2.4. Definição da Integral: o Caso Geral

Ao longo de toda esta seção consideramos fixado um espaço de medida $(X,\mathcal{A},\mu)$ . Dada uma função mensurável arbitrária $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ então, como vimos no Lema 2.1.21, temos $f=f^{+}-f^{-}$ , onde a parte positiva $f^{+}$ e a parte negativa $f^{-}$ de $f$ são funções mensuráveis não negativas definidas em $X$ . Obviamente, se $f$ já é não negativa então $f^{+}=f$ e $f^{-}=0$ , de modo que $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu$ . Em vista dessa observação, introduzimos a seguinte:

2.4.1 Definição.

Diremos que uma função $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ é quase integrável quando $f$ for mensurável e a diferença $\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu$ estiver bem-definida, ou seja, quando $\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ ou $\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ ; nesse caso, definimos a integral de $f$ fazendo:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d% }\mu\in\overline{\mathds{R}}.

Quando $f$ é quase integrável e $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\in\mathds{R}$ (ou seja, se $\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ e $\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu<+\infty$ ) então dizemos que a função $f$ é integrável.

Como na Seção 2.3, introduzimos também a notação alternativa:

\int_{X}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x),

para a integral de $f$ . Também, se $Y\in\mathcal{A}$ e se $f$ é uma função a valores em $\overline{\mathds{R}}$ cujo domínio contém $Y$ então dizemos que $f$ é quase integrável em $Y$ (resp., integrável em $Y$ ) se a função $f|_{Y}$ for quase integrável (resp., integrável) com respeito à medida $\mu|_{(\mathcal{A}|_{Y})}$ ; quando $f$ for quase integrável em $Y$ , a integral de $f|_{Y}$ com respeito à medida $\mu|_{(\mathcal{A}|_{Y})}$ será denotada por:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{Y}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x).

2.4.2 Convenção.

Seja $X\in\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})$ um subconjunto Lebesgue mensurável de $\mathds{R}^{n}$ e seja $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função mensurável; como sempre (recorde Convenções 2.1.3 e 2.1.11) assumimos que $X$ é munido da $\sigma$ -álgebra $\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})|_{X}$ constituída pelos subconjuntos Lebesgue mensuráveis de $\mathds{R}^{n}$ que estão contidos em $X$ . Nesse contexto, a menos de menção explícita em contrário, quando usamos os adjetivos quase integrável e integrável, subentendemos que a $\sigma$ -álgebra $\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})|_{X}$ é munida da (restrição da) medida de Lebesgue $\mathfrak{m}:\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})\to[0,+\infty]$ . Quando for necessário enfatizar essa convenção, diremos também que $f$ é Lebesgue quase integrável ou Lebesgue integrável, dependendo do caso.

2.4.3 Definição.

Se $X\in\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})$ é um subconjunto Lebesgue mensurável de $\mathds{R}^{n}$ e se $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ é uma função quase integrável então a integral de $f$ com respeito à (restrição à $\mathcal{M}(\mathds{R}^{n})|_{X}$ ) da medida de Lebesgue $\mathfrak{m}$ será chamada a integral de Lebesgue de $f$ e será denotada (seguindo as notações anteriormente introduzidas) por $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}$ ou por $\int_{X}f(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}(x)$ .

2.4.4 Notação.

Seja $f:I\to\overline{\mathds{R}}$ uma função definida num intervalo $I\subset\mathds{R}$ . Dados $a,b\in I$ com $a\leq b$ então, se $f$ for quase integrável no intervalo $[a,b]$ , denotamos por:

\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}% (x)

a integral de Lebesgue de $f|_{[a,b]}$ . Se $b<a$ e se $f$ é quase integrável em $[b,a]$ então escrevemos:

\int_{a}^{b}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}\mathfrak{m}% (x)\stackrel{{\scriptstyle\text{def}}}{{=}}-\int_{b}^{a}f.

