2.5. Teoremas de Convergência

No que segue, $(X,\mathcal{A},\mu)$ denota sempre um espaço de medida.

2.5.1 Teorema (da convergência monotônica).

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\overline{\mathds{R}}$ e seja $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função mensurável. Suponha que $f_{1}$ é quase integrável. Então:

(a)

se $\int_{X}f_{1}\,\mathrm{d}\mu>-\infty$ e $f_{n}\nearrow f$ q. s. então $f$ e $f_{n}$ são quase integráveis para todo $n\geq 1$ e $\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ ;
(b)

se $\int_{X}f_{1}\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ e $f_{n}\searrow f$ q. s. então $f$ e $f_{n}$ são quase integráveis para todo $n\geq 1$ e $\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ .

Demonstração.

É suficiente provar o item (a), já que o item (b) segue do item (a) trocando $f_{n}$ por $-f_{n}$ e $f$ por $-f$ . Em primeiro lugar, como $\int_{X}f_{1}\,\mathrm{d}\mu>-\infty$ , segue do resultado do Exercício 2.19 que $f_{1}>-\infty$ quase sempre; existe portanto um subconjunto mensurável $X^{\prime}$ de $X$ com complementar de medida nula tal que $f_{1}(x)>-\infty$ e $f_{n}(x)\nearrow f(x)$ , para todo $x\in X^{\prime}$ . Em vista do Corolário 2.4.11, é suficiente mostrar a tese do teorema para as restrições a $X^{\prime}$ das funções em questão. Para cada $n\geq 1$ , defina $g_{n}:X^{\prime}\to[0,+\infty]$ fazendo $g_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{1}(x)$ , se $f_{1}(x)<+\infty$ e $g_{n}(x)=0$ , se $f_{1}(x)=+\infty$ ; daí $g_{n}$ é mensurável e $f_{n}=g_{n}+f_{1}$ . De modo análogo, definimos $g:X^{\prime}\to[0,+\infty]$ mensurável com $f=g+f_{1}$ . Daí $g_{n}\nearrow g$ e portanto o Teorema 2.3.3 nos dá:

\lim_{n\to\infty}\int_{X^{\prime}}g_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X^{\prime}}g\,% \mathrm{d}\mu.

(2.5.1)

Note que como $\int_{X^{\prime}}f_{1}\,\mathrm{d}\mu>-\infty$ e $\int_{X^{\prime}}g_{n}\,\mathrm{d}\mu\geq 0$ , o item (a) da Proposição 2.4.7 nos diz que $f_{n}=g_{n}+f_{1}$ é quase integrável e:

\int_{X^{\prime}}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X^{\prime}}g_{n}\,\mathrm{d}\mu+% \int_{X^{\prime}}f_{1}\,\mathrm{d}\mu;

(2.5.2)

similarmente, $f$ é quase integrável e $\int_{X^{\prime}}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X^{\prime}}g\,\mathrm{d}\mu+\int_{X^{% \prime}}f_{1}\,\mathrm{d}\mu$ . A conclusão é obtida agora fazendo $n\to\infty$ em (2.5.2) e usando (2.5.1). ∎

2.5.2 Proposição (Lema de Fatou).

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\overline{\mathds{R}}$ . Então:

(a)

se existe uma função quase integrável $\phi:X\to\overline{\mathds{R}}$ tal que $f_{n}\geq\phi$ q. s. para todo $n\geq 1$ e $\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu>-\infty$ então $f_{n}$ é quase integrável para todo $n\geq 1$ , $\liminf_{n\to\infty}f_{n}$ é quase integrável e:

$\int_{X}\liminf_{n\to\infty}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\leq\liminf_{n\to\infty}\int_{% X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu;$
(b)

se existe uma função quase integrável $\phi:X\to\overline{\mathds{R}}$ tal que $f_{n}\leq\phi$ q. s. para todo $n\geq 1$ e $\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ então $f_{n}$ é quase integrável para todo $n\geq 1$ , $\limsup_{n\to\infty}f_{n}$ é quase integrável e:

$\limsup_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}\limsup_{n\to% \infty}f_{n}\,\mathrm{d}\mu.$

Demonstração.

