2.3. Integrando Funções Mensuráveis não Negativas

Ao longo de toda esta seção consideramos fixado um espaço de medida $(X,\mathcal{A},\mu)$ . Dada uma função mensurável não negativa $f:X\to[0,+\infty]$ consideramos o conjunto:

\mathcal{I}(f)=\Big{\{}\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu:\text{$\phi:X\to[0,+\infty]% $ é função simples mensurável}\\ \text{tal que $\phi\leq f$}\Big{\}}\subset[0,+\infty].

(2.3.1)

Observe que o conjunto $\mathcal{I}(f)$ não é vazio, já que a função $\phi\equiv 0$ é simples, mensurável, não negativa e menor ou igual a $f$ , de modo que $0\in\mathcal{I}(f)$ . Afirmamos que se $f:X\to[0,+\infty]$ é uma função simples mensurável então:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\sup\mathcal{I}(f).

De fato, nesse caso $f$ é uma função simples, mensurável, não negativa e menor ou igual a $f$ , de modo que $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\in\mathcal{I}(f)$ e $\sup\mathcal{I}(f)\geq\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ . Por outro lado, o Corolário 2.2.7 implica que $\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ para toda função simples mensurável $\phi:X\to[0,+\infty]$ tal que $\phi\leq f$ ; portanto $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ é uma cota superior de $\mathcal{I}(f)$ e $\sup\mathcal{I}(f)\leq\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ .

Em vista das considerações acima podemos introduzir a seguinte:

2.3.1 Definição.

Se $f:X\to[0,+\infty]$ é uma função mensurável não negativa então a integral de $f$ é definida por:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\sup\mathcal{I}(f)\in[0,+\infty],

onde $\mathcal{I}(f)$ é o conjunto definido em (2.3.1).

Como no caso de funções simples, a integral $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ será também às vezes denotada por:

\int_{X}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x).

Além do mais, se $Y\in\mathcal{A}$ e se $f$ é uma função a valores em $\overline{\mathds{R}}$ cujo domínio contém $Y$ e tal que $f|_{Y}$ é mensurável e não negativa então a integral de $f|_{Y}$ com respeito à medida $\mu|_{(\mathcal{A}|_{Y})}$ será denotada por:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{Y}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x).

2.3.2 Lema.

Sejam $f:X\to[0,+\infty]$ , $g:X\to[0,+\infty]$ funções mensuráveis. Se $f\leq g$ então:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Se $\phi:X\to[0,+\infty]$ é uma função simples mensurável tal que $\phi\leq f$ então também $\phi\leq g$ ; isso implica que $\mathcal{I}(f)\subset\mathcal{I}(g)$ e portanto $\sup\mathcal{I}(f)\leq\sup\mathcal{I}(g)$ . ∎

2.3.3 Teorema (da convergência monotônica).

Seja $(f_{n})_{n\geq 1}$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas $f_{n}:X\to[0,+\infty]$ . Se $f_{n}\nearrow f$ então $f:X\to[0,+\infty]$ é mensurável e:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu.

Demonstração.

A mensurabilidade de $f$ segue do Corolário 2.1.24. O Lema 2.3.2 implica que $\big{(}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\big{)}_{n\geq 1}$ é uma seqüência crescente e que:

\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu.

Para mostrar a desigualdade oposta, é suficiente verificar que:

\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geq\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu,

(2.3.2)

para toda função simples mensurável $\phi:X\to[0,+\infty]$ tal que $\phi\leq f$ . Escreva $\phi=\sum_{i=1}^{k}c_{i}\chi_{A_{i}}$ , com $c_{1},\ldots,c_{k}\in\left]0,+\infty\right]$ e $A_{1},\ldots,A_{k}\in\mathcal{A}$ dois a dois disjuntos e não vazios. Fixados $c^{\prime}_{1},\ldots,c^{\prime}_{k}>0$ com $c^{\prime}_{i}<c_{i}$ , $i=1,\ldots,k$ , definimos:

A_{i}^{n}=\big{\{}x\in A_{i}:f_{n}(x)\geq c^{\prime}_{i}\big{\}}=f_{n}^{-1}% \big{(}[c^{\prime}_{i},+\infty]\big{)}\cap A_{i}\in\mathcal{A},

para todo $n\geq 1$ . Para $n\geq 1$ fixado, os conjuntos $A_{i}^{n}$ , $i=1,\ldots,k$ são dois a dois disjuntos e:

f_{n}\geq\sum_{i=1}^{k}c^{\prime}_{i}\chi_{A_{i}^{n}};

os Lemas 2.3.2 e 2.2.3 nos dão então:

\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geq\sum_{i=1}^{k}c^{\prime}_{i}\mu(A_{i}^{n}).