Se $a\in I$ , $I$ é ilimitado à direita e $f$ é quase integrável em $\left[a,+\infty\right[$ então denotamos por:

\int_{a}^{+\infty}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(x)

a integral de Lebesgue de $f|_{\left[a,+\infty\right[}$ ; escrevemos também:

\int_{+\infty}^{a}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{+\infty}^{a}f(x)\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(x)\stackrel{{\scriptstyle\text{def}}}{{=}}-\int_{a}^{+\infty}f\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}.

Similarmente, se $a\in I$ , $I$ é ilimitado à esquerda e $f$ é quase integrável em $\left]-\infty,a\right]$ então denotamos por:

\int_{-\infty}^{a}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{-\infty}^{a}f(x)\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(x)

a integral de Lebesgue de $f|_{\left]-\infty,a\right]}$ ; escrevemos também:

\int_{a}^{-\infty}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=\int_{a}^{-\infty}f(x)\,\mathrm{d}% \mathfrak{m}(x)\stackrel{{\scriptstyle\text{def}}}{{=}}-\int_{-\infty}^{a}f\,% \mathrm{d}\mathfrak{m}.

Claramente a restrição de $f$ ao intervalo degenerado $[a,a]=\{a\}$ é uma função simples integrável e:

\int_{a}^{a}f\,\mathrm{d}\mathfrak{m}=f^{+}(a)\mathfrak{m}\big{(}\{a\}\big{)}-% f^{-}(a)\mathfrak{m}\big{(}\{a\}\big{)}=0.

2.4.5 Lema.

Seja $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ uma função e seja $Y\in\mathcal{A}$ . Então $f|_{Y}$ é quase integrável se e somente se $f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}$ é quase integrável; nesse caso:

\int_{Y}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}\,% \mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Pelo Lema 2.1.31, temos que $f|_{Y}$ é mensurável se e somente se $f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}$ é mensurável. Além do mais, temos:

	$\displaystyle(f\|_{Y})^{+}=f^{+}\|_{Y},\quad(f\|_{Y})^{-}=f^{-}\|_{Y},$
	$\displaystyle(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}})^{+}=f^{+}\chi_{% \lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}},\quad(f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle Y$}})^{-}=f^{-}\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle Y$}}.$

A conclusão segue então das igualdades acima e do Lema 2.3.4. ∎

2.4.6 Lema.

Sejam $f_{1}:X\to[0,+\infty]$ , $f_{2}:X\to[0,+\infty]$ funções mensuráveis não negativas tais que a diferença $f=f_{1}-f_{2}$ esteja bem-definida (i.e., não existe $x\in X$ com $f_{1}(x)=f_{2}(x)=+\infty$ ). Então existe uma função mensurável não negativa $h:X\to[0,+\infty]$ tal que $f_{1}=f^{+}+h$ e $f_{2}=f^{-}+h$ .

Demonstração.

Observe em primeiro lugar que $f^{+}\leq f_{1}$ . De fato, se $f(x)\geq 0$ então $f^{+}(x)=f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)\leq f_{1}(x)$ e se $f(x)<0$ então $f^{+}(x)=0\leq f_{1}(x)$ . Definimos $h$ fazendo:

h(x)=\begin{cases}f_{1}(x)-f^{+}(x),&\text{se $x\in f^{-1}(\mathds{R})$},\\ \hfil f_{2}(x),&\text{se $x\in f^{-1}(+\infty)$},\\ \hfil f_{1}(x),&\text{se $x\in f^{-1}(-\infty)$}.\end{cases}

Claramente $h$ é não negativa; a mensurabilidade de $h$ segue do Lema 2.1.13 e da Proposição 2.1.19. Verifiquemos que $f_{1}=f^{+}+h$ e $f_{2}=f^{-}+h$ . Para $x\in f^{-1}(\mathds{R})$ , temos:

	$\displaystyle f^{+}(x)+h(x)=f^{+}(x)+f_{1}(x)-f^{+}(x)=f_{1}(x),$
	$\displaystyle f^{-}(x)+h(x)=f^{-}(x)+f_{1}(x)-f^{+}(x)=f_{1}(x)-f(x)=f_{2}(x).$