É suficiente mostrar o item (a), já que o item (b) segue do item (a) trocando $f_{n}$ por $-f_{n}$ e $\phi$ por $-\phi$ . Em primeiro lugar, a quase integrabilidade das funções $f_{n}$ segue do resultado do Exercício 2.20. Para cada $n\geq 1$ seja $g_{n}=\inf_{k\geq n}f_{k}$ . Daí $g_{n}\geq\phi$ q. s., de modo que $g_{n}$ é quase integrável e $\int_{X}g_{n}\,\mathrm{d}\mu>-\infty$ ; além do mais, $g_{n}\leq f_{k}$ para todo $k\geq n$ e portanto:

\int_{X}g_{n}\,\mathrm{d}\mu\leq\inf_{k\geq n}\int_{X}f_{k}\,\mathrm{d}\mu.

Claramente $g_{n}\nearrow(\liminf_{k\to\infty}f_{k})$ e portanto a conclusão segue do item (a) do Teorema 2.5.1, fazendo $n\to\infty$ na desigualdade acima. ∎

2.5.3 Notação.

Se $(f_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência de funções $f_{n}:X\to\overline{\mathds{R}}$ e $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ é uma função então escrevemos $f_{n}\to f$ quando $(f_{n})_{n\geq 1}$ convergir para $f$ pontualmente, i.e., $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)$ para todo $x\in X$ . Se $(X,\mathcal{A},\mu)$ é um espaço de medida, escrevemos $f_{n}\to f$ q. s. quando a seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ converge para $f$ pontualmente quase sempre, i.e., se existe $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ e tal que $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)$ para todo $x\in X^{\prime}$ .

2.5.4 Teorema (da convergência dominada).

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis $f_{n}:X\to\overline{\mathds{R}}$ tal que $f_{n}\to f$ q. s., onde $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ é uma função mensurável. Se existe uma função integrável $\phi:X\to[0,+\infty]$ tal que $|f_{n}|\leq\phi$ q. s. para todo $n\geq 1$ então $f_{n}$ é integrável para todo $n\geq 1$ , $f$ é integrável e:

\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu.

Demonstração.

A integrabilidade das funções $f_{n}$ , $f$ segue das desigualdades $|f_{n}|\leq\phi$ q. s. e $|f|\leq\phi$ q. s. e do resultado do Exercício 2.20. Como $-\phi\leq f_{n}\leq\phi$ q. s. para todo $n\geq 1$ e $\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu\in\mathds{R}$ , estamos dentro das hipóteses de ambos os itens da Proposição 2.5.2 e portanto:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}\liminf_{n\to\infty}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\leq% \liminf_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\leq\limsup_{n\to\infty}\int_{% X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\\ \leq\int_{X}\limsup_{n\to\infty}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu.

Logo $\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ . ∎

2.5.5 Proposição.

Sejam $Y$ um subconjunto de $\mathds{R}^{n}$ , $y_{0}\in\mathds{R}^{n}$ um ponto de acumulação de $Y$ e $f:X\times Y\to\mathds{R}$ uma função tal que:

•

para todo $y\in Y$ , a função $X\ni x\mapsto f(x,y)\in\mathds{R}$ é integrável;
•

para todo $x\in X$ o limite $\lim_{y\to y_{0}}f(x,y)$ existe em $\mathds{R}$ ;
•

existe uma função integrável $\phi:X\to\mathds{R}$ e uma vizinhança $V$ de $y_{0}$ em $\mathds{R}^{n}$ tal que $|f(x,y)|\leq\phi(x)$ , para todo $x\in X$ e todo $y\in V\cap Y$ com $y\neq y_{0}$ .

Então, a função $X\ni x\mapsto\lim_{y\to y_{0}}f(x,y)\in\mathds{R}$ é integrável, o limite $\lim_{y\to y_{0}}\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x)$ existe e:

\lim_{y\to y_{0}}\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x)=\int_{X}\lim_{y\to y_{0}}f(x% ,y)\,\mathrm{d}\mu(x).

Demonstração.

Considere a aplicação $g:Y\to\mathds{R}$ definida por:

g(y)=\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x),

para todo $y\in Y$ e a aplicação $h:X\to\mathds{R}$ definida por:

h(x)=\lim_{y\to y_{0}}f(x,y),

para todo $x\in X$ . Devemos mostrar que $h$ é integrável e que o limite $\lim_{y\to y_{0}}g(y)$ existe e é igual à integral de $h$ . Seja $(y_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência em $Y$ com $y_{n}\neq y_{0}$ para todo $n\geq 1$ e $\lim_{n\to\infty}y_{n}=y_{0}$ . Para cada $n\geq 1$ , considere a função $f_{n}:X\to\mathds{R}$ definida por $f_{n}(x)=f(x,y_{n})$ , para todo $x\in X$ . Temos que $f_{n}$ é integrável, para todo $n\geq 1$ e que $f_{n}\to h$ . Para $n$ suficientemente grande temos $y_{n}\in V$ e portanto $|f_{n}|\leq\phi$ . Segue do Teorema 2.5.4 que $h$ é integrável e que:

\int_{X}h\,\mathrm{d}\mu=\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\lim_{n% \to\infty}g(y_{n}).