(2.3.3)

Note que para todo $x\in A_{i}$ temos $f(x)\geq\phi(x)=c_{i}>c^{\prime}_{i}$ e portanto, como $f_{n}\nearrow f$ , temos que $A_{i}^{n}\nearrow A_{i}$ . O Lema 1.4.48 nos dá então:

\lim_{n\to\infty}\mu(A_{i}^{n})=\mu(A_{i});

fazendo $n\to\infty$ em (2.3.3) obtemos (veja Exercício 1.5):

\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geq\sum_{i=1}^{k}c^{\prime}_{i}% \mu(A_{i}).

(2.3.4)

Como a desigualdade (2.3.4) vale para quaisquer $c^{\prime}_{i}\in\left]0,c_{i}\right[$ , temos:

\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geq\sum_{i=1}^{k}c^{\prime}_{i,m% }\mu(A_{i}),

(2.3.5)

para todo $m\geq 1$ , onde $(c^{\prime}_{i,m})_{m\geq 1}$ é uma seqüência crescente (arbitrariamente escolhida) em $\left]0,c_{i}\right[$ que converge para $c_{i}$ . Fazendo $m\to\infty$ em (2.3.5) obtemos:

\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geq\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mu(A_{i})% =\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu,

o que prova (2.3.2) e completa a demonstração. ∎

2.3.4 Lema.

Seja $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função e seja $Y\in\mathcal{A}$ . Suponha que $f|_{Y}$ é mensurável e não negativa (pelo Lema 2.1.31 isso equivale a dizer que $f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}$ é mensurável e não negativa). Então:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}\,% \mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Pela Proposição 2.1.33 existe uma seqüência $(f_{n})_{n\geq 1}$ de funções simples mensuráveis $f_{n}:X\to\left[0,+\infty\right[$ tal que $f_{n}\nearrow f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}$ . Como cada $f_{n}$ é simples o Lema 2.2.2 nos dá:

\int_{Y}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f_{n}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle Y$}}\,\mathrm{d}\mu,

para todo $n\geq 1$ . Obviamente $f_{n}|_{Y}\nearrow f|_{Y}$ e $(f_{n}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}})\nearrow(f\chi_{\lower 2.0pt% \hbox{$\scriptstyle Y$}})$ . A conclusão segue portanto do Teorema 2.3.3 fazendo $n\to\infty$ na igualdade acima. ∎

2.3.5 Corolário.

Se $f:X\to[0,+\infty]$ é uma função mensurável então:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu,

para todo $Y\in\mathcal{A}$ .

Demonstração.

Temos:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}\,% \mathrm{d}\mu\leq\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu,

onde na última desigualdade usamos o Lema 2.3.2. ∎

2.3.6 Lema.

Sejam $f:X\to[0,+\infty]$ , $g:X\to[0,+\infty]$ funções mensuráveis. Então:

\int_{X}(f+g)\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu% ,\quad\int_{X}cf\,\mathrm{d}\mu=c\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu,

para qualquer $c\in[0,+\infty]$ .

Demonstração.

Pela Proposição 2.1.33 existem seqüências $(f_{n})_{n\geq 1}$ , $(g_{n})_{n\geq 1}$ de funções simples mensuráveis $f_{n}:X\to\left[0,+\infty\right[$ , $g_{n}:X\to\left[0,+\infty\right[$ tais que $f_{n}\nearrow f$ e $g_{n}\nearrow g$ . Como as funções $f_{n}$ e $g_{n}$ são simples, os Lemas 2.2.4 e 2.2.8 nos dão:

\int_{X}(f_{n}+g_{n})\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g_{n% }\,\mathrm{d}\mu,\quad\int_{X}cf_{n}\,\mathrm{d}\mu=c\int_{X}f_{n}\,\mathrm{d}\mu.

Temos $(f_{n}+g_{n})\nearrow(f+g)$ e $(cf_{n})\nearrow(cf)$ (veja Lema 1.1.8 e Exercício 1.5). A conclusão segue portanto do Teorema 2.3.3 fazendo $n\to\infty$ nas igualdades acima. ∎