Se $x\in f^{-1}(+\infty)$ então:

f^{+}(x)+h(x)=+\infty=f_{1}(x),\quad f^{-}(x)+h(x)=h(x)=f_{2}(x);

finalmente, se $x\in f^{-1}(-\infty)$ :

f^{+}(x)+h(x)=h(x)=f_{1}(x),\quad f^{-}(x)+h(x)=+\infty=f_{2}(x).\qed

2.4.7 Proposição.

Sejam $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ , $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ funções quase integráveis e seja $c\in\mathds{R}$ .

(a)

Se as somas $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu$ e $f+g$ estiverem bem-definidas então a função $f+g$ é quase integrável e $\int_{X}f+g\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu$ .
(b)

A função $cf$ é quase integrável e $\int_{X}cf\,\mathrm{d}\mu=c\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ .

Demonstração.

Temos:

f+g=(f^{+}-f^{-})+(g^{+}-g^{-})=(f^{+}+g^{+})-(f^{-}+g^{-});

pelo Lema 2.4.6 existe uma função mensurável $h:X\to[0,+\infty]$ tal que:

f^{+}+g^{+}=(f+g)^{+}+h,\quad f^{-}+g^{-}=(f+g)^{-}+h.

O Lema 2.3.6 nos dá:

	$\displaystyle\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g^{+}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X% }(f+g)^{+}\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}h\,\mathrm{d}\mu,$		(2.4.1)
	$\displaystyle\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g^{-}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X% }(f+g)^{-}\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}h\,\mathrm{d}\mu.$		(2.4.2)

Por definição temos:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d% }\mu,\quad\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}g^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{X}g^{-}% \,\mathrm{d}\mu.

A quase integrabilidade das funções $f$ e $g$ juntamente com o fato que a soma $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu$ está bem definida implicam que o lado esquerdo de pelo menos uma das igualdades (2.4.1) e (2.4.2) é finito. Isso implica que a integral de $h$ é finita e que pelo menos uma das integrais $\int_{X}(f+g)^{+}\,\mathrm{d}\mu$ , $\int_{X}(f+g)^{-}\,\mathrm{d}\mu$ é finita, i.e., $f+g$ é quase integrável. A demonstração do item (a) é obtida então subtraindo a igualdade (2.4.2) da igualdade (2.4.1).

Para demonstrar o item (b), consideramos primeiramente o caso que $c\geq 0$ . Nesse caso, usando o Lema 2.3.6, temos:

	$\displaystyle\int_{X}(cf)^{+}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}cf^{+}\,\mathrm{d}\mu=c% \int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu,$
	$\displaystyle\int_{X}(cf)^{-}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}cf^{-}\,\mathrm{d}\mu=c% \int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu.$

Isso mostra que $cf$ é quase integrável e $\int_{X}cf\,\mathrm{d}\mu=c\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ . Se $c<0$ temos:

	$\displaystyle\int_{X}(cf)^{+}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}(-c)f^{-}\,\mathrm{d}\mu=% (-c)\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu,$
	$\displaystyle\int_{X}(cf)^{-}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}(-c)f^{+}\,\mathrm{d}\mu=% (-c)\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu,$

o que completa a demonstração do item (b). ∎

2.4.8 Lema.

Sejam $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ , $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ funções quase integráveis. Se $f\leq g$ então $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu$ .

Demonstração.

Verifica-se facilmente que $f^{+}\leq g^{+}$ e $f^{-}\geq g^{-}$ , donde, pelo Lema 2.3.2:

\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}g^{+}\,\mathrm{d}\mu,\quad\int_{X}f^{-% }\,\mathrm{d}\mu\geq\int_{X}g^{-}\,\mathrm{d}\mu.