Como $(y_{n})_{n\geq 1}$ é uma seqüência arbitrária em $Y\setminus\{y_{0}\}$ convergindo para $y_{0}$ , segue que $\lim_{y\to y_{0}}g(y)=\int_{X}h\,\mathrm{d}\mu$ . ∎

2.5.6 Corolário.

Seja $Y$ um subconjunto de $\mathds{R}^{n}$ , $y_{0}$ um ponto de $Y$ e $f:X\times Y\to\mathds{R}$ uma função tal que:

•

para todo $y\in Y$ , a função $X\ni x\mapsto f(x,y)\in\mathds{R}$ é integrável;
•

para todo $x\in X$ , a função $Y\ni y\mapsto f(x,y)\in\mathds{R}$ é contínua no ponto $y_{0}$ ;
•

existe uma função integrável $\phi:X\to\mathds{R}$ e uma vizinhança $V$ de $y_{0}$ em $\mathds{R}^{n}$ tal que $|f(x,y)|\leq\phi(x)$ , para todo $x\in X$ e todo $y\in V\cap Y$ com $y\neq y_{0}$ .

Então, a função $Y\ni y\mapsto\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x)\in\mathds{R}$ é contínua no ponto $y_{0}$ .

Demonstração.

Se $y_{0}$ é um ponto isolado de $Y$ então não há nada para ser mostrado, já que toda função é contínua em pontos isolados de seu domínio. Se $y_{0}$ é um ponto de acumulação de $Y$ , a Proposição 2.5.5 nos dá:

\lim_{y\to y_{0}}\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x)=\int_{X}\lim_{y\to y_{0}}f(x% ,y)\,\mathrm{d}\mu(x)=\int_{X}f(x,y_{0})\,\mathrm{d}\mu(x),

o que completa a demonstração. ∎

2.5.7 Proposição.

Sejam $I\subset\mathds{R}$ um intervalo com mais de um ponto, $y_{0}$ um ponto de $I$ e $f:X\times I\to\mathds{R}$ uma função tal que:

•

para todo $y\in I$ , a função $X\ni x\mapsto f(x,y)\in\mathds{R}$ é integrável;
•

para todo $x\in X$ , a função $I\ni y\mapsto f(x,y)\in\mathds{R}$ é derivável;
•

existe uma função integrável $\phi:X\to\mathds{R}$ e $\varepsilon>0$ tal que:

$\Big{|}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Big{|}\leq\phi(x),$

para todo $x\in X$ e todo $y\in I\cap\left]y_{0}-\varepsilon,y_{0}+\varepsilon\right[$ com $y\neq y_{0}$ .

Então a função $I\ni y\mapsto\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x)\in\mathds{R}$ é derivável no ponto $y_{0}$ , a função $X\ni x\mapsto\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_{0})\in\mathds{R}$ é integrável e:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\Big{|}_{y=y_{0}}\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x% )=\int_{X}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_{0})\,\mathrm{d}\mu(x).

Demonstração.

Considere a função $g:I\to\mathds{R}$ definida por:

g(x,y)=\int_{X}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu(x),

para todo $y\in I$ . Dado $h\neq 0$ com $y_{0}+h\in I$ então:

\frac{g(y_{0}+h)-g(y_{0})}{h}=\int_{X}\frac{f(x,y_{0}+h)-f(x,y_{0})}{h}\,% \mathrm{d}\mu(x).

(2.5.3)

Obviamente:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y_{0}+h)-f(x,y_{0})}{h}=\frac{\partial f}{\partial y}(x% ,y_{0}),

(2.5.4)

para todo $x\in X$ . Se $h\neq 0$ , $y_{0}+h\in I$ e $|h|\leq\varepsilon$ então o Teorema do Valor Médio nos dá:

\Big{|}\frac{f(x,y_{0}+h)-f(x,y_{0})}{h}\Big{|}=\Big{|}\frac{\partial f}{% \partial y}(x,y_{0}+\theta h)\Big{|}\leq\phi(x),

(2.5.5)

onde $\theta\in\left]0,1\right[$ . A conclusão segue da Proposição 2.5.5 e de (2.5.4) e (2.5.5), fazendo $h\to 0$ em (2.5.3). ∎