$.

• Passo 10.
  ​

  A coleção $\mathcal{C}$ coincide com a coleção de todos os subconjuntos Boreleanos de $\mathds{R}^{m+n}$.

  Seja $A\subset\mathds{R}^{m+n}$ um Boreleano. Pelo Lema 1.4.28 existe um subconjunto $Z$ de $\mathds{R}^{m+n}$ de tipo $G_{\delta}$ com $A\subset Z$ e $\mathfrak{m}(Z\setminus A)=0$. Pelo Lema 1.4.50, existe um subconjunto $E$ de $\mathds{R}^{m+n}$ de tipo $G_{\delta}$ com $Z\setminus A\subset E$ e $\mathfrak{m}(E)=\mathfrak{m}(Z\setminus A)=0$. O passo 9 nos garante que $E$ e $Z$ estão em $\mathcal{C}$. Logo:

  $$\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(E_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\mathfrak{m}(E)=0;$$

  como $\mathfrak{m}(E_{x})\geq 0$, para todo $x$, o resultado do Exercício 2.21 implica que $\mathfrak{m}(E_{x})=0$ para quase todo $x\in\mathds{R}^{m+n}$. Como $(Z\setminus A)_{x}\subset E_{x}$, para todo $x\in\mathds{R}^{m}$, segue que $\mathfrak{m}\big{(}(Z\setminus A)_{x}\big{)}=0$ para quase todo $x\in\mathds{R}^{m}$. Temos então:

  $$\mathfrak{m}(Z_{x})=\mathfrak{m}(A_{x})+\mathfrak{m}\big{(}(Z\setminus A)_{x}\big{)}=\mathfrak{m}(A_{x}),$$

  para quase todo $x\in\mathds{R}^{m}$, já que $Z_{x}$ é união disjunta de $A_{x}$ e $(Z\setminus A)_{x}$, para todo $x$. Vemos então que a funções $x\mapsto\mathfrak{m}(Z_{x})$ e $x\mapsto\mathfrak{m}(A_{x})$ são iguais quase sempre, o que implica que $x\mapsto\mathfrak{m}(A_{x})$ é uma função mensurável pelo resultado do item (b) do Exercício 2.8. Além do mais:

  $$\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(A_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{\mathds{R}^{m}}\mathfrak{m}(Z_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\mathfrak{m}(Z)=\mathfrak{m}(A),$$

  provando que $A\in\mathcal{C}$. Isso completa a demonstração.∎

Basta repetir os argumentos da demonstração do passo 10 do Lema 2.8.2; a única diferença é que não sabemos a priori que as fatias de $A$ são mensuráveis. Mas sabemos que $E_{x}$ tem medida nula para quase todo $x\in\mathds{R}^{m}$ e portanto $(Z\setminus A)_{x}$ é mensurável e tem medida nula para quase todo $x\in\mathds{R}^{m}$; como:

segue que também $A_{x}$ é mensurável para quase todo $x\in\mathds{R}^{m}$. ∎

Dividimos a demonstração em itens.

• $\bullet$
  ​

  O teorema vale se $f$ é simples, mensurável e não negativa.

  Podemos escrever $f=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A^{i}$}}$, com $c_{i}\in[0,+\infty]$ e $A^{i}$ um subconjunto mensurável de $X\times Y$, para $i=1,\ldots,k$. Note que, se $x\in X$, temos:

  $$f(x,y)=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A^{i}_{x}$}}(y),$$ (2.8.5)

  para todo $y\in Y$. Pela Proposição 2.8.3, existe para cada $i=1,\ldots,k$ um conjunto de medida nula $N_{i}\subset\mathds{R}^{m}$ tal que $A^{i}_{x}$ é mensurável para todo $x\in\mathds{R}^{m}\setminus N_{i}$. Daí $N=\bigcup_{i=1}^{k}N_{i}$ tem medida nula e segue de (2.8.5) que para $x\in\mathds{R}^{m}\setminus N$, a função $y\mapsto f(x,y)$ é mensurável e sua integral é dada por:

  $$\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)=\int_{Y}\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle A^{i}_{x}$}}(y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mathfrak{m}(A^{i}_{x}).$$

  Logo:

  $$\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{\mathds{R}^{m}}\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mathfrak{m}(A^{i}_{x})\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mathfrak{m}(A^{i})\\ =\int_{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y).$$
• $\bullet$
  ​

  O teorema vale se $f$ é mensurável e não negativa.

  Seja $(f_{k})_{k\geq 1}$ uma seqüências de funções $f_{k}:X\times Y\to[0,+\infty]$ simples e mensuráveis com $f_{k}\nearrow f$. Seja $N_{k}\subset\mathds{R}^{m}$ um conjunto de medida nula tal que a função $y\mapsto f_{k}(x,y)$ é mensurável para todo $x\in X\setminus N_{k}$. Daí $N=\bigcup_{k=1}^{\infty}N_{k}$ tem medida nula e a função:

  $$Y\ni y\longmapsto f(x,y)=\lim_{k\to\infty}f_{k}(x,y)\in[0,+\infty]$$

  é mensurável para todo $x\in X\setminus N$. Pelo Teorema da Convergência Monotônica, temos:

  $$\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)=\lim_{k\to\infty}\int_{Y}f_{k}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y),$$

  para todo $x\in X\setminus N$. Logo a função $x\mapsto\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)$ é mensurável e, usando novamente o Teorema da Convergência Monotônica, obtemos:

  $$\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\lim_{k\to\infty}\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f_{k}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\\ =\lim_{k\to\infty}\int_{X\times Y}f_{k}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y)=\int_{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y).$$
• $\bullet$
  ​

  O teorema vale se $f$ é quase integrável.

  Como $f^{+}$ e $f^{-}$ são funções mensuráveis não negativas, temos:

  	$$\displaystyle\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{X\times Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y),$$		(2.8.6)
  	$$\displaystyle\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)=\int_{X\times Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y).$$		(2.8.7)

  Como $f$ é quase integrável, temos que $f^{+}$ é integrável ou $f^{-}$ é integrável; para fixar as idéias, vamos supor que $\int_{X\times Y}f^{-}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}<+\infty$. Tendo em mente o resultado do Exercício 2.19, segue de (2.8.7) que:

  $$\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)<+\infty,$$

  para quase todo $x\in X$. Segue que a função $y\mapsto f(x,y)$ é quase integrável para quase todo $x\in X$; além do mais, de (2.8.6) e (2.8.7) vem:

  $$\begin{aligned} \int_{X}\Big{(}\int_{Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)&=\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\\ &-\int_{X}\Big{(}\int_{Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(y)\Big{)}\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)\end{aligned}\\ =\int_{X\times Y}f^{+}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y)-\int_{X\times Y}f^{-}(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y)\\ =\int_{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x,y).\qed$$

Considere a permutação $\sigma$ de $m+n$ elementos dada por:

de modo que:

para todos $x\in\mathds{R}^{m}$, $y\in\mathds{R}^{n}$. Temos que:

Em vista das observações que precedem o enunciado do corolário, temos que $f\circ\widehat{\sigma}|_{Y\times X}:Y\times X\to\overline{\mathds{R}}$ é quase integrável e tem a mesma integral que $f$. A conclusão é obtida aplicando o Teorema 2.8.4 à função $f\circ\widehat{\sigma}|_{Y\times X}$, trocando os papéis de $m$ e $n$. ∎