A conclusão é obtida subtraindo as duas desigualdades acima. ∎

2.4.9 Lema.

Dada uma função $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ , temos:

(a)

se $f$ é quase integrável então $f|_{Y}$ também é quase integrável para todo $Y\in\mathcal{A}$ ;
(b)

se $X_{1},\ldots,X_{k}\in\mathcal{A}$ são conjuntos dois a dois disjuntos tais que $X=\bigcup_{i=1}^{k}X_{i}$ , $f|_{X_{i}}$ é quase integrável para $i=1,\ldots,k$ e tais que a soma:

$\int_{X_{1}}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X_{2}}f\,\mathrm{d}\mu+\cdots+\int_{X_{k}}f% \,\mathrm{d}\mu$ (2.4.3)

está bem definida então $f$ é quase integrável e $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu$ é igual à soma (2.4.3).

Demonstração.

Pelos Corolário 2.3.5 temos:

\int_{Y}f^{+}\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu,\quad\int_{Y}f^{-% }\,\mathrm{d}\mu\leq\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu,

o que prova o item (a). Passemos à prova do item (b). Temos:

f=f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle X_{1}$}}+f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$% \scriptstyle X_{2}$}}+\cdots+f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle X_{k}$}}.

Pelo Lema 2.4.5, as funções $f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle X_{i}$}}$ são quase integráveis e:

\int_{X_{i}}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\chi_{\lower 2.0pt\hbox{$\scriptstyle X_% {i}$}}\,\mathrm{d}\mu,

para $i=1,\ldots,k$ . A conclusão segue da Proposição 2.4.7. ∎

2.4.10 Lema.

Se $\mu(X)=0$ então $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=0$ para toda função mensurável $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ .

Demonstração.

Se $\phi:X\to[0,+\infty]$ é uma função simples mensurável então $\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu=0$ , já que $\mu\big{(}\phi^{-1}(c)\big{)}=0$ , para todo $c\in\mathrm{Im}(\phi)$ . Daí, se $f$ é não negativa então $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=0$ , já que $\int_{X}\phi\,\mathrm{d}\mu=0$ para toda função simples mensurável não negativa $\phi\leq f$ . Finalmente, se $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ é uma função mensurável arbitrária então $\int_{X}f^{+}\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f^{-}\,\mathrm{d}\mu=0$ e portanto $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=0$ . ∎

2.4.11 Corolário.

Se $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ é tal que $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ então uma função mensurável $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ é quase integrável se e somente se $f|_{X^{\prime}}$ é quase integrável e nesse caso $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X^{\prime}}f\,\mathrm{d}\mu$ .

Demonstração.

Pelo Lema 2.4.10 temos $\int_{X\setminus X^{\prime}}f\,\mathrm{d}\mu=0$ . A conclusão segue do Lema 2.4.9, já que:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X^{\prime}}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{X\setminus X^% {\prime}}f\,\mathrm{d}\mu.\qed

A seguinte terminologia é extremamente conveniente:

2.4.12 Definição.

Dizemos que uma propriedade $\mathbb{P}$ referente a pontos do espaço de medida $X$ é válida quase sempre (ou em quase todo ponto de $X$ ) se existe um conjunto $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ e tal que a propriedade $\mathbb{P}$ é válida em todos os pontos de $X^{\prime}$ . Dizemos também que a propriedade $\mathbb{P}$ é satisfeita q. s. (ou $\mu$ -q. s.).

2.4.13 Corolário.

Sejam $f:X\to\overline{\mathds{R}}$ , $g:X\to\overline{\mathds{R}}$ funções mensuráveis. Se $f=g$ quase sempre então $f$ é quase integrável se e somente se $g$ é quase integrável e, nesse caso, $\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu$ .

Demonstração.

Por hipótese existe $X^{\prime}\in\mathcal{A}$ tal que $\mu(X\setminus X^{\prime})=0$ e $f|_{X^{\prime}}=g|_{X^{\prime}}$ . A conclusão segue do Corolário 2.4.11, já que:

\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X^{\prime}}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{X^{\prime}}g% \,\mathrm{d}\mu=\int_{X}g\,\mathrm{d}\mu.\qed