2.1. Funções Mensuráveis

Recorde da Definição 1.4.42 que um espaço mensurável é um conjunto $X$ do qual destacamos uma certa coleção de subconjuntos $\mathcal{A}\subset\wp(X)$ (mais precisamente, uma $\sigma$-álgebra de partes de $X$) aos quais damos o nome de mensuráveis. A palavra “mensurável” nesse contexto não indica que os conjuntos possam ser medidos de alguma forma ou que estamos assumindo a existência de alguma medida não trivial definida em $\mathcal{A}$. Um mesmo conjunto $X$ admite em geral diversas $\sigma$-álgebras; por exemplo, $\{\emptyset,X\}$ e $\wp(X)$ são sempre exemplos (triviais) de $\sigma$-álgebras de partes de $X$. Portanto, o termo “mensurável” só deve ser usado quando uma $\sigma$-álgebra específica estiver fixada pelo contexto. No conjunto $\mathds{R}^{n}$, temos dois exemplos importantes de $\sigma$-álgebras; a $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathds{R}^{n})$ e a $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})$ de conjuntos Lebesgue mensuráveis. No que segue, precisaremos também introduzir uma $\sigma$-álgebra de Borel para a reta estendida $\overline{\mathds{R}}$; temos a seguinte:

É fácil ver que os subconjuntos Boreleanos de $\overline{\mathds{R}}$ constituem de fato uma $\sigma$-álgebra de partes de $\overline{\mathds{R}}$. Tal $\sigma$-álgebra será chamada a $\sigma$-álgebra de Borel de $\overline{\mathds{R}}$ e será denotada por $\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})$.

A $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ de um espaço mensurável $(X,\mathcal{A})$ pode ser entendida como uma estrutura que colocamos no conjunto subjacente $X$ (assim como, digamos, as operações de um espaço vetorial constituem uma estrutura no conjunto subjacente). Devemos então introduzir uma noção de função que preserva a estrutura de um espaço mensurável.

Em outras palavras, uma função é mensurável se a imagem inversa de conjuntos mensuráveis é mensurável. Quando as $\sigma$-álgebras em questão estiverem subentendidas pelo contexto, nos referiremos apenas à mensurabilidade da função $f:X\to X^{\prime}$, omitindo a menção explícita a $\mathcal{A}$ e $\mathcal{A}^{\prime}$.

O conjunto $\mathds{R}^{n}$ aparecerá com muita freqüência como domínio ou contra-domínio de nossas funções e introduzimos abaixo uma convenção que evita a necessidade de especificar a $\sigma$-álgebra considerada em $\mathds{R}^{n}$ em cada situação.

Por exemplo, em vista da convenção 2.1.3 acima, uma função mensurável $f:\mathds{R}\to\mathds{R}$ é uma função tal que $f^{-1}(E)\in\mathcal{M}(\mathds{R})$, para todo $E\in\mathcal{B}(\mathds{R})$.

Nós dificilmente teremos qualquer interesse em considerar a $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})$ em $\mathds{R}^{n}$ quando o mesmo aparece no contra-domínio de uma função; por outro lado, em algumas situações é interessante considerar a $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}(\mathds{R}^{n})$ em $\mathds{R}^{n}$ quando o mesmo aparece no domínio de uma função (contrariando, portanto, a convenção 2.1.3). Introduzimos então a seguinte terminologia.

Para verificar a mensurabilidade de uma função $f:(X,\mathcal{A})\to(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ não é necessário verificar que $f^{-1}(E)\in\mathcal{A}$ para todo $E\in\mathcal{A}^{\prime}$, mas apenas para $E$ pertencente a um conjunto de geradores de $\mathcal{A}^{\prime}$. Esse é o conteúdo do seguinte:

É necessário cüidado na utilização do Lema 2.1.9; para concluir a mensurabilidade de $g\circ f$ a partir da mensurabilidade de $f$ e de $g$ é necessário que a $\sigma$-álgebra fixada para o contra-domínio de $f$ e para o domínio de $g$ sejam as mesmas. Em vista da convenção 2.1.3, se $f:(X,\mathcal{A})\to\mathds{R}^{n}$ e $g:\mathds{R}^{n}\to(X^{\prime},\mathcal{A}^{\prime})$ são funções mensuráveis então não podemos usar o Lema 2.1.9 para concluir que $g\circ f$ é mensurável já que adotamos a $\sigma$-álgebra de Borel para o contra-domínio de $f$ e a $\sigma$-álgebra de conjuntos Lebesgue mensuráveis para o domínio de $g$. Nós poderíamos utilizar o Lema 2.1.9 para concluir que $g\circ f$ é mensurável caso soubéssemos, por exemplo, que $f$ é mensurável e que $g$ é Borel mensurável.

Se $f$ é uma função definida num espaço mensurável $(X,\mathcal{A})$ então em muitas situações é interessante considerar restrições de $f$ a subconjuntos de $X$ e gostaríamos que tais subconjuntos de $X$ pudessem ser encarados como espaços mensuráveis. Dado então um subconjunto $Y\subset X$, definimos:

é fácil ver que $\mathcal{A}|_{Y}$ é uma $\sigma$-álgebra de partes de $Y$ (veja Exercício 2.2).

Observe que se $(X,\mathcal{A})$ é um espaço mensurável e se $Y\in\mathcal{A}$ então os elementos da $\sigma$-álgebra induzida $\mathcal{A}|_{Y}$ são precisamente os elementos de $\mathcal{A}$ que estão contidos em $Y$; em símbolos:

Em outras palavras, se $Y$ é mensurável então os subconjuntos mensuráveis do subespaço mensurável $Y$ de $X$ são precisamente os subconjuntos mensuráveis de $X$ que estão contidos em $Y$.

Em vista das convenções 2.1.11 e 2.1.3, observamos que:

• •
  ​

  se um subconjunto $Y$ de $\mathds{R}^{n}$ (resp., um subconjunto $Y$ de $\overline{\mathds{R}}$) aparece no contra-domínio de uma função, consideramo-lo munido da $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}(\mathds{R}^{n})|_{Y}$ induzida da $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathds{R}^{n}$ (resp., da $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})|_{Y}$ induzida da $\sigma$-álgebra de Borel de $\overline{\mathds{R}}$);

• •
  ​

  se um subconjunto $Y$ de $\mathds{R}^{n}$ aparece no domínio de uma função, consideramo-lo munido da $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})|_{Y}$ induzida da $\sigma$-álgebra de subconjuntos Lebesgue mensuráveis de $\mathds{R}^{n}$;

• •
  ​

  se $Y$ é um subconjunto de $\mathds{R}^{n}$ (resp., um subconjunto de $\overline{\mathds{R}}$) e se $(X,\mathcal{A})$ é um espaço mensurável então uma função $f:Y\to(X,\mathcal{A})$ é dita Borel mensurável quando a função $f:\big{(}Y,\mathcal{B}(\mathds{R}^{n})|_{Y}\big{)}\to(X,\mathcal{A})$ (resp., a função $f:\big{(}Y,\mathcal{B}(\overline{\mathds{R}})|_{Y}\big{)}\to(X,\mathcal{A})$) for mensurável.

Se $f:X\to\mathds{R}^{n}$, $g:X\to\mathds{R}^{n}$ são funções definidas num conjunto arbitrário $X$ então, como é usual, definimos a soma $f+g:X\to\mathds{R}^{n}$ das funções $f$ e $g$ fazendo $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, para todo $x\in X$; para $n=1$, podemos definir também o produto $fg:X\to\mathds{R}^{n}$ fazendo $(fg)(x)=f(x)g(x)$, para todo $x\in X$.

Note que para funções $f:X\to\overline{\mathds{R}}$, $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ a valores na reta estendida, também podemos definir a soma $f+g:X\to\overline{\mathds{R}}$, desde que a soma $f(x)+g(x)$ esteja bem definida (i.e., não seja da forma $(+\infty)+(-\infty)$ ou $(-\infty)+(+\infty)$) para todo $x\in X$. O produto $fg:X\to\overline{\mathds{R}}$ pode ser definido sempre, sem nenhuma restrição sobre $f$ e $g$.

É fácil ver que $x=x^{+}-x^{-}$ e $|x|=x^{+}+x^{-}$, para todo $x\in\overline{\mathds{R}}$; em particular, se $f$ é uma função tomando valores em $\overline{\mathds{R}}$ então:

onde, obviamente, $|f|$ denota a função $|f|(x)=|f(x)|$.